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专题 16.9 二次根式的加减（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题 16.9 二次根式的加减（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共39页。试卷主要包含了同类二次根式，求二次根式的值，求二次根式的参数，二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简，复合二次根式的化简等内容，欢迎下载使用。
专题16.9 二次根式的加减（巩固篇）（专项练习）
一、 单选题
知识点一、同类二次根式
1．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．计算的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1﹣2 D．2﹣1
知识点二、求二次根式的值
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．观察下列运算：，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，，化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
知识点三、求二次根式的参数
7．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
9．下列运算中错误的是（ ）
A． B． C． D．
知识点四、二次根式有意义的条件
10．如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，则|x﹣|＋＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
11．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
12．已知，，a与b大小关系是（ ）
A． B． C． D．
知识点五、利用二次根式的性质化简
13．已知，，则代数式x3﹣xy2的值为（ ）
A．24 B． C． D．
14．已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（ ）
A．9+5 B．9+3 C．5+5 D．5+3
15．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B． C．24 D．
知识点六、复合二次根式的化简
16．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
18．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则x+y的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
知识点七、利用二次根式的性质化简
19．比较大小错误的是（ ）
A．＜ B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6 D．|1－|＞－1
20．已知，，则a与b的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
21．已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
知识点八、复合二次根式的化简
22．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（ ）
A． B． C． D．
23．秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积，其中，，为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为，用公式计算出它的面积为（ ）
A． B． C． D．
24．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
二、 填空题
知识点一、同类二次根式
25．李明的作业本上有六道题：① ，② ，③，④ ±2 ，⑤，⑥，请你找出他做对的题是____（填序号）.
26．若最简二次根式与是同类根式，则______．
27．在中与是同类二次根式的有___个．已知，则yx＝___．若的整数部分为x，小数部分为y，则＝___．
知识点二、求二次根式的值
28．观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___．
29．计算＝________；
30．已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式x+y的值 _______________．
知识点三、求二次根式的参数
31．我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：a⊗b＝a+b，比如1⊗2＝1+×2＝．若x⊗（4⊗8）＝10，则x的值为______．
32．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn＋bn2＝1，则2a＋b＝________．
33．若实数a、b满足与互为相反数，则的值为_________．
知识点四、二次根式有意义的条件
34．规定，则的值是_________．
35．分母有理化：＝______．
36．若7＋和5﹣的小数部分分别为m，n，则＝________ ．
知识点五、利用二次根式的性质化简
37．已知，则__________．
38．已知x＝﹣1，则x2+2x﹣5＝___．
39．已知，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是__．
知识点六、复合二次根式的化简
40．已知a﹣b＝，b﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为 ___．
41．已知，则______．
42．已知，则=_________．
知识点七、利用二次根式的性质化简
43．比较大小，①___；②____．
44．比较大小_____．
45．比较大小：3_____5．（填“＞”、“＝”或“＜”）
知识点八、复合二次根式的化简
46．如图，已知AB∥CD，AB= ，CD= ， =3， = ，则=______
47．设、、是的三边的长，化简的结果是________．
48．观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
三、解答题
49．先阅读解题过程，再回答后面的问题．
如果、是正整数，且和在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．
解：∵和可以合并，
∴，即，解得．
∵、是正整数，
∴此题无解．
问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
（2） 给出正确的解答过程．
50．计算与化简
（1） （2）
（3） （4）
51．计算：
（1）． （2）．
（3）（）×﹣6． （4）﹣3+．
52． 先化简，再求值：，其中．
53．先阅读下列解答过程，再解答．
（1）形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，
即，，那么便有：．
例如：化简．
解：只要我们找到两个数、，使，，这里，，
由于，，
即，，
所以．
根据上述例题的方法化简：．
（2）小明在解决问题：已知，，求的值，他是这样分析与解答的：
．
．
，即．．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
①计算： ；
②计算：=
③若，求的值
54．阅读下面问题：；；．
（1）根据以上规律推测，化简__________；（n为正整数）__________．
（2）根据你的推测，比较和的大小．
55．设一个三角形的三边长分别为，，，，则有下列面积公式：
（海伦公式），
（秦九韶公式）．
（1）一个三角形的三边长依次为，，，利用两个公式分别求这个三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为、，，利用两个公式分别求这个三角形的面积．
参考答案
1．C
【分析】
化成最简二次根式，判断是否是同类二次根式即可.
【详解】
∵，，，，
∴不能与合并的是，
故选C.
【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式即化为最简二次根式后，被开方数相同的根式，熟练掌握定义是解题的关键.
2．C
【分析】
根据题意，将它们化成最简二次根式比较被开方数是否相同，
【详解】
A．和被开方数都是3，故A不符合题意；
B.和被开方数都是2，故B不符合题意；
C.和被开方数不同，故C符合题意；
D.和被开方数都是5，故D不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3．A
【分析】
直接利用绝对值的性质分别化简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【详解】
解：原式
．
故选：．
【点拨】本题主要考查了绝对值的性质，正确去掉绝对值，然后合并同类二次根式是解题关键．
4．D
【分析】
根据二次根式的加减法对A、B进行判断，根据二次根式的性质对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】
解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项不符合题意；
D．，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
5．D
【分析】
先将分母有理化，因为分母均为2，然后分子相加，合并同类二次根式即可．
【详解】
解：，
，
，
…..
，
∴，
=+++…++，
=,
=．
故选择D．
【点拨】本题考查二次根式化简，熟练掌握利用平方差公式将分母有理化，二次根式加减法运算法则是解题关键．
6．C
【分析】
先根据二次根式的乘法对式子变形，然后利用化简 ，注意，，最后加减运算即可．
【详解】
解：
，，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，属于基础题，熟练掌握二次根式的运算法则以及是解题关键．
7．C
【分析】
根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．
【详解】
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；
B、，此选项错误，不符合题意；
C、，此选项正确，符合题意；
D、，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
8．A
【分析】
根据乘法分配律先化简，然后估算即可．
【详解】
解：原式==，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9．C
【分析】
根据二次根式的乘法法则对A进行判断；利用二次根式的除法对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】
解：A、原式=，所以A选项的计算正确，不符合题意；
B、原式=，所以B选项的计算正确，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，所以C选项的计算错误，符合题意；
D、，所以D选项的计算正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．C
【分析】
根据题意A点表示的数是B，C两点表示的数的平均数，可求出x的值为2﹣，接下来进行实数的简单计算，即可得出结论．
【详解】
解：∵点B关于点A的对称点为点C，
∴AB＝AC．
∴1﹣x＝﹣1，
解得，x＝2﹣，
∴点C表示的数x为2﹣，
∵|x﹣|＝2﹣2，＝2＋，
∴2﹣2＋2＋＝3，
故选：C．
【点拨】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x的值是解决本题的关键．
11．C
【分析】
先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．
【详解】
解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，
∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意；
a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意；
ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；
∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，
∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
12．D
【分析】
根据分母有理化将进行整理即可求解．
【详解】
解：，
又，
．
故选：D．
【点拨】此题主要考查分母有理化的应用，正确掌握分母有理化是解题关键．
13．D
【分析】
先将x3﹣xy2因式分解为，再计算出，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：x3﹣xy2＝
＝，
，，
，，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解和二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．
14．D
【分析】
把已知条件变形得到x-2=，两边平方得到x2=4x+1，利用降次的方法得到原式=3x-1，然后把 x 的值代入计算即可．
【详解】
∵x＝+2，
∴x﹣2＝，
∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，
∴x2＝4x+1，
∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，
当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，运用整体代入的方法可简化计算．
15．A
【分析】
将变形为，已知a、b的值，分别计算出a+b、ab的值，整体代入求值即可．
【详解】
a+b=6，
ab=()()=4，
=
=，
=
=．
故选：A．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，本题关键在于利用完全平方公式以及平方差公式简化运算．
16．B
【分析】
由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴=-或=，
∵，
∴＜0，
∴= -，=不符合题意，舍去，
故选B．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键．
17．D
【分析】
将代入代数式，然后根据二次根式混合运算法则进行化简计算．
【详解】
解：当时，
，
．
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
18．B
【分析】
先把二次根式进行化简，然后把xy＝4，代入计算，即可求出答案．
【详解】
解：∵x+y＝﹣5＜0，xy＝4＞0，
∴x＜0，y＜0，
∴原式＝
＝
＝﹣2，
∵xy＝4，
∴原式＝﹣2＝﹣2×2＝﹣4；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
19．D
【分析】
利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
【详解】
A、由于5<7，则＜，故正确；
B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；
C、由于，则，故正确；
D、由于，故错误．
故选：D
【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．
20．B
【分析】
将，进行分母有理化，再比较即可．
【详解】
解：，
，
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点拨】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
21．A
【分析】
将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．
【详解】
解:∵，，，
又，
∴．
故选：A.
【点拨】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键．
22．C
【分析】
如图，由题意知S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)，得BC=（cm），HG=（cm），进而求得S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF．
【详解】
解：如图．
由题意知：S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)．
∴BC=（cm），HG=（cm）．
∵四边形BCDM是正方形，四边形HMFG是正方形，
∴BC=BM=MD=4cm，HM=HG=MF=3cm．
∴S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF
=BM•HM+MD•MF
=4×3+4×3
=48（cm2）．
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
23．B
【分析】
直接把已知数据代入进而化简二次根式得出答案．
【详解】
解：一个三角形的三边分别为，
∴它的面积是：
，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
24．D
【分析】
先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】
解：，
所以是型无理数，
故选：D．
【点拨】本题考查了完全平方公式在二次根式中的计算，也考查了无理数，熟练掌握完全平方公式及二次根式的运算法则是解决本题的关键．
25．①
【分析】
由立方根的含义可判断①，由二次根式有意义的条件可判断②，由 可判断③，由算术平方根的含义可判断④，由负整数指数幂的含义可判断⑤，由同类二次根式的含义可判断⑥，从而可得答案.
【详解】
解：，运算正确，故①符合题意；
没有意义，不能运算，故②不符合题意；
故③不符合题意；
故④不符合题意；
故⑤不符合题意；
不是同类二次根式，故⑥不符合题意；
故答案为：①
【点拨】本题考查的是立方根的含义，算术平方根的含义，二次根式的化简，负整数指数幂的含义，同类二次根式的含义，掌握以上基础概念及运算是解本题的关键.
26．
【分析】
根据同类二次根式和最简二次根式的定义得到a+2=5a-3，然后解关于a的方程即可．
【详解】
解：根据题意得a+2=5a-3，
解得a=．
故答案为．
【点拨】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
27．2 9 1
【分析】
（1）先根据二次根式的基本性质化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可；
（2）由于与互为相反数，根据二次根式的性质即可得到的值，然后求出，最后代入所求代数式即可求解；
（3）首先估算的整数部分和小数部分，然后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，，，
∴与是同类二次根式的有、，共2个；
（2）∵，
∴，
∴，
；
（3），
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，
故答案为：2，9，1．
【点拨】此题主要考查了绝对值的性质，二次根式有意义的情况及无理数的估算能力，有一定的综合性，解题关键是利用限制条件解出变量的值．
28．
【分析】
先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．
【详解】
解：原式
，
故答案是：2021．
【点拨】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算，解题的关键是能够发现式子的规律．
29．
【分析】
把化成最简二次根式计算即可．
【详解】
∵
=
=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，熟练进行二次根式的化简是解题的关键．
30．
【分析】
先确定x、y的符号并化简二次根式，再将xy＝8代入求值即可．
【详解】
解：∵x+y＝﹣6，xy＝8，
∴x、y同号且都为负数，
∴x+y=，
故答案为：．
【点拨】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式，正确分析x、y的符号并正确化简二次根式是解题的关键．
31．
【分析】
根据定义新运算，先计算出4⊗8，然后根据定义新运算，列出方程，即可求出x的值即可．
【详解】
解：由题可知：4⊗，
∴x⊗，
即，
∴．
故答案为：．
【点拨】此题考查的是定义新运算，二次根式混合运算，一元一次方程的解法，掌握定义新运算的公式和运算顺序是解决此题的关键．
32．2.5
【分析】
先估算的取值范围，即可得出的取值范围即可得出m、n的值，代入amn＋bn2＝1可得（6a+16b）-（2a+6b）=1，根据结果不含可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得答案．
【详解】
∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴2＜＜3，
∵m、n分别表示的整数部分和小数部分，
∴m=2，n=-2=3-，
∵amn＋bn2＝1，
∴2（3-）a+（3-）2b=1，
整理得：（6a+16b）-（2a+6b）=1，
∵根据结果不含，
∴，
解得：，
∴2a＋b＝2.5．
故答案为：2.5
【点拨】本题考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算，能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
33．
【分析】
利用非负数的性质可求得a与b的值，从而可求得代数式的值．
【详解】
∵与均为非负数，且互为相反数
∴，
即，
∴，
当，时，
故答案为：
【点拨】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，二次根式的计算，关键是根据非负数的性质求得a与b的值．
34．
【分析】
根据规定列出算式，再分母有理化，利用乘法公式计算．
【详解】
解：根据题意得： ．
故答案为：．
【点拨】此题属于新定义运算，考查了二次根式的运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
35．
【分析】
利用平方差公式将原式进行分母有理化，从而进行计算．
【详解】
解：
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查二次根式的分母有理化计算，掌握平方差公式的结构特点（a+b）（a-b）=a2-b2是解题关键．
36．
【分析】
先求出7＋和5﹣的整数部分，从而可求出m，n，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴ ， ，
∴7＋的整数部分为10， 5﹣的整数部分为1，
∴7＋的小数部分为 ， 5﹣的小数部分为 ，
即，，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分．
37．
【分析】
先将所求式子变形为只含有a+b和ab的形式，再计算出a+b和ab，代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
=
∵，
∴，，
∴原式==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次的化简求值，先根据已知条件得到两个字母的和与积的值，然后变形所求的代数式，用这两个字母的和与积来表示，再运用整体代入的方法求代数式的值．
38．-3
【分析】
先把x2+2x﹣5变形为，再将x的值代入进行计算即可．
【详解】
解：∵x＝﹣1，
∴x2+2x﹣5=，
故答案为：-3
【点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值，把x2+2x﹣5变形为是解答本题的关键．
39．4054
【分析】
先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】
解：
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
40．11
【分析】
由a﹣b＝，b﹣c＝，两式相加可得 a﹣c＝2，全部代入到2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ ca）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2即可得．
【详解】
解：∵a﹣b＝，b﹣c＝，
∴a﹣c＝2．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
=×2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）
＝(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca)
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝[（）2+（2）2+（ ）2]
＝×22
=11．
故答案为：11
【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，由a﹣b、b﹣c得出a﹣c及根据完全平方公式对原式变形是解题的关键．
41．
【分析】
先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入原式，利用二次根式的性质化简可得答案．
【详解】
解：∵
∴，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
【点拨】此题考查了二次根式的混合运算---化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算的顺序和运算法则．
42．11
【分析】
利用完全平方公式变形得到，然后展开后把代入可计算出的值．
【详解】
解：，
，
，
，
，
而，
，
．
故答案为：11．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了完全平方公式．
43．< <
【分析】
①对于根式的大小比较，可以两边同时平方，比较平方后的大小即可解决问题；
②两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案．
【详解】
解：①左边，平方后得到数为：12，
右边，平方后得到数为：13，
，
；
②左边求倒数为，
右边求倒数为，
，
．
故答案为：①<；②<．
【点拨】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．
44．
【分析】
利用作差法进行比较即可，如a-b＞0，则a＞b．
【详解】
解：作差法可得：
，
∵与0的大小并不能直接观察得出，
∴利用平方法比较与的大小，
∵，
又∵，
∴，
则，
∴
即＜0，
∴，
得出：，
故答案为：．
【点拨】本题考查无理数的大小比较，可以利用近似值、作差法、分母有理化、求倒数等方法进行比较，选择合适的方法，灵活计算是解题的关键．
45．＜．
【分析】
先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】
解：3=，5=，
∵45＜50，
∴
∴，
故答案为：＜．
【点拨】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
46．2
【分析】
由已知可求得和△ABE边AB上的高，进而求得△CDE的边CD上的高，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【详解】
解：，
设的高为h，的高为，则的高为，
，
，
的高为，
，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了三角形的面积公式，根据条件求得△CDE的边CD上的高是解题的关键．
47．
【分析】
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，依此对原式进行去根号和去绝对值．
【详解】
解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a＜b+c，a+c＞b，
∴a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和三角形的三边关系定理，关键是根据三角形的性质：两边之和大于第三边去根号和去绝对值解答．
48．
【分析】
根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】
解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
49．（1）不正确，原因是没有把转化为最简二次根式；（2）见解析
【分析】
（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．
（2）先把转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．
【详解】
解：（1）不正确，原因是没有把转化为最简二次根式；
（2）正确解答过程如下：
∵，和可以合并，
∴，解得：，
经检验，符合题意，∴，．
【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
50．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）先分别求解零次幂，化简二次根式，求解负整数指数幂的运算，再合并即可；
（2）先计算分式的乘方运算，同步把分式的除法化为乘法运算，再约分即可；
（3）先按照平方差公式与完全平方公式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可；
（4）先分别化简各二次根式，再合并同类二次根式即可.
【详解】
解：（1）
（2）解：
=
=
（3）解：
=
=
=
（4）解：
=
= .
【点拨】本题考查的是整式的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算，分式的乘除乘方混合运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键.
51．（1）5；（2）7﹣2；（3）﹣6；（4）．
【分析】
（1）利用二次根式的除法法则运算；
（2）利用完全平方公式计算；
（3）先利用二次根式的乘法法法则运算，然后化简后合并即可；
（4）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】
解：（1）原式＝+，
＝2+3，
＝5；
（2）原式＝5﹣2+2，
＝7﹣2；
（3）原式＝﹣2﹣3，
＝3﹣6﹣3，
＝﹣6；
（4）原式＝2﹣+，
＝．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键．
52．，
【分析】
先计算异分母分式减法，将除法化为乘法，最后将a值代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
当时，原式=
【点拨】本题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算顺序及法则是解题的关键．
53．（1）；（2）①；②；③
【分析】
（1）由可得： 从而可得答案；
（2）①分子分母都乘以，计算后可得答案；②把每一项的分母中的根号去掉，分母有理化后再合并同类二次根式即可得到答案；③先把化为再代入代数式求值即可.
【详解】
解：（1）
（2）①
②
③ ，
【点拨】本题考查的是二次根式的化简，分母有理化，利用二次根式的变形求解代数式的值，熟悉二次根式的运算法则，运算技巧是解题的关键.
54．（1），；（2）＜
【分析】
（1）根据题目中的例子，进行分母有理化运算即可；
（2）根据题目中的例子，可以得到=，=，然后即可比较出和的大小．
【详解】
解：（1）==；
==；
（2）=，
=，
∵＞，
∴＜，
∴＜．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的计算方法．
55．（1）；（2）
【分析】
（1）根据题目所给公式把，，代入求解即可得到答案；
（2）根据题目所给公式把，，代入求解即可得到答案．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∴海伦公式求解：
；
秦九韶公式求解：
；
（2）∵，
∴，
同理得，，
∴海伦公式求解：∵，
∴
，
∴；
秦九韶公式求解：
；
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
专题16.9 二次根式的加减（巩固篇）（专项练习）
一、 单选题
知识点一、同类二次根式
1．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．计算的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1﹣2 D．2﹣1
知识点二、求二次根式的值
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．观察下列运算：，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，，化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
知识点三、求二次根式的参数
7．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
9．下列运算中错误的是（ ）
A． B． C． D．
知识点四、二次根式有意义的条件
10．如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，则|x﹣|＋＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
11．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
12．已知，，a与b大小关系是（ ）
A． B． C． D．
知识点五、利用二次根式的性质化简
13．已知，，则代数式x3﹣xy2的值为（ ）
A．24 B． C． D．
14．已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（ ）
A．9+5 B．9+3 C．5+5 D．5+3
15．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B． C．24 D．
知识点六、复合二次根式的化简
16．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
18．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则x+y的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
知识点七、利用二次根式的性质化简
19．比较大小错误的是（ ）
A．＜ B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6 D．|1－|＞－1
20．已知，，则a与b的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
21．已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
知识点八、复合二次根式的化简
22．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（ ）
A． B． C． D．
23．秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积，其中，，为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为，用公式计算出它的面积为（ ）
A． B． C． D．
24．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
二、 填空题
知识点一、同类二次根式
25．李明的作业本上有六道题：① ，② ，③，④ ±2 ，⑤，⑥，请你找出他做对的题是____（填序号）.
26．若最简二次根式与是同类根式，则______．
27．在中与是同类二次根式的有___个．已知，则yx＝___．若的整数部分为x，小数部分为y，则＝___．
知识点二、求二次根式的值
28．观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___．
29．计算＝________；
30．已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式x+y的值 _______________．
知识点三、求二次根式的参数
31．我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：a⊗b＝a+b，比如1⊗2＝1+×2＝．若x⊗（4⊗8）＝10，则x的值为______．
32．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn＋bn2＝1，则2a＋b＝________．
33．若实数a、b满足与互为相反数，则的值为_________．
知识点四、二次根式有意义的条件
34．规定，则的值是_________．
35．分母有理化：＝______．
36．若7＋和5﹣的小数部分分别为m，n，则＝________ ．
知识点五、利用二次根式的性质化简
37．已知，则__________．
38．已知x＝﹣1，则x2+2x﹣5＝___．
39．已知，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是__．
知识点六、复合二次根式的化简
40．已知a﹣b＝，b﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为 ___．
41．已知，则______．
42．已知，则=_________．
知识点七、利用二次根式的性质化简
43．比较大小，①___；②____．
44．比较大小_____．
45．比较大小：3_____5．（填“＞”、“＝”或“＜”）
知识点八、复合二次根式的化简
46．如图，已知AB∥CD，AB= ，CD= ， =3， = ，则=______
47．设、、是的三边的长，化简的结果是________．
48．观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
三、解答题
49．先阅读解题过程，再回答后面的问题．
如果、是正整数，且和在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．
解：∵和可以合并，
∴，即，解得．
∵、是正整数，
∴此题无解．
问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
（2） 给出正确的解答过程．
50．计算与化简
（1） （2）
（3） （4）
51．计算：
（1）． （2）．
（3）（）×﹣6． （4）﹣3+．
52． 先化简，再求值：，其中．
53．先阅读下列解答过程，再解答．
（1）形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，
即，，那么便有：．
例如：化简．
解：只要我们找到两个数、，使，，这里，，
由于，，
即，，
所以．
根据上述例题的方法化简：．
（2）小明在解决问题：已知，，求的值，他是这样分析与解答的：
．
．
，即．．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
①计算： ；
②计算：=
③若，求的值
54．阅读下面问题：；；．
（1）根据以上规律推测，化简__________；（n为正整数）__________．
（2）根据你的推测，比较和的大小．
55．设一个三角形的三边长分别为，，，，则有下列面积公式：
（海伦公式），
（秦九韶公式）．
（1）一个三角形的三边长依次为，，，利用两个公式分别求这个三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为、，，利用两个公式分别求这个三角形的面积．
参考答案
1．C
【分析】
化成最简二次根式，判断是否是同类二次根式即可.
【详解】
∵，，，，
∴不能与合并的是，
故选C.
【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式即化为最简二次根式后，被开方数相同的根式，熟练掌握定义是解题的关键.
2．C
【分析】
根据题意，将它们化成最简二次根式比较被开方数是否相同，
【详解】
A．和被开方数都是3，故A不符合题意；
B.和被开方数都是2，故B不符合题意；
C.和被开方数不同，故C符合题意；
D.和被开方数都是5，故D不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3．A
【分析】
直接利用绝对值的性质分别化简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【详解】
解：原式
．
故选：．
【点拨】本题主要考查了绝对值的性质，正确去掉绝对值，然后合并同类二次根式是解题关键．
4．D
【分析】
根据二次根式的加减法对A、B进行判断，根据二次根式的性质对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】
解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项不符合题意；
D．，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
5．D
【分析】
先将分母有理化，因为分母均为2，然后分子相加，合并同类二次根式即可．
【详解】
解：，
，
，
…..
，
∴，
=+++…++，
=,
=．
故选择D．
【点拨】本题考查二次根式化简，熟练掌握利用平方差公式将分母有理化，二次根式加减法运算法则是解题关键．
6．C
【分析】
先根据二次根式的乘法对式子变形，然后利用化简 ，注意，，最后加减运算即可．
【详解】
解：
，，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，属于基础题，熟练掌握二次根式的运算法则以及是解题关键．
7．C
【分析】
根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．
【详解】
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；
B、，此选项错误，不符合题意；
C、，此选项正确，符合题意；
D、，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
8．A
【分析】
根据乘法分配律先化简，然后估算即可．
【详解】
解：原式==，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9．C
【分析】
根据二次根式的乘法法则对A进行判断；利用二次根式的除法对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】
解：A、原式=，所以A选项的计算正确，不符合题意；
B、原式=，所以B选项的计算正确，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，所以C选项的计算错误，符合题意；
D、，所以D选项的计算正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．C
【分析】
根据题意A点表示的数是B，C两点表示的数的平均数，可求出x的值为2﹣，接下来进行实数的简单计算，即可得出结论．
【详解】
解：∵点B关于点A的对称点为点C，
∴AB＝AC．
∴1﹣x＝﹣1，
解得，x＝2﹣，
∴点C表示的数x为2﹣，
∵|x﹣|＝2﹣2，＝2＋，
∴2﹣2＋2＋＝3，
故选：C．
【点拨】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x的值是解决本题的关键．
11．C
【分析】
先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．
【详解】
解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，
∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意；
a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意；
ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；
∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，
∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
12．D
【分析】
根据分母有理化将进行整理即可求解．
【详解】
解：，
又，
．
故选：D．
【点拨】此题主要考查分母有理化的应用，正确掌握分母有理化是解题关键．
13．D
【分析】
先将x3﹣xy2因式分解为，再计算出，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：x3﹣xy2＝
＝，
，，
，，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解和二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．
14．D
【分析】
把已知条件变形得到x-2=，两边平方得到x2=4x+1，利用降次的方法得到原式=3x-1，然后把 x 的值代入计算即可．
【详解】
∵x＝+2，
∴x﹣2＝，
∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，
∴x2＝4x+1，
∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，
当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，运用整体代入的方法可简化计算．
15．A
【分析】
将变形为，已知a、b的值，分别计算出a+b、ab的值，整体代入求值即可．
【详解】
a+b=6，
ab=()()=4，
=
=，
=
=．
故选：A．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，本题关键在于利用完全平方公式以及平方差公式简化运算．
16．B
【分析】
由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴=-或=，
∵，
∴＜0，
∴= -，=不符合题意，舍去，
故选B．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键．
17．D
【分析】
将代入代数式，然后根据二次根式混合运算法则进行化简计算．
【详解】
解：当时，
，
．
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
18．B
【分析】
先把二次根式进行化简，然后把xy＝4，代入计算，即可求出答案．
【详解】
解：∵x+y＝﹣5＜0，xy＝4＞0，
∴x＜0，y＜0，
∴原式＝
＝
＝﹣2，
∵xy＝4，
∴原式＝﹣2＝﹣2×2＝﹣4；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
19．D
【分析】
利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
【详解】
A、由于5<7，则＜，故正确；
B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；
C、由于，则，故正确；
D、由于，故错误．
故选：D
【点拨】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．
20．B
【分析】
将，进行分母有理化，再比较即可．
【详解】
解：，
，
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点拨】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
21．A
【分析】
将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．
【详解】
解:∵，，，
又，
∴．
故选：A.
【点拨】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键．
22．C
【分析】
如图，由题意知S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)，得BC=（cm），HG=（cm），进而求得S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF．
【详解】
解：如图．
由题意知：S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)．
∴BC=（cm），HG=（cm）．
∵四边形BCDM是正方形，四边形HMFG是正方形，
∴BC=BM=MD=4cm，HM=HG=MF=3cm．
∴S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF
=BM•HM+MD•MF
=4×3+4×3
=48（cm2）．
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
23．B
【分析】
直接把已知数据代入进而化简二次根式得出答案．
【详解】
解：一个三角形的三边分别为，
∴它的面积是：
，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
24．D
【分析】
先利用完全平方公式计算，再化简得到原式，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】
解：，
所以是型无理数，
故选：D．
【点拨】本题考查了完全平方公式在二次根式中的计算，也考查了无理数，熟练掌握完全平方公式及二次根式的运算法则是解决本题的关键．
25．①
【分析】
由立方根的含义可判断①，由二次根式有意义的条件可判断②，由 可判断③，由算术平方根的含义可判断④，由负整数指数幂的含义可判断⑤，由同类二次根式的含义可判断⑥，从而可得答案.
【详解】
解：，运算正确，故①符合题意；
没有意义，不能运算，故②不符合题意；
故③不符合题意；
故④不符合题意；
故⑤不符合题意；
不是同类二次根式，故⑥不符合题意；
故答案为：①
【点拨】本题考查的是立方根的含义，算术平方根的含义，二次根式的化简，负整数指数幂的含义，同类二次根式的含义，掌握以上基础概念及运算是解本题的关键.
26．
【分析】
根据同类二次根式和最简二次根式的定义得到a+2=5a-3，然后解关于a的方程即可．
【详解】
解：根据题意得a+2=5a-3，
解得a=．
故答案为．
【点拨】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
27．2 9 1
【分析】
（1）先根据二次根式的基本性质化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可；
（2）由于与互为相反数，根据二次根式的性质即可得到的值，然后求出，最后代入所求代数式即可求解；
（3）首先估算的整数部分和小数部分，然后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，，，
∴与是同类二次根式的有、，共2个；
（2）∵，
∴，
∴，
；
（3），
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，
故答案为：2，9，1．
【点拨】此题主要考查了绝对值的性质，二次根式有意义的情况及无理数的估算能力，有一定的综合性，解题关键是利用限制条件解出变量的值．
28．
【分析】
先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．
【详解】
解：原式
，
故答案是：2021．
【点拨】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算，解题的关键是能够发现式子的规律．
29．
【分析】
把化成最简二次根式计算即可．
【详解】
∵
=
=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，熟练进行二次根式的化简是解题的关键．
30．
【分析】
先确定x、y的符号并化简二次根式，再将xy＝8代入求值即可．
【详解】
解：∵x+y＝﹣6，xy＝8，
∴x、y同号且都为负数，
∴x+y=，
故答案为：．
【点拨】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式，正确分析x、y的符号并正确化简二次根式是解题的关键．
31．
【分析】
根据定义新运算，先计算出4⊗8，然后根据定义新运算，列出方程，即可求出x的值即可．
【详解】
解：由题可知：4⊗，
∴x⊗，
即，
∴．
故答案为：．
【点拨】此题考查的是定义新运算，二次根式混合运算，一元一次方程的解法，掌握定义新运算的公式和运算顺序是解决此题的关键．
32．2.5
【分析】
先估算的取值范围，即可得出的取值范围即可得出m、n的值，代入amn＋bn2＝1可得（6a+16b）-（2a+6b）=1，根据结果不含可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得答案．
【详解】
∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴2＜＜3，
∵m、n分别表示的整数部分和小数部分，
∴m=2，n=-2=3-，
∵amn＋bn2＝1，
∴2（3-）a+（3-）2b=1，
整理得：（6a+16b）-（2a+6b）=1，
∵根据结果不含，
∴，
解得：，
∴2a＋b＝2.5．
故答案为：2.5
【点拨】本题考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算，能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
33．
【分析】
利用非负数的性质可求得a与b的值，从而可求得代数式的值．
【详解】
∵与均为非负数，且互为相反数
∴，
即，
∴，
当，时，
故答案为：
【点拨】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，二次根式的计算，关键是根据非负数的性质求得a与b的值．
34．
【分析】
根据规定列出算式，再分母有理化，利用乘法公式计算．
【详解】
解：根据题意得： ．
故答案为：．
【点拨】此题属于新定义运算，考查了二次根式的运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
35．
【分析】
利用平方差公式将原式进行分母有理化，从而进行计算．
【详解】
解：
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查二次根式的分母有理化计算，掌握平方差公式的结构特点（a+b）（a-b）=a2-b2是解题关键．
36．
【分析】
先求出7＋和5﹣的整数部分，从而可求出m，n，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴ ， ，
∴7＋的整数部分为10， 5﹣的整数部分为1，
∴7＋的小数部分为 ， 5﹣的小数部分为 ，
即，，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分．
37．
【分析】
先将所求式子变形为只含有a+b和ab的形式，再计算出a+b和ab，代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
=
∵，
∴，，
∴原式==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次的化简求值，先根据已知条件得到两个字母的和与积的值，然后变形所求的代数式，用这两个字母的和与积来表示，再运用整体代入的方法求代数式的值．
38．-3
【分析】
先把x2+2x﹣5变形为，再将x的值代入进行计算即可．
【详解】
解：∵x＝﹣1，
∴x2+2x﹣5=，
故答案为：-3
【点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值，把x2+2x﹣5变形为是解答本题的关键．
39．4054
【分析】
先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】
解：
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
40．11
【分析】
由a﹣b＝，b﹣c＝，两式相加可得 a﹣c＝2，全部代入到2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ ca）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2即可得．
【详解】
解：∵a﹣b＝，b﹣c＝，
∴a﹣c＝2．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
=×2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）
＝(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca)
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝[（）2+（2）2+（ ）2]
＝×22
=11．
故答案为：11
【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，由a﹣b、b﹣c得出a﹣c及根据完全平方公式对原式变形是解题的关键．
41．
【分析】
先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入原式，利用二次根式的性质化简可得答案．
【详解】
解：∵
∴，，
解得，，
所以，．
故答案为：．
【点拨】此题考查了二次根式的混合运算---化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算的顺序和运算法则．
42．11
【分析】
利用完全平方公式变形得到，然后展开后把代入可计算出的值．
【详解】
解：，
，
，
，
，
而，
，
．
故答案为：11．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了完全平方公式．
43．< <
【分析】
①对于根式的大小比较，可以两边同时平方，比较平方后的大小即可解决问题；
②两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案．
【详解】
解：①左边，平方后得到数为：12，
右边，平方后得到数为：13，
，
；
②左边求倒数为，
右边求倒数为，
，
．
故答案为：①<；②<．
【点拨】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．
44．
【分析】
利用作差法进行比较即可，如a-b＞0，则a＞b．
【详解】
解：作差法可得：
，
∵与0的大小并不能直接观察得出，
∴利用平方法比较与的大小，
∵，
又∵，
∴，
则，
∴
即＜0，
∴，
得出：，
故答案为：．
【点拨】本题考查无理数的大小比较，可以利用近似值、作差法、分母有理化、求倒数等方法进行比较，选择合适的方法，灵活计算是解题的关键．
45．＜．
【分析】
先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】
解：3=，5=，
∵45＜50，
∴
∴，
故答案为：＜．
【点拨】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
46．2
【分析】
由已知可求得和△ABE边AB上的高，进而求得△CDE的边CD上的高，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【详解】
解：，
设的高为h，的高为，则的高为，
，
，
的高为，
，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了三角形的面积公式，根据条件求得△CDE的边CD上的高是解题的关键．
47．
【分析】
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，依此对原式进行去根号和去绝对值．
【详解】
解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a＜b+c，a+c＞b，
∴a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和三角形的三边关系定理，关键是根据三角形的性质：两边之和大于第三边去根号和去绝对值解答．
48．
【分析】
根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】
解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
49．（1）不正确，原因是没有把转化为最简二次根式；（2）见解析
【分析】
（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．
（2）先把转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．
【详解】
解：（1）不正确，原因是没有把转化为最简二次根式；
（2）正确解答过程如下：
∵，和可以合并，
∴，解得：，
经检验，符合题意，∴，．
【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
50．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）先分别求解零次幂，化简二次根式，求解负整数指数幂的运算，再合并即可；
（2）先计算分式的乘方运算，同步把分式的除法化为乘法运算，再约分即可；
（3）先按照平方差公式与完全平方公式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可；
（4）先分别化简各二次根式，再合并同类二次根式即可.
【详解】
解：（1）
（2）解：
=
=
（3）解：
=
=
=
（4）解：
=
= .
【点拨】本题考查的是整式的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算，分式的乘除乘方混合运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键.
51．（1）5；（2）7﹣2；（3）﹣6；（4）．
【分析】
（1）利用二次根式的除法法则运算；
（2）利用完全平方公式计算；
（3）先利用二次根式的乘法法法则运算，然后化简后合并即可；
（4）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】
解：（1）原式＝+，
＝2+3，
＝5；
（2）原式＝5﹣2+2，
＝7﹣2；
（3）原式＝﹣2﹣3，
＝3﹣6﹣3，
＝﹣6；
（4）原式＝2﹣+，
＝．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键．
52．，
【分析】
先计算异分母分式减法，将除法化为乘法，最后将a值代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
当时，原式=
【点拨】本题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算顺序及法则是解题的关键．
53．（1）；（2）①；②；③
【分析】
（1）由可得： 从而可得答案；
（2）①分子分母都乘以，计算后可得答案；②把每一项的分母中的根号去掉，分母有理化后再合并同类二次根式即可得到答案；③先把化为再代入代数式求值即可.
【详解】
解：（1）
（2）①
②
③ ，
【点拨】本题考查的是二次根式的化简，分母有理化，利用二次根式的变形求解代数式的值，熟悉二次根式的运算法则，运算技巧是解题的关键.
54．（1），；（2）＜
【分析】
（1）根据题目中的例子，进行分母有理化运算即可；
（2）根据题目中的例子，可以得到=，=，然后即可比较出和的大小．
【详解】
解：（1）==；
==；
（2）=，
=，
∵＞，
∴＜，
∴＜．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的计算方法．
55．（1）；（2）
【分析】
（1）根据题目所给公式把，，代入求解即可得到答案；
（2）根据题目所给公式把，，代入求解即可得到答案．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∴海伦公式求解：
；
秦九韶公式求解：
；
（2）∵，
∴，
同理得，，
∴海伦公式求解：∵，
∴
，
∴；
秦九韶公式求解：
；
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
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