广东省珠海市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

珠海市2021-2022学年度第一学期期末学生学业质量监测高一

数学试题

一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.）

1. 已知集合，下列选项正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A的关系即可.

【详解】由题设，且，

所以B正确，A、C、D错误.

故选：B

2. 已知集合，或，则（    ）

A. 或 B.

C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】应用集合的并运算求即可.

【详解】由题设，或或.

故选：A

3. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：由得不到，如，，满足，但是，故充分性不成立；

由则，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件；

故选：B

4. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；

【详解】解：因为命题“”为全称量词命题，其否定为“”；

故选：D

5. 对于任意实数，给定下列命题正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；

【详解】解：对于A：当时，若则，故A错误；

对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；

对于C：若，则，所以，故C正确；

对于D：若，满足，但是，故D错误；

故选：C

6. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据图像平移过程，写出平移后的函数解析式即可.

【详解】由题设，.

故选：D

7. 已知关于的不等式的解集是，则的值是（    ）

A.  B. 2 C. 22 D.

【答案】C

【解析】

【分析】转化为一元二次方程两根问题，用韦达定理求出，进而求出答案.

【详解】由题意得：2与3是方程的两个根，故，，所以.

故选：C

8. 若函数是偶函数，函数是奇函数，则（    ）

A. 函数是奇函数 B. 函数是偶函数

C. 函数是偶函数 D. 函数是奇函数

【答案】C

【解析】

【分析】根据奇偶性的定义判断即可；

【详解】解：因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，

对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；

对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；

对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；

对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；

故选：C

9. 已知角终边经过点，且，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由终边上的点及正切值求参数m，再根据正弦函数的定义求.

【详解】由题设，，可得，

所以.

故选：A

10. 已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可.

【详解】因为是上的偶函数，在上单调递增，

所以在上单调递减，.

又因为，

因为，在上单调递减,

所以，

即.

故选：B.

二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，将符合题目要求的选项填涂在答题卡上，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

11. 下列既是奇函数，又在上是增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】对于ABC，根据函数的定义域、奇偶性及单调性等性质即可判断.

对于D，根据奇偶函数的定义和复合函数单调性即可得出D错误.

【详解】对于A，的定义域为，，则为奇函数，由幂函数的性质知： 在上单增，所以A正确.

对于B，的定义域为，，所以不是奇函数，所以B错误.

对于C，的定义域为，，则为奇函数，又因为，为增函数，为减函数，为增函数， 为增函数，所以C正确.

对于D，有解得：.

，则

是奇函数，令在区间上单调递减，而为增函数，故在上是减函数，所以D错误.

故选：AC.

12. 已知函数，则（    ）

A. 的最小正周期为 B. 的对称轴方程为

C. 在上是增函数 D. 的图象关于点对称

【答案】BD

【解析】

【分析】将函数化为，再分别从对称性、单调性、周期考虑可求得答案.

【详解】因为.

对于A，，故A不正确；

对于B，的对称轴方程为：，解得，故B正确；

对于C，要求的单调增区间，则，

解得，所以其单调增区间为，而不是的子集，故C不正确；

对于D，，所以的图象关于点对称，故D正确.

故选：BD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在答题卡上.）

13. 已知扇形周长为4，圆心角为，则扇形面积为__________.

【答案】1

【解析】

【分析】利用扇形的弧长公式求半径，再由扇形面积公式求其面积即可.

【详解】设扇形的半径为，则，可得，而扇形的弧长为，

所以扇形面积为.

故答案为：1.

14 已知函数，则__________.

【答案】2

【解析】

【分析】先求出，然后再求的值.

【详解】由题意可得，

所以，

故答案为：

15. __________.

【答案】1

【解析】

【分析】应用诱导公式化简求值即可.

【详解】原式.

故答案为：1.

16. 已知，且，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用已知条件凑出，再根据 “”的巧用，

最后利用基本不等式即可求解.

【详解】由，得，即.

因为 所以，,则

=

，

当且仅当即时，等号成立.

所以当时，取得最小值为.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程成演算步骤.）

17. 计算下列各式的值.

（1）；

（2）.

【答案】（1）125    （2）0

【解析】

【分析】（1）按照指数运算进行计算即可；

（2）按照对数运算进行计算即可；

【小问1详解】

；

【小问2详解】

.

18. 设集合，语句，语句.

（1）当时，求集合与集合的交集；

（2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，应用集合的交运算求交集即可.

（2）根据必要不充分关系有，即可求的范围.

【小问1详解】

由题设，，当时，

所以；

【小问2详解】

由题设，，且，

若是的必要不充分条件，则，又a为正实数，即，解得，

故的取值范围为.

19. 已知.

（1）求及；

（2）若，，求的值.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）应用二倍角正切公式求，由和角正切公式求.

（2）根据已知角的范围及函数值，结合同角三角函数的平方关系求，，进而应用和角正弦公式求.

【小问1详解】

，

.

【小问2详解】

，

.

，

.

.

20. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期及函数的对称轴方程；

（2）若，求函数的单调区间和值域.

【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为   

（2）函数在上单调递减，在上单调递增；值域为

【解析】

【分析】（1）先通过降幂公式化简成，再按照周期和对称轴方程进行求解；

（2）求出整体的范围，再结合正弦函数的单调性求解单调区间和值域.

【小问1详解】

；

函数的最小正周期为，

函数的对称轴方程为；

【小问2详解】

，

，

时，函数单调递减，即时，函数在上单调递减；

时，函数在单调递增，即时，函数在上单调递增.

，

函数的值域为.

21. 果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.

（1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；

（2）已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？

【答案】（1）更适合作为与的函数模型   

（2）果树数量为时年利润最大

【解析】

【分析】（1）将点代入和，求出两个函数，然后将和代入，

看哪个算出的数据接近实际数据哪个就更适合作为与的函数模型.
（2）根据（1）可得，利用二次函数的性质求最大利润.

【小问1详解】

①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得

解得

此时，当时，，

当时，，

与表格中的和相差较大，

所以不适合作为与的函数模型.

②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得

解得

此时，当时，，

当时，，

刚好与表格中的和相符合，

所以更适合作为与的函数模型.

【小问2详解】

由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为，

令，则

经计算，当时，取最大值（万元），

即，时（每亩约38棵），利润最大.

22. 已知函数是奇函数，且.

（1）求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；

（2）已知函数且，已知在的最大值为2，求的值.

【答案】（1）；函数在区间上单调递减，在上单调递增   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的性质及，即可得到方程组，求出、的值，即可得到函数解析式，再根据对勾函数的性质判断即可；

（2）分和两种情况讨论，结合对数型复合函数的单调性计算可得；

【小问1详解】

解：函数的定义域为，

是奇函数，且

，且

又

.

经检验，满足题意，

故.

当时，时等号成立，

当时，单调递减；当时，单调递增.

【小问2详解】

解：①当时，是减函数，

故当取得最小值时，且取得最大值2，

而在区间上单调递增，所以在区间上最小值为，故的最大值是，

所以.

②当时，是增函数，

故当取得最大值时，

且取得最大值2，

而在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为，故的最大值是，

所以.

综上所述，或.