专题9 圆锥曲线第二定义的应用 微点1 圆锥曲线第二定义的应用（一）

专题9  圆锥曲线第二定义的应用  微点1  圆锥曲线第二定义的应用（一）

专题9  圆锥曲线第二定义的应用

微点1  圆锥曲线第二定义的应用（一）

【微点综述】

新人教A版高中数学选择性必修一P116及P125例5分别给出了椭圆和双曲线的第二定义．圆锥曲线的第二定义（平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹）是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能．本文在此基础上介绍圆锥曲线第二定义的应用．

一、圆锥曲线的第二定义

【引例】平面上任意一点到点的距离与到直线的距离之比为，其中，求点P的轨迹方程．

【解析】，即，，

当时，，令，得，轨迹为椭圆．

当时，，令，得，轨迹为双曲线．

由上述引例，结合抛物线的定义可得——

圆锥曲线的第二定义，也称圆锥曲线的统一定义：在平面内到定点的距离与到定直线（定点不在直线上）的距离之比是常数e的点的轨迹为圆锥曲线．当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为抛物线．其中定点是曲线的焦点，定直线是焦点对应的准线，e是离心率．

圆锥曲线上任意一点与焦点之间所连线段叫做焦半径；过圆锥曲线焦点的直线被曲线所截得的线段叫做焦点弦．

焦半径、焦点弦是圆锥曲线中的重要考点，因其能与直线的倾斜角、向量（定比分点）、三角形面积等知识交汇，故倍受命题人青睐，经常作为压轴题出现在考卷中，以测试考生数学知识和思想解法的掌握和运用．

约定：本文中提到的e为离心率，为直线的倾斜角，p为焦准距（焦点到准线的距离．其中，焦点在x轴的椭圆和双曲线的准线为，抛物线的准线为，焦点在y轴的椭圆和双曲线的准线为，抛物线的准线为．

下面给出圆锥曲线有关焦半径、焦点弦的几个重要结论．

二、几个重要结论

【结论1】

1．以圆锥曲线的焦点为（椭圆是左焦点、双曲线是右焦点），AB为过焦点的弦，其中A在x轴上方，B在x轴下方，则，．

开口向右的抛物线中，如图1，只需令即可，，．

图1                       图2

注：如果与双曲线交于不同两支，如图2，，，这也是为什么在前面及后面的公式中加绝对值的原因．

2．以圆锥曲线的焦点为（椭圆是右焦点，如图3；双曲线是左焦点），AB为过焦点的弦，其中A在x轴上方，B在x轴下方，则，．

开口向左的抛物线中，如图4，只需令即可，，．

图3                    图4                    图5                图6

3．以圆锥曲线的焦点为（椭圆是上焦点，如图5；双曲线是下焦点），AB为过焦点的弦，其中A在y轴右方，B在y轴左方，则，．

开口向下的抛物线中，如图6，只需令即可，，．

4．以圆锥曲线的焦点为（椭圆是下焦点，如图7；双曲线是上焦点），AB为过焦点的弦，其中A在y轴右方，B在y轴左方，则，．

开口向上的抛物线中，如图8，只需令即可，，．

图7                 图8                          图9

公式较多，如何记忆，理解本质，其实不难．首先，焦点在x轴，三角是余弦，焦点在y轴，三角是正弦，其次，分母的加减号，不妨设倾斜角是锐角，较长的焦半径分母较小，中间是“－”，较短的焦半径分母较大，中间是“＋”，通过图像判断长短，再灵活运用即可．在高考中，焦点位于y轴较少考到．

证明：只证明第一个，同理可证其余的公式．

证法1：如图9，根据第二定义，，令，，

，，

．

证法2：（在高考大题中，采用余弦定理加以证明后使用，一定给分）

设，则点A到右焦点的距离，，，．

【结论2】焦点弦长公式

焦点在x轴的焦点弦的长度，特别的，抛物线的焦点弦，只需要令，；

焦点在y轴的焦点弦的长度，特别的，抛物线的焦点弦，只需要令，．

此公式也解释了，为什么所有焦点弦中，通径最短．

证明：．

【评注】即使与双曲线交于不同两支，结论依旧成立．

【结论3】（1）椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式：

①焦点弦长公式：（为直线与焦点所在轴的夹角），通径：（最短焦点弦）；

②焦点弦被焦点分成两部分，则（定值）（取通径即可）．

③，则有（为直线与焦点所在轴的夹角）．

（2）抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式：

①过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则：，．（焦点在轴上的性质对比给出．）

引伸：在抛物线的对称轴上，过的直线交抛物线于两点．

，=（定值）．

②（是直线与焦点所在轴的夹角）=（焦点在轴正半轴上）（其它三种同理可以推导），焦点弦中通径（垂直于对称轴的焦点弦，长为）最短．

③，则有，，（为直线与焦点所在轴的夹角）．

④面积：，（是直线与焦点所在轴的夹角）．

⑤以为直径的圆与准线相切，切点为中点，分别是抛物线的切线，并且分别是的角平分线．

⑥以为直径的圆与相切，切点为焦点．

⑦以焦半径为直径的圆与轴相切．

⑧三点共线，三点共线．

⑨（定值）．

⑩设抛物线的顶点为，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点，经过抛物线上一点垂直于轴的直线和轴交于点，线段是和的比例中项．

【结论4】焦半径的倒数之和为定值（与双曲线交于两支除外）

抛物线中，只需要令，．

证明：．

【结论5】椭圆互相垂直的两个焦点弦倒数之和为定值；

双曲线互相垂直的两个焦点弦倒数之和为定值．

证明：在椭圆中．

【结论6】焦点在x轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，直线AB的倾斜角为，斜率为，，则曲线C的离心率e满足等式：，；

在抛物线中，，则；

若交于双曲线两支，则；

焦点在y轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，若直线AB的倾斜角为，斜率为，，则曲线C的离心率e满足等式：，．

此公式一定要记住，在选填中出现频率非常高，而且非常简便．

证明：我们以焦点在x轴的椭圆为例，，，，

，，．

为什么两边都加绝对值？左边加绝对值是∵如果倾斜角为钝角，．右边加绝对值是∵有可能．学生可能会问或者对公式有影响吗？一定没影响．举例说明，与，，，值不变．

进一步的讨论：（1）当焦点内分弦时，

如图10，，∴．

       图10                           图11

（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），如图2，

，∴．

【评注】特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错．

 三、应用举例

圆锥曲线的第二定义（平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹）是圆锥曲线概念的重要组成部分．揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能．其一是具有明显的导向作用，优先考虑第二定义，有助于启迪思路，理顺解题线索；其二，具有简化功能，巧用圆锥曲线的第二定义，可以简化复杂的变形与讨论，使问题简捷获解；其三，具有显隐转化功能，从圆锥曲线的第二定义出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决；其四，具有联络功能，对于一些需综合运用各种数学思想方法和解题技巧的数学问题，圆锥曲线的第二定义，可在其中起到桥梁作用，使解题思路连贯畅通．

（一）利用定义判断轨迹类型、求轨迹方程

1．已知定点A（1，1）和直线L：x+y-2=0，那么到定点A和到定直线L距离相等的点的轨迹为（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

（二）求点的坐标

2．双曲线的右支上一点，到左焦点与到右焦点的距离之比为，求点的坐标．

（三）求焦点弦长

3．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则

A． B． C． D．

4．已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点对应的准线的距离为（    ）

A． B．5 C． D．

（2021·宁夏·海原县一中模拟预测）

5．已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知抛物线的焦点为,过点作倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于 两点，则的值等于________．

7．过双曲线的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点，则|AB|=________.

8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线交椭圆于、两点.

（1）若的面积为，求直线的方程；

（2）若，求.

【针对训练】

9．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A． B． C． D．

10．已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且，则　　

A．6 B．8 C．10 D．12

（2022湖北期末）

11．过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（    ）

A． B． C． D．

12．过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则_______________________．

13．已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点．若，则＝________．

14．已知椭圆，右焦点为，动直线与圆相切于点，与椭圆交于、两点，其中点在轴右侧.

（1）若直线过点，求椭圆方程；

（2）求证：为定值.

参考答案：

1．D

【分析】根据点A（1，1）在直线L上，得解.

【详解】点A（1，1）在直线L上，所以到定点A和到定直线L距离相等的点的轨迹为过A（1，1）且与直线L垂直的直线.

故选：D.

2．

【分析】设点，利用第二定义表示出，列方程求出，代入求出，得到点的坐标.

【详解】设点，双曲线的左准线为，右准线为，则点到，的距离分别为，解得，将其代入原方程，得．因此，点的坐标为．

3．C

【详解】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，

，选C．

考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．

4．D

【分析】根据给定方程，求出椭圆的离心率，再利用椭圆的第一、第二定义计算作答.

【详解】令椭圆二焦点分别为，显然椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距，离心率，

由对称性不妨令，则由椭圆第一定义知，

由椭圆第二定义得点P到焦点对应准线的距离.

故选：D

5．D

【分析】由已知和面积得到，，对进行化简，配方求最值.

【详解】由已知的，故.∵的面积为，

∴，∴.又∵，

∴，，∴，

又，∴，

∴.∴的取值范围为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质，以及配方求最值的问题.

6．

【分析】根据题意设直线的方程为，联立方程组求得，进而求得，得到，即可求解.

【详解】由题意，抛物线的焦点为，

因为过点的直线的倾斜角为，可得斜率，

可设直线的方程为

联立方程组，整理得，

设，则，

所以，

所以，即，解得或（舍去），

所以.

故答案为：.

7．

【分析】先表示出直线AB，联立方程组，利用弦长公式求|AB|.

【详解】解析：由双曲线的方程得a=，b=，

所以c==3，F1(-3，0)，F2(3，0).

直线AB的方程为y= (x-3).

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得5x2+6x-27=0.

所以x1+x2=，x1x2=，

所以AB=|x1-x2|=·.

故答案为：

【点睛】求圆锥曲线的弦长：

（1） “设而不求法”，利用弦长公式求弦长，这是求弦长的一般方法；

（2）特别的：圆中求弦长用垂径定理；抛物线求焦点弦弦长用抛物线的焦点弦弦长公式：

8．（1）或；（2）.

【分析】（1）本题首先可以设、，然后对直线斜率为0这种情况进行讨论，易知这种情况不满足题意，再然后对直线斜率不为0这种情况进行讨论，可设直线的方程为，通过联立直线方程与椭圆方程并借助韦达定理得出、，最后通过求出的值，即可得出结果；

（2）本题首先可根据得出，然后结合题（1）得出、，再然后两者联立，计算出的值，最后通过即可得出结果.

【详解】（1）设、，

因为椭圆方程为，所以，，

当直线斜率为0时，直线的方程为，

联立，解得，则，

，不满足题意；

当直线斜率不为0时，设直线的方程为，

联立，得，

由韦达定理得、，

则

，

整理得，解得，或（舍去），

故，直线的方程为或.

（2）设、，

因为，所以，，

由（1）可知，，

故，，

联立，得，解得，

所以.

【点睛】本题考查椭圆与直线相交的相关问题的求解，考查向量的坐标运算，考查韦达定理的灵活应用，考查焦点弦的长度计算，考查计算能力，考查化归与转化思想，是难题.

9．B

【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.

【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

10．B

【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的长度

【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为

设，，则

，，

，，，，

．

故选B．

【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．

11．A

【分析】设，，把直线与椭圆联立，求出，

，即可求出.

【详解】由，得，，，左焦点为．

则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，

设，，则，，

又，

根据弦长公式得：，

且，

∴，

故选：A．

12．

【详解】

故答案为：.

13．

【详解】试题分析：由已知e＝，所以，所以，，则椭圆方程＝1变为．设A，又＝3，所以，所以，所以， ①， ②．①－9×②，得，所以，所以，所以，，从而，，所以A，B，故．

考点：1、椭圆的几何性质；2、平面向量的坐标运算；3、直线的斜率．

【方法点睛】“设而不求”就是指在解题过程中根据需要设出变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到一种“化难为易、化繁为简”的效果．步骤如下：（1）设直线与椭圆的两个交点坐标为，；（2）用直线与曲线方程组成方程组，消元得到一个一元二次方程；（3）利用根与系数的关系，得到与与 （交换消元），这个一般用来求弦长以及面积．

14．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）设椭圆的焦距为，由直线与圆相切可得出的值，由直线过点可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）设点，可知，利用两点间的距离公式、勾股定理可分别求出、，进而可证明出为定值.

【详解】（1）设椭圆的焦距为，

由于直线与圆相切，则，

直线过点，，则，

因此，椭圆的方程为；

（2）设，易知点在轴右侧，可得，

则，，

，，

，

，，

因此，（定值）.

【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中的定值问题的证明，涉及两点间距离公式和勾股定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.