2022-2023学年河南省周口市项城市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省周口市项城市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 15B. 0.1C. 48D. 51
2.关于x的一元二次方程x2=2x的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有一个实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
3.下列事件中的随机事件是( )
A. 瓜熟蒂落B. 一箭双雕C. 海底捞月D. 石沉大海
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则AB的长是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.等腰三角形的一腰长为6cm，底边长为6 3cm，则其底角为( )
A. 120°B. 90°C. 60°D. 30°
6.下列函数中是二次函数的是( )
A. y=1x2−1B. y=x2−(1+x)2
C. y=−2x2+10x−1D. y=ax2+5x
7.如图所示：∠CAB=∠BCD，AD=2，BD=4，则BC=( )
A. 2 2
B. 2 6
C. 3
D. 6
8.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，DE的延长线交BC的延长线于点F，DG/​/BC交AC于点G，则下列式子一定正确的是( )
A. ADBD=DGBC
B. ADBD=AECE
C. DEEF=DGCF
D. CFBF=EFDF
9.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为( )
A. 3
B. −3
C. 32
D. −32
10.如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点(Brcard pint)是法国数学家和数学教育家克洛尔( 1780−1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brcard 1845−1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=( )
A. 5B. 4C. 3+ 2D. 2+ 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA= ______ ．
12.从甲、乙、丙三位志愿者中随机选出一位去敬老院献爱心，则选中甲的概率为______ ．
13.如图，l1//l2//l3，AB=2，BC=4，DB=32，则DE的长为______ ．
14.二次函数y=x2+bx+1(b>0)的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是______ ．
15.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE/​/BC，过点A作AF/​/BC，分别交∠AED，∠ACB的平分线于点F，G.若BD=2AD，CG平分线段BD，则FGBC= ______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：2sin60°− 12−2−1+ 14；
(2)解方程：x2−6x−3=0．
17.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,0)，B(0,−2)，C(2,−1)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△AB1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第二象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并写出点C2的坐标．
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值．
19.(本小题8分)
如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘(当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘)，当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y.请用树状图或列表法求点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的概率．
20.(本小题9分)
如图，直线y=x+m与二次函数y=ax2+2x+c的图象交于点A(0,3)，已知该二次函数图象的对称轴为直线x=1．
(1)求m的值及二次函数的表达式；
(2)若直线y=x+m与二次函数y=ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
(3)当x为何值时，该一次函数的值大于二次函数的值？请根据函数图象回答．
21.(本小题10分)
如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.点E是BC的中点，AE交BD于点F．
(1)若BD=24cm，求OF的长；
(2)若S△BEF=6cm2，求▱ABCD的面积．
22.(本小题10分)
某商店于今年三月初以每件40元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件60元时，三月份共销售192件.四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到300件．
(1)求四、五两个月销售量的平均增长率；
(2)从六月份起，在五月份的基础上，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价1元，月销售量增加20件.在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，商场六月仍可获利为6080元？
23.(本小题12分)
如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
(1)证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：AGBE的值为______；
(2)探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展与运用：
若AB=2EC=4，正方形CEGF在绕点C旋转过程中，当A、E、G三点在一条直线上时，则BE=______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 15= 55，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B、 0.1= 110= 1010，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C、 48=4 3，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、 51是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由x2=2x得到：x2−2x=0，
∵△=(−2)2−4×1×0=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先计算出△=(−2)2−4×1×0=4>0，然后根据判别式△=b2−4ac的意义即可判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
3.【答案】B
【解析】解：A.瓜熟蒂落，这是必然事件，故A不符合题意；
B.一箭双雕，这是随机事件，故B符合题意；
C.海底捞月，这是不可能事件，故C不符合题意；
D.石沉大海，这是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：如图，
∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=2×2=4．
故选：C．
如图，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．进行计算即可得出答案．
本题主要考查了含30°角的直角三角形，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质进行求解是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图，作AD⊥BC于D点．
则BD=DC=3 3．
∵AC=6，
∴cs∠C=DCAC= 32，
∴∠C=30°．
故选D．
三角函数的定义和特殊角的三角函数值求解．
此题的关键是作底边上的高，构造直角三角形，运用三角函数的定义问题就迎刃而解．这是解决等腰三角形问题时常作的辅助线．
6.【答案】C
【解析】解：A. y=1x2−1含有分式1x2，不是二次函数，不符合题意；
B.y=x2−(1+x)2=−2x−1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
C.y=−2x2+10x−1是二次函数，符合题意；
D.y=ax2+5x，若a=0，原函数为一次函数，不符合题意．
故选：C．
根据二次函数的定义判断即可．
本题主要考查了二次函数的判断，明确二次函数的定义是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查相似三角形的判定定理及性质，关键是根据两角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD．
两角对应相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△CBD，再根据相似三角形的性质可解．
【解答】
解：∵∠B=∠B，∠CAB=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴BC：BD=AB：BC，
∴BC：BD=(AD+BD)：BC，
即BC：4=(2+4)：BC，
∴BC=2 6，
故选B．
8.【答案】C
【解析】解：∵DG/​/BC，
∴△DEG∽△FEC，
∴DEEF=DGCF，
故选：C．
通过证明△DEG∽△FEC，可得DEEF=DGCF，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由图象可得，
二次函数y=ax2+bx的最小值是y=−3，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
即一元二次方程ax2+bx=−m有实数根，
也就是y=ax2+bx与y=−m有交点，
∴−m≥−3，
解得：m≤3，
∴m的最大值是3，
故选：A．
根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，从而可以求得m的取值范围，从而可以得到m的最大值．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
10.【答案】D
【解析】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，
∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴DQFQ=FQQE=DFEF=1 2，
∵DQ=1，
∴FQ= 2，EQ=2，
∴EQ+FQ=2+ 2，
故选：D．
由△DQF∽△FQE，推出DQFQ=FQQE=DFEF=1 2，由此求出EQ、FQ即可解决问题．
本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】45
【解析】解：AB= BC2+AC2= 42+32=5，
sinA=BCAB=45，
故答案为：45．
由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出sinA的值即可．
本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的前提，求出斜边是关键．
12.【答案】13
【解析】解：从甲、乙、丙三位志愿者中随机选出一位去敬老院献爱心，则选中甲的概率为13，
故答案为：13．
从甲、乙、丙三位志愿者中随机选出一位去敬老院献爱心，共有3种结果，其中选中甲有1种结果，由此即可得出答案．
本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解此题的关键．
13.【答案】4.5
【解析】解：∵l1//l2//l3,AB=2,BC=4,DB=32
∴ABBC=DBBE
即24=32BE
解得BE=3
∴DE=DB+BE=32+3=4.5
故答案为：4.5．
由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
14.【答案】(−1,0)
【解析】解：∵二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴Δ=b2−4=0，
解得b=±2，
∵b>0，
∴b=2，
∴x2+2x+1=0，
解得x=−1，
即此公共点的坐标是(−1,0)．
故答案为：(−1,0)．
根据判别式的意义Δ=0得到关于k的方程，然后解方程求出b的值，然后解关于x的方程即可．
考查了抛物线与x轴的交点坐标，关键是掌握对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
15.【答案】3
【解析】解：∵CG平分线段BD，
∴BH=DH，
∴BH=12BD，
∵BD=2AD，
∴AD=DH=BH，
∴AD=13AB，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB=13，
∵DE/​/BC，
∴∠AED=∠ACB，
∵CG是∠ACB的平分线，EF是∠AED的平分线，
∴∠AEF=12∠AED，∠ACG=12∠ACB，
∴∠AEF=∠ACG，
∴EF//CG，
∴△AEF∽△ACG，
∴AFAG=AEAC=13，
∴FG=2AF，AG=23FG，
设AB与CG交于H，
∵AG/​/BC，
∴△AGH∽△BCH，
∴AGBC=AHBH=2，
∴23FGBC=2，
∴FGBC=3，
故答案为3．
根据线段中点的定义得到BH=DH，确定BH=12BD，推出AD=13AB，根据相似三角形的性质得到AEAC=ADAB=13，根据平行线的选择得到∠AED=∠ACB，根据角平分线的定义得到∠AEF=12∠AED，∠ACG=12∠ACB，根据相似三角形的性质得到结论
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)2sin60°− 12−2−1+ 14
=2× 32−2 3−12+12
= 3−2 3−12+12
=− 3；
(2)x2−6x−3=0，
a=1，b=−6，c=−3，
Δ=b2−4a
=(−6)2−4×(−3)
=48，
∴x=6± 482=3±2 3，
解得：x1=3+2 3，x2=3−2 3．
【解析】(1)根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算法则，二次根式性质，算术平方根定义进行计算即可；
(2)用公式法解一元二次方程即可．
本题主要考查了实数混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算法则，二次根式性质，算术平方根定义，准确计算．
17.【答案】解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求；

(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，

由图可得C2的坐标为(−4,2)．
【解析】(1)根据“图形关于x轴对称，对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数”分别画出B、C两点关于x轴的对称点B1、C1，再将A、B1、C1三点依次连接即可；
(2)依题意，可将A、B、C三点的横、纵坐标分别乘以−2，得到其对应点A2、B2、C2的坐标，再在坐标系中描点连线即可得到结果．
本题主要考查图形的轴对称和图形的位似，若图形关于x轴对称，则对应点(x,y)变为(x,−y)，若图形关于y轴对称，则对应点(x,y)变为(−x,y)，若图形关于原点对称，则对应点(x,y)变为(−x,−y)；若△A1B1C1与△ABC关于原点位似，且位似比为k，则只需将A、B、C的坐标分别乘以|k|，再在坐标系中描点连线，即可得到△ABC关于原点的位似图形．
18.【答案】解：在Rt△BCD中，∵CD=3、BD=5，
∴BC= BD2−CD2= 52−32=4，
又AC=AD+CD=8，
∴AB= AC2+BC2= 82+42=4 5，
则sinA=BCAB=44 5= 55，
csA=ACAB=84 5=2 55，
tanA=BCAC=48=12．
【解析】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC=4，在Rt△ABC中求得AB=4 5，再根据三角函数的定义求解可得．
本题主要考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及三角函数的定义．
19.【答案】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，
∴点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的概率为49．
【解析】画树状图，共有9种等可能的结果，点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限内的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)∵直线y=x+m经过点A(0,3)，
∴m=3，
∴直线为y=x+3，
∵二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点A(0,3)，且对称轴为直线x=1．
∴c=3−22a=1，
解得a=−1c=3，
∴二次函数解析式为y=−x2+2x+3；
(2)解y=x+3y=−x2+2x+3，
解得x=0y=3或x=1y=4，
∴B(1,4)，
∴△OAB的面积=12×3×1=32；
(3)由图象可知：当x<0或x>1时，该一次函数值大于二次函数值．
【解析】(1)根据待定系数法即可求得m的值及二次函数解析式；
(2)解析式联立组成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
(3)根据图象即可求得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数与不等式，数形结合是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，OB=0.5BD=12，
在▱ABCD中，∵点E是BC的中点，
∴F是△ABC的重心，
∴OF=13OB=4cm．
(2)∵BE：DA=BF：DF，∠EBF=∠ADF
∴△BEF∽△DAF，
∴S△BEF：S△DAF=1：4，
∵S△BEF=6cm2，
s△DAF=24cm2，
又BF：FD=1：2，
∴S△ABF=0.5S△ADF=12cm2，
∴s△ABD=36cm2，
∴S▱ABCD=72cm2．
【解析】(1)首先根据平行四边形的对角线互相平分，得出OB=0.5BD=12，再证明点F是△ABC的重心，然后根据重心的性质得出OF=13OB=4cm；
(2)首先证明△BEF∽△DAF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出s△DAF=4S△BEF，又BF：FD=1：2，根据同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出S△ABF=0.5S△ADF，从而求出s△ABD的值，则S▱ABCD=2s△ABD．
本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．
22.【答案】解：(1)设四、五两个月销售量的平均增长率为x%，
由题意知：192(1+x%)2=300，
解得x=25或x=−225(舍)，
故四、五两个月销售量的平均增长率为25%；
(2)设当年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为6080元，
由题意知：(60−m−40)(300+20m)=6080，
整理得：(m−1)(m−4)=0，
解得m=1或m=4，
∵要使顾客获得最大实惠，
∴m=4，
即在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价4元时，商场六月仍可获利为6080元．
【解析】(1)设四、五两个月销售量的平均增长率为x%，根据三月份销量与五月份销量的关系列一元二次方程，即可求解；
(2)当年糕每件降价m元时，月销量为(300+20m)件，单件利润为(60−m−40)元，根据总利润等于销量乘以单件利润列一元二次方程，即可求解．
本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】 2 14+ 2或 14− 2
【解析】解：(1)证明与推断：
①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，∠BCD=90°，
∵GE⊥BC，GF⊥CD，
∴∠GEC=∠GFC=∠BCD=90°，
∴四边形CEGF是矩形，
∵∠EGC=90°−∠GCE=45°=∠GCE，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②∵四边形ABCD是正方形，四边形CEGF是正方形，
∴AC= 2BC，GC= 2EC，
∴AGBE=AC−GCBC−EC= 2，
故答案为： 2；
(2)探究与证明：
AG= 2BE，
理由如下：如图，连接GC，
∵四边形ABCD是正方形，四边形CEGF是正方形，
∴AC= 2BC，GC= 2EC，∠ACB=∠GCE=45°，
∴∠BCE=∠ACG，ACBC= 2=GCCE，
∴△AGC∽△BEC，
∴AGBE=ACBC= 2；
(3)拓展与运用：
∵AB=2EC=4，
∴EC=EG=GF=CF=2，AC= 2AB=4 2，
如图，当点E在线段AG上时，
在Rt△AEC中，AE= AC2−CE2= 32−4=2 7，
∴AG=AE+EG=2 7+2，
∵AGBE= 2，
∴BE=AG 2=2 7+2 2= 14+ 2；
如图，当点G在线段AE上时，
在Rt△AEC中，AE= AC2−CE2= 32−4=2 7，
∴AG=AE−EG=2 7−2，
∵AGBE= 2，
∴BE=AG 2=2 7−2 2= 14− 2；
故答案为： 14+ 2或 14− 2．
(1)证明与推断：
①由正方形的性质可得∠ACB=∠ACD=45°，∠BCD=90°，可证四边形CEGF是矩形，由∠EGC=90°−∠GCE=45°=∠GCE，可得EG=EC，可得结论；
②由正方形的性质可得AC= 2BC，GC= 2EC，即可求解；
(2)探究与证明：
通过证明△AGC∽△BEC，可得AGBE=ACBC= 2；
(3)拓展与运用：
分两种情况讨论，由勾股定理可求AE的长，AG的长，由(2)的结论可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．