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    河南省周口市第十九初级中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

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    河南省周口市第十九初级中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

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    这是一份河南省周口市第十九初级中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案),共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    河南省周口十九中2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(解析版)
    一、选择题(每小题3分,共30分)
    1.下列方程是关于x的一元二次方程的是(  )
    A.x2+=0 B.ax2+bx+c=0
    C.x2+x﹣2=0 D.3x3﹣2xy﹣5y2=0
    2.抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是(  )
    A.(1,2) B.(1,﹣2) C.(﹣1,2) D.(﹣1,﹣2)
    3.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是(  )
    A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2﹣2 C.y=x2+2 D.y=x2﹣2
    4.关于x的方程(m2﹣2m﹣3)x2+mx﹣1=0是一元二次方程,则m的取值范围(  )
    A.m≠﹣1 B.m≠3 C.m≠﹣1或m≠3 D.m≠﹣1且m≠3
    5.下列所给的方程中,没有实数根的是(  )
    A.x2+x=0 B.5x2﹣4x﹣1=0 C.3x2﹣4x+1=0 D.4x2﹣5x+2=0
    6.一件商品标价100元,连续两次降价后的价格为81元,则两次平均降价的百分率是(  )
    A.10% B.15% C.18% D.20%
    7.如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为(  )

    A.100×80﹣100x﹣80x=7644
    B.(100﹣x)(80﹣x)+x2=7644
    C.(100﹣x)(80﹣x)=7644
    D.100x+80x=356
    8.已知点A(﹣2,y1),B(﹣3,y2),C(﹣5,y3)都在二次函数y=2x2+4x图象上,那么y1、y2、y3的大小关系是(  )
    A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3 C.y1<y3<y2 D.y1>y3>y2
    9.若α,β是方程x2+2x﹣2024=0的两个实数根,则α2+3α+β的值为(  )
    A.2015 B.2022 C.﹣2015 D.4010
    10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0;③2a+b>0;④a﹣b+c<0,其中正确的个数(  )

    A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
    二、填空题(本大题5小题,每小题3分,共15分)
    11.写出解为x=﹣3的一个一元二次方程:   .
    12.关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根为0,则m=   .
    13.正方形边长3,若边长增加x,则面积增加y,y与x的函数关系式为    .
    14.关于x的二次函数y=2mx2+(8m+1)x+8m的图象与x轴有交点,则m的范围是   .
    15.关于抛物线y=﹣x2,下列说法,正确的序号有    (填序号).
    ①抛物线开口向下,顶点是原点;
    ②当x>0时,y随x的增大而减小;
    ③当﹣1<x<2时,﹣4<y<﹣1;
    ④若(m,p),(n,p)是抛物线上的两点,则m+n=0.
    三、解答题(共75分)
    16.(12分)解方程.
    (1)x2+4x﹣5=0;
    (2)x(x+3)=2(x+3).
    17.(8分)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(0,2)和(1,﹣1),求二次函数解析式和顶点坐标.
    18.(8分)函数y=ax2+bx+c的图象如图,那么:
    方程ax2+bx+c=0的根是    ;
    不等式ax2+bx+c>0的解集是    ;
    不等式ax2+bx+c<0的解集是    .

    19.(8分)已知x1、x2是方程x2﹣kx+k(k+4)=0的两个根,且满足(x1﹣1)(x2﹣1)=,求k的值.
    20.(9分)已知函数y=(m+2)是关于的二次函数,求:
    (1)满足条件m的值.
    (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点的坐标,这时x为何值时y随x的增大而增大?
    (3)m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时x为何值时,y随x的增大而减小.
    21.(9分)如图,有一面积为150m2的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆的长为35m,求鸡场的长与宽各为多少米?

    22.(9分)将进价为40元的商品按50元的价格出售时,能卖出500个,已知该商品每涨价1元,其销售量就要减少10个,为了尽快减少库存,同时也为了赚取8000元的利润,售价应定为多少元?
    23.(12分)已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
    (3)点E抛物线上的动点,是否存在点E,使A、B、E这样的三个点为顶点的三角形的面积等于4?如果存在,直接写出所满足条件的E点坐标;如果不存在,请说明理由.


    参考答案与试题解析
    一、选择题(每小题3分,共30分)
    1.下列方程是关于x的一元二次方程的是(  )
    A.x2+=0 B.ax2+bx+c=0
    C.x2+x﹣2=0 D.3x3﹣2xy﹣5y2=0
    【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.
    【解答】解:A.方程是分式方程,不是整式方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
    B.当a=0时,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
    C.方程是一元二次方程,故本选项符合题意;
    D.方程是二元三次方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
    故选:C.
    【点评】本题考查了一元二次方程的定义,能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键,注意:只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫一元二次方程.
    2.抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是(  )
    A.(1,2) B.(1,﹣2) C.(﹣1,2) D.(﹣1,﹣2)
    【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可.
    【解答】解:y=(x﹣1)2+2的顶点坐标为(1,2).
    故选:A.
    【点评】本题考查了二次函数的性质,熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键.
    3.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是(  )
    A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2﹣2 C.y=x2+2 D.y=x2﹣2
    【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标,然后根据向下平移纵坐标减,向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标,再利用顶点式解析式写出即可.
    【解答】解:抛物线y=(x+1)2的顶点坐标为(﹣1,0),
    ∵向下平移2个单位,
    ∴纵坐标变为﹣2,
    ∵向右平移1个单位,
    ∴横坐标变为﹣1+1=0,
    ∴平移后的抛物线顶点坐标为(0,﹣2),
    ∴所得到的抛物线是y=x2﹣2.
    故选:D.
    【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便,且容易理解.
    4.关于x的方程(m2﹣2m﹣3)x2+mx﹣1=0是一元二次方程,则m的取值范围(  )
    A.m≠﹣1 B.m≠3 C.m≠﹣1或m≠3 D.m≠﹣1且m≠3
    【分析】根据一元二次方程的定义得出m2﹣2m﹣3≠0,再求出m的范围即可.
    【解答】解:∵关于x的方程(m2﹣2m﹣3)x2+mx﹣1=0是一元二次方程,
    ∴m2﹣2m﹣3≠0,
    解得:m≠﹣1且m≠3,
    故选:D.
    【点评】本题考查了一元二次方程的定义,能根据一元二次方程的定义得出m2﹣2m﹣3≠0是解此题的关键,注意:只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫一元二次方程.
    5.下列所给的方程中,没有实数根的是(  )
    A.x2+x=0 B.5x2﹣4x﹣1=0 C.3x2﹣4x+1=0 D.4x2﹣5x+2=0
    【分析】分别计算出判别式Δ=b2﹣4ac的值,然后根据△的意义分别判断即可.
    【解答】解:A、Δ=12﹣4×1×0=1>0,所以方程有两个不相等的实数根;
    B、Δ=(﹣4)2﹣4×5×(﹣1)=36>0,所以方程有两个不相等的实数根;
    C、Δ=(﹣4)2﹣4×3×1=4>0,所以方程有两个不相等的实数根;
    D、Δ=(﹣5)2﹣4×4×2=﹣7<0,所以方程没有实数根.
    故选:D.
    【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2﹣4ac:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.
    6.一件商品标价100元,连续两次降价后的价格为81元,则两次平均降价的百分率是(  )
    A.10% B.15% C.18% D.20%
    【分析】设平均每次降价的百分率为x,那么第一次降价后的单价是原来的(1﹣x),那么第二次降价后的单价是原来的(1﹣x)2,根据题意列方程解答即可.
    【解答】解:设平均每次降价的百分率为x,根据题意列方程得:
    100×(1﹣x)2=81,
    解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去),
    故选:A.
    【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,解答本题的关键在于分析降价后的价格,要注意降价的基础,另外还要注意解的取舍,难度一般.
    7.如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为(  )

    A.100×80﹣100x﹣80x=7644
    B.(100﹣x)(80﹣x)+x2=7644
    C.(100﹣x)(80﹣x)=7644
    D.100x+80x=356
    【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程.
    【解答】解:设道路的宽应为x米,由题意有
    (100﹣x)(80﹣x)=7644,
    故选:C.
    【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键.
    8.已知点A(﹣2,y1),B(﹣3,y2),C(﹣5,y3)都在二次函数y=2x2+4x图象上,那么y1、y2、y3的大小关系是(  )
    A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3 C.y1<y3<y2 D.y1>y3>y2
    【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向,进而求解.
    【解答】解:∵y=2x2+4x,
    ∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=﹣=﹣1,
    ∴x<﹣1时,y随x增大而减小,
    ∴y1<y2<y3.
    故选:B.
    【点评】本题二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数与不等式的关系.
    9.若α,β是方程x2+2x﹣2024=0的两个实数根,则α2+3α+β的值为(  )
    A.2015 B.2022 C.﹣2015 D.4010
    【分析】由根与系数的关系,得到α+β=﹣2,α•β=﹣2024,由方程的根可得α2+2α=2024,然后代入变形后的式子求值,即可得到答案.
    【解答】解:∵α,β是方程x2+2x﹣2024=0的两个实数根,
    ∴α+β=﹣2,α2+2α=2024,
    ∴原式=α2+2α+α+β
    =2024+(﹣2)
    =2022.
    故选:B.
    【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系,代数式变形求值,解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系.
    10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0;③2a+b>0;④a﹣b+c<0,其中正确的个数(  )

    A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
    【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据抛物线与x轴交点的位置及x=﹣1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
    【解答】解:由二次函数的图象可得a<0,b>0,c>0,对称轴0<﹣<1,
    ①由a<0,b>0,c>0,则abc<0,故选项错误;
    ②由于对称轴交x轴的正半轴,即﹣>0所以方程ax2+bx=0的两根之和大于0;故选项正确;
    ③由a<0,b>0,对称轴0<﹣<1,则2a+b<0;故选项错误;
    ④由函数图象可以看出x=﹣1时二次函数的值为负,故选项正确.
    故选:C.
    【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系,二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.会利用特殊值代入法求得特殊的式子,如:y=a+b+c,y=a﹣b+c,然后根据图象判断其值.
    二、填空题(本大题5小题,每小题3分,共15分)
    11.写出解为x=﹣3的一个一元二次方程: x2+6x+9=0 .
    【分析】由x=﹣3得x+3=0,然后把它两边平方即可得到满足条件的一元二次方程.
    【解答】解:解为x=﹣3的一个一元二次方程可为x2+6x+9=0.
    故答案为x2+6x+9=0.
    【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
    12.关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根为0,则m= ﹣1 .
    【分析】根据一元二次方程的解的定义,将x=0代入原方程,列出关于m的方程,通过解关于m的方程即可求得m的值.
    【解答】解:∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根为0,
    ∴x=0满足关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0,且m﹣1≠0,
    ∴m2﹣1=0,即(m﹣1)(m+1)=0且m﹣1≠0,
    ∴m+1=0,
    解得,m=﹣1;
    故答案是:﹣1.
    【点评】本题考查了一元二次方程的解.注意一元二次方程的二次项系数不为零.
    13.正方形边长3,若边长增加x,则面积增加y,y与x的函数关系式为  y=x2+6x .
    【分析】增加的面积=边长为3+x的新正方形的面积﹣边长为3的正方形的面积,把相关数值代入即可求解.
    【解答】解:由正方形边长3,边长增加x,增加后的边长为(x+3),
    则面积增加y=(x+3)2﹣32=x2+6x+9﹣9=x2+6x.
    故应填:y=x2+6x.
    【点评】解决本题的关键是得到增加的面积的等量关系,注意新正方形的边长为3+x.
    14.关于x的二次函数y=2mx2+(8m+1)x+8m的图象与x轴有交点,则m的范围是 且m≠0 .
    【分析】二次函数图象与x轴有交点,则Δ=b2﹣4ac≥0,且m≠0,列出不等式则可.
    【解答】解:由题意知:,解得m且m≠0.
    【点评】该题考查函数图象与坐标轴的交点判断,当Δ=b2﹣4ac>0时图象与x轴有两个交点;当Δ=b2﹣4ac=0时图象与x轴有一个交点;当Δ=b2﹣4ac<0时图象与x轴没有交点.
    15.关于抛物线y=﹣x2,下列说法,正确的序号有  ①②④ (填序号).
    ①抛物线开口向下,顶点是原点;
    ②当x>0时,y随x的增大而减小;
    ③当﹣1<x<2时,﹣4<y<﹣1;
    ④若(m,p),(n,p)是抛物线上的两点,则m+n=0.
    【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标,进一步可得出其增减性,可得出答案.
    【解答】解:∵y=﹣x2,
    ∴①抛物线开口向下,顶点是原点,故①正确;
    ②对称轴为x=0,当x>0时,y随x的增大而减小,故②正确;
    ③当﹣1<x<2时,﹣4<y<0,故③错误;
    ④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点,则m+n=0,故④正确.
    故答案为:①②④.
    【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x﹣h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).
    三、解答题(共75分)
    16.(12分)解方程.
    (1)x2+4x﹣5=0;
    (2)x(x+3)=2(x+3).
    【分析】(1)先把方程的左边分解因式,即可得出两个一元一次方程,再求出方程的解即可;
    (2)移项后把方程的左边分解因式,即可得出两个一元一次方程,再求出方程的解即可.
    【解答】解:(1)x2+4x﹣5=0,
    (x+5)(x﹣1)=0,
    x+5=0或x﹣1=0,
    解得:x1=﹣5,x2=1;

    (2)x(x+3)=2(x+3),
    x(x+3)﹣2(x+3)=0,
    (x+3)(x﹣2)=0,
    x+3=0或x﹣2=0,
    解得:x1=﹣3,x2=2.
    【点评】本题考查了解一元二次方程,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.
    17.(8分)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(0,2)和(1,﹣1),求二次函数解析式和顶点坐标.
    【分析】把两已知点的坐标代入y=x2+bx+c中得到b、c的方程组,再解方程组求出b、c,从而得到二次函数解析式,然后把一般式配成顶点式得到顶点坐标.
    【解答】解:根据题意得,
    解得,
    ∵二次函数解析式为y=x2﹣4x+2,
    ∵y=x2﹣4x+2=(x﹣2)2﹣2,
    ∴二次函数图象的顶点坐标为(2,﹣2).
    【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质.
    18.(8分)函数y=ax2+bx+c的图象如图,那么:
    方程ax2+bx+c=0的根是  x1=﹣1,x2=3 ;
    不等式ax2+bx+c>0的解集是  ﹣1<x<3 ;
    不等式ax2+bx+c<0的解集是  x<﹣1或x>3 .

    【分析】(1)根据函数与x轴的交点写出即可;
    (2)根据函数图象写出x轴上方的x的取值范围即可;
    (3)根据函数图象写出x轴下方的x的取值范围即可.
    【解答】解:(1)∵二次函数与x轴的交点坐标为(﹣1,0),(3,0),
    ∴方程的ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;
    (2)∵抛物线在x轴上方时,x<﹣1或x>3,
    ∴不等式ax2+bx+c>0的解集是x<﹣1或x>3,
    (3)∵抛物线在x轴下方时,﹣1<x<3,
    ∴不等式ax2+bx+c<0的解集是﹣1<x<3,.
    故答案为:(1)x1=﹣1,x2=3;(2)x<﹣1或x>3;(3)﹣1<x<3.
    【点评】本题考查了二次函数与不等式,抛物线与x轴的交点,此类题目,利用数形结合的思想求解更简便,难点在于求出抛物线对称轴.
    19.(8分)已知x1、x2是方程x2﹣kx+k(k+4)=0的两个根,且满足(x1﹣1)(x2﹣1)=,求k的值.
    【分析】(x1﹣1)(x2﹣1)=,即x1x2﹣(x1+x2)+1=,根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积,代入x1x2﹣(x1+x2)+1=,即可得到一个关于k的方程,从而求得k的值.
    【解答】解:∵x1+x2=k,x1x2=k(k+4),
    ∵(x1﹣1)(x2﹣1)=,
    ∴x1x2﹣(x1+x2)+1=,
    ∴k(k+4)﹣k+1=,
    解得k=±3,
    当k=3时,方程为x2﹣3x+=0,Δ=9﹣21<0,不合题意舍去;
    当k=﹣3时,方程为x2+3x﹣=0,Δ=9+3>0,符合题意.
    故所求k的值为﹣3.
    【点评】本题考查了根与系数的关系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=,x1x2=.注意运用根与系数的关系的前提条件是:一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△≥0.
    20.(9分)已知函数y=(m+2)是关于的二次函数,求:
    (1)满足条件m的值.
    (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点的坐标,这时x为何值时y随x的增大而增大?
    (3)m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时x为何值时,y随x的增大而减小.
    【分析】(1)根据二次函数的定义得到m+2≠0且m2+m﹣4=2,然后解两个不等式即可得到满足条件的m的值为2或﹣3;
    (2)根据二次函数的性质得当m+2>0时,抛物线有最低点,所以m=2,则y=4x2,然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性;
    (3)根据二次函数的性质得到当m=﹣3时,抛物线开口向下,函数有最大值,则y=﹣x2,然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性.
    【解答】解:(1)根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2,
    解得m1=2,m2=﹣3,
    所以满足条件的m值为2或﹣3;
    (2)当m+2>0时,抛物线有最低点,
    所以m=2,
    抛物线解析式为y=4x2,
    所以抛物线的最低点为(0,0),当x≥0时,y随x的增大而增大;
    (3)当m=﹣3时,抛物线开口向下,函数有最大值;
    抛物线解析式为y=﹣x2,
    所以二次函数的最大值是0,这时,当x≥0时,y随x的增大而减小.
    【点评】本题考查了二次函数的最值:先把二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)配成顶点式为y=a(x+)2+,当a>0,y最小值=;当a<0,y最大值=.也考查了二次函数的定义以及二次函数的性质.
    21.(9分)如图,有一面积为150m2的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆的长为35m,求鸡场的长与宽各为多少米?

    【分析】根据设出的鸡场的宽表示出鸡场的长,然后利用矩形的面积表示出矩形的面积即可列出方程求解.
    【解答】解:设养鸡场的宽为xm,则长为(35﹣2x)m,
    由题意得,x(35﹣2x)=150,
    解这个方程:x1=7.5,x2=10,
    当养鸡场的宽为 x1=7.5 时,养鸡场的长为20m不符合题意,应舍去,
    当养鸡场的宽为x2=10m时,养鸡场的长为15m,
    答:鸡场的长与宽各为15m,10m.
    【点评】本题考查一元二次方程的应用,关键在与找出等量关系列出方程求解;本题应注意分情况讨论和配方法求最大值在实际中的应用问题.
    22.(9分)将进价为40元的商品按50元的价格出售时,能卖出500个,已知该商品每涨价1元,其销售量就要减少10个,为了尽快减少库存,同时也为了赚取8000元的利润,售价应定为多少元?
    【分析】设涨价x元,则售价为(50+x)元,销售(500﹣10x)件,根据每件的盈利×销售的件数=赚取的利润,列方程求解即可.
    【解答】解:设涨价x元,则售价为(50+x)元.
    依题意列方程得(50+x﹣40)(500﹣10x)=8000.
    整理得x2﹣40x+300=0,
    解得x1=10,x2=30.
    为了尽快减少库存,x=10,
    50+10=60,
    答:售价应定为60元.
    【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程.
    23.(12分)已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
    (3)点E抛物线上的动点,是否存在点E,使A、B、E这样的三个点为顶点的三角形的面积等于4?如果存在,直接写出所满足条件的E点坐标;如果不存在,请说明理由.

    【分析】(1)把A、D两点坐标代入二次函数y=x2+bx+c,解方程组即可.
    (2)利用轴对称找到点P,用勾股定理即可解决.
    (3)根据三角形面积公式,列出方程即可解决.
    【解答】解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(﹣3,0),D(﹣2,﹣3),
    ∴,
    解得:,
    ∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3;
    (2)由y=x2+2x﹣3得抛物线对称轴为直线x=﹣1,C(0,﹣3),
    ∵D(﹣2,﹣3),
    ∴C、D关于抛物线的对称轴x=﹣1对称,
    连接AC与对称轴的交点就是点P,如图:

    此时PA+PD=PA+PC=AC===3,
    即PA+PD的最小值是3;
    (3)存在点E,使A、B、E三个点为顶点的三角形的面积等于4,理由如下:
    设点E坐标(m,m2+2m﹣3),
    在y=x2+2x﹣3中,令y=0得x2+2x﹣3=0,
    解得x=﹣3或x=1,
    ∴点B坐标(1,0),
    ∴AB=4,
    ∵S△EAB=4,
    ∴×4•|m2+2m﹣3|=4,
    ∴m2+2m﹣5=0或m2+2m﹣1=0,
    ∴m=﹣1或m=﹣﹣1或m=﹣1+或m=﹣1﹣,
    ∴点E坐标为(﹣1,2)或(﹣﹣1,2)或(﹣1+,﹣2)或(﹣1﹣,﹣2).
    【点评】本题是二次函数综合题,考查待定系数法确定二次函数解析式、轴对称﹣最短问题,解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式,学会利用对称解决最短问题,用方程的思想去思考问题,属于中考常考题型.


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