【备战中考】2022-2023学年中考数学真题汇编专题02 实数-【题型方法解密】

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实数
[知识要点]
一 平方根
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。
考查题型一 算术平方根的相关计算
[解题思路]了解算术平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例1．（2022·四川泸州·中考真题）（    ）
A． B． C． D．2
变式1-1．（2022·四川凉山·中考真题）化简：＝（    ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
变式1-2．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________．
变式1-3．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
变式1-4．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
易错点总结：


平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
平方根的表示：正数a的平方根用±a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， −a叫做a的负平方根。
平方根的性质：
1）一个正数有两个平方根：±a，且他们互为相反数（重点）。
2）
3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）
4）负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：

[扩展]

考查题型二 平方根的相关计算
[解题思路]了解平方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例2．（2022·四川宜宾·中考真题）4的平方根是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．16
变式2-1．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（ ）
A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3
变式2-2．（2021·河北石家庄·模拟）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．9
易错点总结：


二 立方根
立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a
立方根的性质：
1）任何实数都有唯一确定的立方根。
2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。
3）０的立方根是０。
4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3−a=−3a （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
n次方根(扩展)
概念：如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±na；０的偶次方根为０：n0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
考查题型三 立方根的相关计算
[解题思路]了解立方根的定义及相关性质是解题的关键。
典例3．．（2022·江苏淮安·中考真题）27的立方根为_____．
变式3-1．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．
变式3-2（2019·山东潍坊·中考真题）利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　）
A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9
变式3-3（选做）．（2020·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（    ）

A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
变式3-4．（2021·四川资阳·中考真题）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
变式3-5．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
易错点总结：


三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
[扩展]有理数与无理数的区别：
1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。
2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。
常见的无理数类型：
1）一般的无限不循环小数，如：1.41421234¨···
2）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002···(相邻两个2之间0的个数逐次加1)。
3）有特定意义的数，如：π
4)开方开不尽的数。如：3,35。
考查题型四 无理数的判断
[解题思路]掌握无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键。典例4．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（    ）
A． B． C． D．2
变式4-1．（2022·湖南常德·中考真题）在，，，，2022这五个数中无理数的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式4-2．（2022·湖南·中考真题）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
变式4-3．（2022·浙江宁波·中考真题）写出一个大于2的无理数_____．
易错点总结：


考查题型五 无理数的估值
[解题思路]得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
典例5．（2022·重庆·中考真题）估计的值在（    ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
变式5-1．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（    ）

A． B． C． D．π
变式5-2．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（    ）

A． B． C． D．
变式5-3．（2022·四川绵阳·中考真题）正整数a、b分别满足，，则（    ）
A．4 B．8 C．9 D．16
变式5-4．（2022·山东临沂·中考真题）满足的整数的值可能是（   ）
A．3 B．2 C．1 D．0
变式5-5．（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．
变式5-6．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
变式5-7．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为__________ ．
易错点总结：



实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类

实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线

在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质： 
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式 ：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考查题型六 实数的分类
典例6．（2022·贵州铜仁·中考真题）在实数，，，中，有理数是（    ）
A． B． C． D．
变式6-1．（2022·山东日照·中考真题）在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式6-2．（2021·浙江金华·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（    ）
A． B． C．2 D．
易错点总结：


考查题型七 实数的性质
[解题思路]熟练掌握实数的相关性质。
典例7（2022·湖北黄石·中考真题）的绝对值是（    ）
A． B． C． D．
变式7-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）实数9的相反数等于（　　）
A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
变式7-2．（2022·山东枣庄·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
易错点总结：


考查题型八 实数与数轴
[解题思路]熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键。典例8（2022·广西·中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（    ）

A． B．0 C．1 D．2
变式8-1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是(   )

A．点A B．点N C．点P D．点Q
变式8-2．（2022·江西·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（    ）

A． B． C． D．
变式8-3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是(   )

A． B． C． D．
变式8-4．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（　　）

A．﹣5 B．4 C．7 D．8
变式8-5．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．

用“”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．




变式8-6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点．

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．





易错点总结：


考查题型九 比较实数的大小
[解题思路]理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键。典例9（2022·四川达州·中考真题）下列四个数中，最小的数是（    ）
A．0 B．-2 C．1 D．
变式9-1．（2022·四川雅安·中考真题）在﹣，1，，3中，比0小的数是（　　）
A．﹣ B．1 C． D．3
变式9-2．（2022·贵州安顺·中考真题）下列实数中，比－5小的数是（    ）
A．－6 B． C．0 D．
变式9-3．（2022·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是___________．
变式9-4．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小：______（填写“”或“