中考总复习数学（河南地区）第六章圆课件

这是一份中考总复习数学（河南地区）第六章圆课件，共60页。PPT课件主要包含了目录河南·中考，与圆有关的概念，考点1，考点2，考点3，得分速记，圆周角定理及其推论，考点4，∠ACB，方法指导等内容，欢迎下载使用。
考点1 与圆有关的概念考点2 垂径定理及其推论（2011年新课标选学内容）考点3 弦、弧、圆心角之间的关系考点4 圆周角定理及其推论考点5 圆内接四边形的概念和性质
命题角度 　圆的相关证明和计算
垂径定理及其推论（2011年新课标选学内容）
1.垂径定理:垂直于弦的直径⑦______弦,并且⑧________弦所对的两条弧. 2.垂径定理的推论:平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.3.延伸(1)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.(2)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦、弧、圆心角之间的关系
1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧⑨________,所对的弦也相等. 2.推论(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角⑩________,所对的弦⑪________.　　　(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角⑫________,所对的弧⑬________.
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中只要有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等.
有关直径的问题,常通过构造直径所对的圆周角来进行证明或计算.
圆内接四边形的概念和性质
确定圆的条件及圆的对称性1.确定圆的条件不在同一直线上的三点可以确定一个圆.2.圆的性质(1)对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径所在直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心.(2)旋转不变性:将圆绕着它的圆心任意旋转一个角度,都能与原来的圆重合.
例 如图,△ABC的边AB是半圆O的直径,AC,BC与半圆O 分别相交于点E,D,连接AD,BE交于点F.(1)求证:△AEF∽△BEC.(2)连接OE,DE,若四边形OBDE为菱形,①∠BAD=________°; ②当AB=4时,EF=_________. 
【思路分析】　(1)(2)①
(1)证明:∵AB为半圆O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠CEB=90°=∠AEB.又∵∠EAF=∠EBC,∴△AEF∽△BEC.
(2)①30　②解法提示:如图,连接OD.①∵四边形OBDE为菱形, ∴OB=BD.又∵OD=OB,∴OB=BD=OD,∴△OBD为等边三角形,∴∠BOD=60°,∴∠BAD= ∠BOD=30°.②方法一:由①知△OBD为等边三角形,∴∠ABD=60°.又∵四边形OBDE为菱形,∴∠ABE=∠DBE=30°.又∵∠AEB=90°,AB=4,∴AE= AB=2.∵∠EAF=∠DBE=30°,
利用圆周角定理及其推论解题时的思路1.在利用圆周角定理解答具体问题时,找准同弧所对的圆周角及圆心角,并结合圆周角定理进行相关计算是关键.与圆周角有关的常用辅助线:①过圆上某点作直径,连接过直径端点的弦;②弦垂直平分半径时可构造直角三角形;③构造同弧所对的圆周角.2.在利用圆周角定理的推论解答具体问题时,要找准直径、等弦或同弦所对应的圆周角,一般会结合圆周角定理进行相关计算或证明.
第二节 与圆有关的位置关系
考点1 点与圆的位置关系考点2 直线与圆的位置关系考点3 三角形的外心和内心考点4 正多边形与圆的有关计算
命题角度 　与切线有关的证明和计算
平面内的点与圆上距离最大和最小的点均在该点与圆心连线所在的直线上.如上图,点P与☉O上距离最大和最小的点分别是点N和点M.
1.直线与圆的位置关系
2.切线(1)定义:直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.(2)性质与判定
判定切线的常用辅助线在判定一条直线为圆的切线时,若已知条件明确指出圆与直线有公共点,常 “连半径,证垂直”;若没有明确指出圆与直线有公共点时,常需“作垂直,证半径”.
3.切线长:过圆外一点作圆的切线,这点和⑪_______之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 
直角三角形内切圆及外接圆半径长的确定直角三角形的外心为其斜边的中点,其外接圆半径R=;其内切圆半径r=或r=(其中a,b为直角边长,c为斜边长).
正多边形与圆的有关计算
设正n边形的边长为a,外接圆半径为R.
正六边形的边长等于其外接圆的半径;正三角形的边长等于其外接圆半径的倍;正方形的边长等于其外接圆半径的 倍.
与切线有关的证明和计算
例 (逻辑推理、直观想象)[2018河南B卷]如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点O在BC上,以线段OC的长为半径的☉O与AB相切于点D,分别交BC,AC于点E,F,连接ED并延长,交CA的延长线于点G.(1)求证:∠DOC=2∠G. (2)已知☉O的半径为3.①若BE=2,则DA=________. ②连接DF,当BE=__________时,四边形DOCF为菱形.
【思路分析】　(2)①
(1)证明:∵AB切☉O于点D,∴OD⊥AB,∴∠BDO=90°,∴OD∥CG,∴∠G=∠EDO.∵OD=OE,∴∠EDO=∠DEO,∴∠DOC=2∠EDO=2∠G.
解答与圆有关的证明及计算的技巧1.圆中常用的辅助线有如下几条:(1)半径:圆的半径是圆的重要元素,圆中的许多性质,如“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关,连接半径是常用的添加辅助线的方法之一,常用于切线的性质及证明;(2)弦心距:在解决有关弦的问题时,常常作弦心距,以便利用垂径定理或三角函数;
解答与圆有关的证明及计算的技巧(3)构造直角三角形:在解决有关直径的问题时,常常作直径所对的圆周角,构造直角三角形求解;(4)构造相等的圆周角或圆心角需要的辅助线.2.圆内有关角的计算或证明,一要正确应用圆周角定理及推论,把不同位置的角的数量关系建立起来;二要正确应用圆心角、弦、弧之间的关系定理,把弧、弦的相等关系转化到角的相等关系上来;三要正确应用切线的性质定理,已知切线,作出过切点的半径,构造直角.
规范解答注意事项1.证明题要写“证明”二字;2.在写证明步骤或计算过程时,注意关键步骤不要跳步,如题目中未给出但要用到的条件,一定要先由已知条件推导出来;3.用勾股定理求线段长时,一定要写明在哪个直角三角形内.
第三节 与圆有关的计算
考点1 弧长与扇形面积的计算考点2 *圆锥的相关计算考点3 阴影部分面积的计算
命题角度1　弧长的计算命题角度2　阴影部分面积的计算
如图(1),☉O的半径为R, 所对的圆心角为n°, 的长为 .弧长公式面积公式
如图(2),圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥的高为h,底面圆半径为r,母线长为a,侧面展开扇形的圆心角为n°,弧长为l.1.圆锥底面圆的面积为S=πr2,周长C=2πr;2.圆锥侧面展开扇形的圆心角n=⑤_______; 3.圆锥的高、底面圆的半径和母线长之间的关系:h2+r2=⑥____________; 4.圆锥的母线长等于其侧面展开扇形的半径;圆锥的底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长.
2.常用方法(1)规则图形,可直接用公式求解.(2)分割求和或差法:把图形适当分割,将不规则的阴影部分的面积转化成几个规则图形面积的和或差.如图(3),S阴影=S扇形BOC+S△COD-S△ODE.
(3)等积转化法:通过等面积转化,将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积来计算.如图(4),点D为 的中点,则S阴影=S△ACD.如图(5),DO∥AB,OA=OB,则S阴影=S△DAB+S弓形AB=S△OAB+S弓形AB=S扇形AOB.(4)整体作差法:用整个图形的面积减去所有空白部分的面积之和.如图(6),以点A为圆心,AD为半径画弧,交AB于点E,则S阴影=S▱ABCD-S△BCE-S扇形DAE.
(5)组合法:如图(7),S阴影部分①-S阴影部分②=S扇形BAC+S半圆O-S正方形ABCD.
图形中出现圆弧时,一般要先找到这条弧所在圆的圆心,常作的辅助线是连接圆心和弧的两端点(构造半径)将其补全为扇形,再利用图形间的关系进行求解.
例1 [2020河南,15]如图,在扇形BOC中,∠BOC=60°,OD平分∠BOC交 于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为__________. 
【思路分析】　分两步求解.第一步:先求∠COD的度数,再用弧长公式求 的长.第二步:利用“将军饮马问题”求CE+DE的最小值.先作点D关于直线OB的对称点D',连接CD'交OB于点E,则此时CE+DE的值最小,最小值为CD'的长,再连接OD',在△COD'中求CD'的长即可.
例2 (数学运算、逻辑推理)[2018河南B卷]如图,在矩形ABCD中,BC=2,CD= ,以点B为圆心,BC的长为半径作 交AD于点E;以点A为圆心,AE的长为半径作 交AB于点F,则图中阴影部分的面积为_________. 
类型1　分割求和或差法
计算扇形面积的公式选择(1)当已知半径r和圆心角的度数n°,求扇形的面积时,选用公式S扇形= ;(2)当已知半径r和弧长l,求扇形的面积时,应选用公式S扇形= ;(3)当已知面积,求半径或圆心角度数时,要将计算公式当作方程用.
例3 如图是一张扇形纸片OAC,∠AOC=120°,OA=8,连接AB,BC,AC,若OA=AB,则图中阴影部分的面积为________. 
例4 [2019郑州一中三模]如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心、AD的长为半径画弧,交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是___________.(结果保留π) 
例5 如图,在矩形ABCD中,以AD为直径画半圆,以点B为圆心、AB的长为半径画弧.若AB=3,AD=4,则图中两个阴影部分面积之差的绝对值是__________.
【思路分析】　|两阴影部分的面积之差|=|两扇形面积之和-矩形ABCD的面积|.
求与扇形有关的不规则图形的面积时,需把不规则图形转化为规则图形进行计算.在解题过程中,我们经常把不规则图形的面积通过“分割求和或差法”、“整体作差法”、“等积转换法”等方法转化为规则图形(如三角形、特殊四边形、圆、扇形等)的面积来求解.如果利用上述方法均无法解决问题,可考虑用组合法.
高分突破·微专项7 利用“隐形圆”解决动点问题
1.知识依据:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆(圆的定义),如图(1).2.模型说明:如图(2),若AB=AC=AD,则点B,C,D在以点A为圆心、AB的长为半径的圆上.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 如图,在▱ABCD中,∠BCD=30°,BC=4,CD=3 ,M是 AD边的中点,N 是AB 边上一动点,将△AMN沿 MN所在直线翻折得到△PMN,连接 PC,则 PC长度的最小值是 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【思路分析】　根据翻折可知,点P(动点)到点M(定点)的距离为2(定长),故点P在以点M为圆心、AM的长为半径的圆上,运动轨迹为圆的一部分.连接MC,MC与☉M的交点即为符合题意的点P,由此即可求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 如图,在平面直角坐标系中,直线 交x轴于点A,交y轴于点B,点P是直线AB上一动点,点C的坐标为(0,6),连接PC,则使△PCB是等腰三角形的点P有_________个. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【思路分析】　分三种情况讨论:①当CP=CB时,点P在以点C为圆心、CB为半径的圆上;②当BP=BC时,点P在以点B为圆心、CB为半径的圆上;③当PC=PB时,点P在线段BC的垂直平分线上.如图,这“两圆一线”与直线AB的交点即为所求的点P(非点B).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.知识依据:90°的圆周角所对的弦是直径(圆周角定理的推论).2.模型说明:如图,在△ABC中,∠C=90°,若AB的长固定,则点C的运动轨迹为以AB为直径的☉O(不含点A,B).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 如图,在正方形 ABCD 中,BC=4,点 P 是平面内一动点(不与点 A,D 重合),且 PA⊥PD,则线段BP的长度的最大值为( )　　　　　　　　　　　　　　　　　
【思路分析】　解决此题的关键是分析出点P的运动轨迹.根据“直角对直径”模型可知,点P在以AD为直径的圆上(不含点A,D).设AD的中点为O,连接BO并延长,BO的延长线与该圆的交点即为符合题意的点P,由此即可求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点P为抛物线上一点,连接PB,PC,若△PBC是直角三角形,则这样的点P有________个.
【思路分析】　分三种情况讨论:①当∠PBC=90°时,过点B作BC的垂线,点P在该线上;②当∠PCB=90°时,过点C作BC的垂线,点P在该线上;③当∠CPB=90°时,以BC为直径作圆,点P在该圆上.如图,这“两线一圆”与抛物线的交点即为所求的点P(非点B,C).
1.知识依据:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等(圆周角定理的推论).如图(1),∠C=∠D=∠E.2.模型说明:在△ABC中,若AB的长度及∠C的大小固定,则点C在确定的圆上,AB为该定圆的弦,当∠C为锐角时,点C在优弧AB上(不含点A,B);当∠C为钝角时,点C在劣弧AB上(不含点A,B),如图(2).其中,我们称AB为“定弦”,∠C为“定角”.
例5 如图,△ABC 为等边三角形,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段 PB 长度的最小值为 （ ）
【思路分析】　因为∠PAB=∠ACP,∠PAB+∠PAC=60°,所以∠PAC+∠PCA=60°,所以∠APC=120°.AC=2(定弦),∠APC=120°(定角),满足“定弦定角”模型,故点P在定圆(设圆心为O)上,AC为该定圆的弦,劣弧AC(不含点A,C)即为点P的运动轨迹,当点B,P,O三点共线时,PB的长度取最小值.
例6 如图,抛物线经过点A(3,2),顶点为M(1,4),点Q在y轴上运动,连接QM,QA,若∠AQM=45°,则这样的点Q有_________个. 【思路分析】　如图,过点A作x轴的平行线,过点M作y轴的平行线,两线交于点O,易知OA=OM,∠MOA=90°.以点O为圆心、OA为半径作圆,该圆与y轴的交点即为所求的点Q.