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黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2021-2022学年七年级上学期期末数学试卷
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这是一份黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2021-2022学年七年级上学期期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨六十九中七年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．＝2 B．x2＝3﹣x C．x﹣4y＝3 D．y+2＝3y
2．下列（A）、（B）、（C）、（D）四幅图案中，能通过平移图案得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各点在第一象限的是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
4．下列等式的变形正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么2+x＝2﹣y
B．如果，那么m＝n
C．如果2（x﹣1）＝3，那么2x﹣1＝3
D．如果x＝6，那么x＝2
5．若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的角平分线（ ）
A．相交 B．互相垂直 C．互相平行 D．不确定
6．如图，点P是直线m外一点，A、B、C三点在直线m上，PB⊥AC于点B，那么点P到直线m的距离是线段（ ）的长度．
A．PA B．PB C．PC D．AB
7．把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还少25本．若设这个班有m名学生，则所列方程正确的是（ ）
A．3m﹣20＝4m+25 B．3m+20＝4m﹣25
C． D．4（m﹣20）＝3（m+25）
8．有个数值转换器，程序原理如图．
当输入x＝8时，输出y的值是（ ）
A．2 B． C． D．
9．若y轴负半轴上的点P到x轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
10．下列说法不正确的是（ ）
①垂直于同一条直线的两条直线可能相交；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③立方根等于本身的数有三个是﹣1、0和1；
④学校在小美家的北偏东30°方向，则小美家在学校的南偏西60°方向；
⑤若a+b＜0且ab＞0，则P（a，b）在第三象限．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．的相反数为 ．
12．如图所示方式摆放纸杯测量角的基本原理是 ．
13．根据条件“比x的一半大3的数等于y的2倍”中的数量关系列出方程为 ．
14．若x2＝9，则x＝ ．
15．在平面直角坐标系中，一个长方形ABCD三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（1，﹣4），D（﹣3，2），则点C坐标为 ．
16．若x＝，y＝，则＝ ．
17．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而上，用了2.5小时．若船在静水中的平均速度是每小时27千米，则水流速度为每小时 千米．
18．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝ ．
19．如图所示，将三角形纸片沿DE折叠，使点C落在点C′处，若EC′恰好与BC平行，且∠C＝80°，则∠BDE＝ ．
20．若一列火车匀速行驶，经过一条长310米的隧道需要18秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是8秒，则这列火车长 米．
二、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分）
21．计算
（1）；
（2）．
22．解方程
（1）5x+9＝30﹣2x；
（2）．
23．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，且∠ABC+∠CDF＝180°．
求证：BE⊥DB．
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠BCD（ ）
∵∠ABC+∠CDF＝180°（ ）
∴∠BCD+∠CDF＝180°（ ）
∴BC∥DF（ ）
于是∠DBC＝∠BDF（ ）
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF
∴∠EBC＝∠ABC，∠BDF＝ （ ）
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF＝（∠ABC+∠CDF）
即∠EBD＝
∴BE⊥DB（ ）
24．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（﹣1，3），B（﹣4，2），C（﹣2，﹣2），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△DEF，点A、B、C的对应点分别为D、E、F．
（1）在图中画出△DEF，并直接写出点E的坐标；
（2）判断线段AC与DF的关系为 ；
（3）连接BD、CD，并直接写出△BCD的面积．
25．网课期间，某网店店主购进两种型号摄像头进行零售，购进价格与零售价格如表：
摄像头型号
A
B
购进价（元/个）
10
15
零售价（元/个）
25
35
请解答下列问题：
（1）该店主购进A、B两种型号的摄像头共60个，用去了700元，求这两种型号的摄像头分别购进多少个？
（2）该店主按市场需求又购进了一些A型号摄像头，并推出促销活动“购买A、B两种型号摄像头中的任意一款，每个赠送配套三角架一个”，已知每个三角架进价5元，且两次购进的摄像头全部售出，店主共获利940元，求该店主又购进多少个A型号摄像头？
26．已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．
27．已知：在平面直角坐标系中，点A（m，n），且m、n满足关系式m＝+﹣1，点B（﹣3，0），点C在x轴正半轴上，AC交y轴于点E．
（1）点A的坐标为（ ， ）；
（2）如图1，若S△ABC＝15，求线段BC的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E处有一动点P以每秒2个单位长度的速度先沿线段EO运动到点O，再继续以相同的速度沿x轴负半轴运动到点B后停止运动，求当t为何值时，S△AOE＝S△BEP．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．＝2 B．x2＝3﹣x C．x﹣4y＝3 D．y+2＝3y
【分析】根据一元一次方程的定义回答即可．
解：A、分母中含未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、方程化简后得2y﹣2＝0，是一元一次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．下列（A）、（B）、（C）、（D）四幅图案中，能通过平移图案得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有D选项符合要求，
故选：D．
3．下列各点在第一象限的是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
解：A、（1，1）在第一象限，故本选项符合题意；
B、（﹣1，1）在第二象限，故本选项不合题意；
C、（1，﹣1）在第四象限，故本选项不合题意；
D、（﹣1，﹣1）在第三象限，故本选项不合题意．
故选：A．
4．下列等式的变形正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么2+x＝2﹣y
B．如果，那么m＝n
C．如果2（x﹣1）＝3，那么2x﹣1＝3
D．如果x＝6，那么x＝2
【分析】等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式的大小不变；（2）等式的两边同时乘上同一个数或除以同一个不为0的整式，等式的大小不变．根据性质解题即可．
解：A．∵x＝y，
∴2﹣x＝2﹣y，
故A不符合题意；
B．∵，
∴m＝n，
故B符合题意；
C．∵2（x﹣1）＝3，
∴2x﹣2＝3，
故C不符合题意；
D．∵x＝6，
∴x＝18，
故D不符合题意；
故选：B．
5．若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的角平分线（ ）
A．相交 B．互相垂直 C．互相平行 D．不确定
【分析】由两条平行线被第三条直线所截，根据两直线平行，同位角相等，即可得一组同位角相等即∠FEB＝∠GFD，又由角平分线的性质求得∠1＝∠2，然后根据同位角相等，两直线平行，即可求得答案．
解：∵AB∥CD，
∴∠FEB＝∠GFD，
∵EM与FN分别是∠FEM与∠GFD的平分线，
∴∠1＝∠FEB，∠2＝∠GFD，
∴∠1＝∠2，
∴EM∥FN．
故选：C．
6．如图，点P是直线m外一点，A、B、C三点在直线m上，PB⊥AC于点B，那么点P到直线m的距离是线段（ ）的长度．
A．PA B．PB C．PC D．AB
【分析】根据点到直线的距离，可得答案．
解：∵PB⊥AC于点B，
∴点P到直线m的距离是线段B的长度，
故选：B．
7．把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还少25本．若设这个班有m名学生，则所列方程正确的是（ ）
A．3m﹣20＝4m+25 B．3m+20＝4m﹣25
C． D．4（m﹣20）＝3（m+25）
【分析】等量关系为图书的数量是定值，据此列方程．
解：由题意得：3m+20＝4m﹣25．
故选：B．
8．有个数值转换器，程序原理如图．
当输入x＝8时，输出y的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】将x的值代入数值转化器计算即可得到结果．
解：将x＝8代入得：＝2，
将x＝2代入得：，
则输出y的值为：．
故选：B．
9．若y轴负半轴上的点P到x轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
【分析】点P在y轴上则该点横坐标为0，据此解答即可．
解：∵y轴负半轴上的点P到x轴的距离为2，
∴点P的坐标为（0，﹣2）．
故选：D．
10．下列说法不正确的是（ ）
①垂直于同一条直线的两条直线可能相交；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③立方根等于本身的数有三个是﹣1、0和1；
④学校在小美家的北偏东30°方向，则小美家在学校的南偏西60°方向；
⑤若a+b＜0且ab＞0，则P（a，b）在第三象限．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①根据垂直和相交的定义判断即可；②根据平行公理的推论判断即可；③根据立方根的定义判断即可；④根据方位角的定义判断即可；⑤根据平板直角坐标系中的点的特征判断即可．
解：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，故原说法错误；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
③立方根等于本身的数有三个是﹣1、0和1，说法正确；
④学校在小美家的北偏东30°方向，则小美家在学校的南偏西60°方向，说法正确；
⑤若a+b＜0且ab＞0，则P（a，b）在第三象限，说法正确．
所以不正确的是2个．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．的相反数为 ．
【分析】由于只有符号不同的两个数互为相反数，所以根据相反数的定义解答即可．
解：根据相反数的定义的相反数为﹣（）即．
故答案为：．
12．如图所示方式摆放纸杯测量角的基本原理是 对顶角相等 ．
【分析】利用对顶角的定义进行求解即可．
解：图中的测量角的原理是：对顶角相等．
故答案为：对顶角相等．
13．根据条件“比x的一半大3的数等于y的2倍”中的数量关系列出方程为 x+3＝2y ．
【分析】根据题意，可以用方程表示出比x的一半大3的数等于y的2倍．
解：“比x的一半大3的数等于y的2倍”中的数量关系列出方程为：x+3＝2y，
故答案为：x+3＝2y．
14．若x2＝9，则x＝ ±3 ．
【分析】由于左边为一个平方式，所以可用直接开平方法进行求解．
解：∵x2＝9
∴x＝±3．
故答案为±3．
15．在平面直角坐标系中，一个长方形ABCD三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（1，﹣4），D（﹣3，2），则点C坐标为 （﹣3，﹣4） ．
【分析】根据长方形的性质求出点D的横坐标与纵坐标，即可得解．
解：如图，
∵A（1，2），B（1，﹣4），D（﹣3，2），
∴点C的横坐标与点D的横坐标相同，为﹣3，
点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，为﹣4，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4）．
16．若x＝，y＝，则＝ ．
【分析】直接根据立方根的概念可得x、y的值，再代入代数式计算即可．
解：∵x＝，y＝，
∴x＝6，y＝60，
∴＝＝．
故答案为：．
17．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而上，用了2.5小时．若船在静水中的平均速度是每小时27千米，则水流速度为每小时 3 千米．
【分析】根据顺水速度×顺水时间＝逆水速度×逆水时间，可以列出相应的方程，然后求解即可．
解：设水流速度为每小时x千米，
由题意可得：2（27+x）＝2.5（27﹣x），
解得x＝3，
答：水流速度为每小时3千米，
故答案为：3．
18．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝ 20°或120° ．
【分析】如图，当OE在AB的上面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，于是得到∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；当OE在直线AB的下面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，于是得到∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°．
解：如图，当OE在AB的上面时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BOE＝130°，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；
当OE在直线AB的下面时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BOD＝∠AOC＝70°，
∴∠DOE′＝∠BOE′﹣∠BOD＝130°﹣70°＝60°，
∴∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°，
综上所述，∠COE＝20°或120°，
故答案为：20°或120°．
19．如图所示，将三角形纸片沿DE折叠，使点C落在点C′处，若EC′恰好与BC平行，且∠C＝80°，则∠BDE＝ 130° ．
【分析】利用折叠的性质，先得到∠CED与∠C′ED间关系，根据平行线的性质和平角的定义再计算出∠CED的度数，最后利用三角形外角、内角的关系计算出∠BDE．
解：∵△CED沿ED折叠后得到△C′ED，
∴△CED≌△C′ED．
∴∠CED＝∠C′ED．
∵EC′∥BC，
∴∠C＝∠AEC′＝80°．
∵∠AEC+∠CED+∠C′ED＝180°，
∴∠CED＝50°．
∴∠BDE＝∠C+∠CED
＝80°+50°
＝130°．
故答案为：130°．
20．若一列火车匀速行驶，经过一条长310米的隧道需要18秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是8秒，则这列火车长 248 米．
【分析】根据（隧道长度+火车长度）÷18＝火车长度÷8，可以列出相应的方程，然后求解即可．
解：设这列火车长x米，
由题意可得：，
解得x＝248，
答：这列火车长248米，
故答案为：248．
二、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分）
21．计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简绝对值，然后再进行计算即可；
（2）先化简各数，然后再进行计算即可．
解：（1）
＝+
＝；
（2）
＝﹣3+0.4﹣1.4
＝﹣4．
22．解方程
（1）5x+9＝30﹣2x；
（2）．
【分析】（1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
解：（1）移项得：5x+2x＝30﹣9，
合并得：7x＝21，
解得：x＝3；
（2）去分母得：3（x+1）﹣6＝12+2（2﹣x），
去括号得：3x+3﹣6＝12+4﹣2x，
移项得：3x+2x＝12+4﹣3+6，
合并得：5x＝19，
解得：x＝．
23．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，且∠ABC+∠CDF＝180°．
求证：BE⊥DB．
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABC+∠CDF＝180°（ 已知 ）
∴∠BCD+∠CDF＝180°（ 等量代换 ）
∴BC∥DF（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
于是∠DBC＝∠BDF（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF
∴∠EBC＝∠ABC，∠BDF＝ ∠CDF （ 角平分线定义 ）
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF＝（∠ABC+∠CDF）
即∠EBD＝ 90°
∴BE⊥DB（ 垂直的定义 ）
【分析】根据平行线的性质和判定完成证明过程即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC+∠CDF＝180°（已知），
∴∠BCD+∠CDF＝180°（等量代换），
∴BC∥DF（同旁内角互补，两直线平行），
于是∠DBC＝∠BDF（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，
∴∠EBC＝∠ABC，∠BDF＝∠CDF（角平分线定义），
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF＝（∠ABC+∠CDF），
即∠EBD＝90°，
∴BE⊥DB（垂直的定义）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同旁内角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； ∠CDF，角平分线定义；90°；垂直的定义．
24．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（﹣1，3），B（﹣4，2），C（﹣2，﹣2），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△DEF，点A、B、C的对应点分别为D、E、F．
（1）在图中画出△DEF，并直接写出点E的坐标；
（2）判断线段AC与DF的关系为 平行且相等 ；
（3）连接BD、CD，并直接写出△BCD的面积．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出图形即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标；
（3）利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）线段AC与DF的关系为平行且相等，
故答案为：平行且相等；
（3）S△BCD＝×7×4＝14．
25．网课期间，某网店店主购进两种型号摄像头进行零售，购进价格与零售价格如表：
摄像头型号
A
B
购进价（元/个）
10
15
零售价（元/个）
25
35
请解答下列问题：
（1）该店主购进A、B两种型号的摄像头共60个，用去了700元，求这两种型号的摄像头分别购进多少个？
（2）该店主按市场需求又购进了一些A型号摄像头，并推出促销活动“购买A、B两种型号摄像头中的任意一款，每个赠送配套三角架一个”，已知每个三角架进价5元，且两次购进的摄像头全部售出，店主共获利940元，求该店主又购进多少个A型号摄像头？
【分析】（1）设A型号摄像头购进x个，则B型号摄像头购进（60﹣x）个，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出A型号摄像头的购进数量，再将其代入（60﹣x）中可求出B型号摄像头的购进数量；
（2）设该店主又购进y个A型号摄像头，利用销售总利润＝每个销售的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该店主又购进A型号摄像头的数量．
解：（1）设A型号摄像头购进x个，则B型号摄像头购进（60﹣x）个，
依题意得：10x+15（60﹣x）＝700，
解得：x＝40，
∴60﹣x＝60﹣40＝20．
答：A型号摄像头购进40个，B型号摄像头购进20个．
（2）设该店主又购进y个A型号摄像头，
依题意得：（25﹣10﹣5）（y+40）+（35﹣15﹣5）×20＝940，
解得：y＝24．
答：该店主又购进24个A型号摄像头．
26．已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．
【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可；
（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可；
（3）设∠AFE＝x，利用平行线的性质和角平分线的定义在△QEP中，通过计算∠QPE＝60°，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CHG．
∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠CHG．
∵∠CHG+∠EHF+∠2＝180°，
∴3∠CHG+60°＝180°．
∴∠CHG＝40°．
∴∠1＝40°．
（2）解：∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系为：∠AFE＝∠E+∠MHE，理由：
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠CME．
∵∠CME＝∠E+∠MHE，
∴∠AFE＝∠E+∠MHE．
（3）证明：设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．
∵AB∥CD，
∴∠BFT＝∠ETF．
∵∠EFT＝∠ETF，
∴∠EFT＝∠BFT＝∠EFB＝90°﹣x．
∴∠HFT＝∠BFT﹣∠BFH＝x．
∵∠Q﹣∠HFT＝15°，
∴∠Q＝15°+x．
∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF＝180°．
∴∠CEF＝180°﹣x．
∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x．
∵EQ平分∠CEH，
∴∠QEH＝∠CEH＝105°﹣x．
∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，
∴15°+x+105°﹣x+∠QPE＝180°．
∴∠QPE＝60°．
∵∠H＝60°，
∴∠QPE＝∠H．
∴PQ∥FH．
27．已知：在平面直角坐标系中，点A（m，n），且m、n满足关系式m＝+﹣1，点B（﹣3，0），点C在x轴正半轴上，AC交y轴于点E．
（1）点A的坐标为（ ﹣1 ， 5 ）；
（2）如图1，若S△ABC＝15，求线段BC的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E处有一动点P以每秒2个单位长度的速度先沿线段EO运动到点O，再继续以相同的速度沿x轴负半轴运动到点B后停止运动，求当t为何值时，S△AOE＝S△BEP．
【分析】（1）由算术平方根的性质可求出m，n的值；
（2）过点A作AF⊥x轴于点F，由三角形面积公式可求出答案；
（3）求出C（3，0），由三角形ABC的面积可求出BC＝6，分两种情况由三角形面积公式可求出答案．
解：（1）∵m、n满足关系式m＝+﹣1，
∴，
∴n＝5，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1，5；
（2）过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（﹣1，5），
∴AF＝5，
∴S△ABC＝×BC×5＝15，
∴BC＝6；
（3）∵BC＝6，B（﹣3，0），
∴C（3，0），
∵S△AOB+SAOE+S△EOC＝S△ABC＝15，
∴×3×OE＝15，
∴OE＝，
①若点P在OE上，则PE＝2t，
∴S△BEP＝×2t×3＝3t，S△AOE＝＝，
∴，
∴t＝；
②若点P在OB上，BP＝3+﹣2t＝﹣2t，
∴S△BEP＝＝，
∴＝，
∴t＝．
综合以上可得t的值为或．
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨六十九中七年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．＝2 B．x2＝3﹣x C．x﹣4y＝3 D．y+2＝3y
2．下列（A）、（B）、（C）、（D）四幅图案中，能通过平移图案得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各点在第一象限的是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
4．下列等式的变形正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么2+x＝2﹣y
B．如果，那么m＝n
C．如果2（x﹣1）＝3，那么2x﹣1＝3
D．如果x＝6，那么x＝2
5．若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的角平分线（ ）
A．相交 B．互相垂直 C．互相平行 D．不确定
6．如图，点P是直线m外一点，A、B、C三点在直线m上，PB⊥AC于点B，那么点P到直线m的距离是线段（ ）的长度．
A．PA B．PB C．PC D．AB
7．把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还少25本．若设这个班有m名学生，则所列方程正确的是（ ）
A．3m﹣20＝4m+25 B．3m+20＝4m﹣25
C． D．4（m﹣20）＝3（m+25）
8．有个数值转换器，程序原理如图．
当输入x＝8时，输出y的值是（ ）
A．2 B． C． D．
9．若y轴负半轴上的点P到x轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
10．下列说法不正确的是（ ）
①垂直于同一条直线的两条直线可能相交；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③立方根等于本身的数有三个是﹣1、0和1；
④学校在小美家的北偏东30°方向，则小美家在学校的南偏西60°方向；
⑤若a+b＜0且ab＞0，则P（a，b）在第三象限．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．的相反数为 ．
12．如图所示方式摆放纸杯测量角的基本原理是 ．
13．根据条件“比x的一半大3的数等于y的2倍”中的数量关系列出方程为 ．
14．若x2＝9，则x＝ ．
15．在平面直角坐标系中，一个长方形ABCD三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（1，﹣4），D（﹣3，2），则点C坐标为 ．
16．若x＝，y＝，则＝ ．
17．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而上，用了2.5小时．若船在静水中的平均速度是每小时27千米，则水流速度为每小时 千米．
18．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝ ．
19．如图所示，将三角形纸片沿DE折叠，使点C落在点C′处，若EC′恰好与BC平行，且∠C＝80°，则∠BDE＝ ．
20．若一列火车匀速行驶，经过一条长310米的隧道需要18秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是8秒，则这列火车长 米．
二、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分）
21．计算
（1）；
（2）．
22．解方程
（1）5x+9＝30﹣2x；
（2）．
23．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，且∠ABC+∠CDF＝180°．
求证：BE⊥DB．
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠BCD（ ）
∵∠ABC+∠CDF＝180°（ ）
∴∠BCD+∠CDF＝180°（ ）
∴BC∥DF（ ）
于是∠DBC＝∠BDF（ ）
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF
∴∠EBC＝∠ABC，∠BDF＝ （ ）
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF＝（∠ABC+∠CDF）
即∠EBD＝
∴BE⊥DB（ ）
24．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（﹣1，3），B（﹣4，2），C（﹣2，﹣2），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△DEF，点A、B、C的对应点分别为D、E、F．
（1）在图中画出△DEF，并直接写出点E的坐标；
（2）判断线段AC与DF的关系为 ；
（3）连接BD、CD，并直接写出△BCD的面积．
25．网课期间，某网店店主购进两种型号摄像头进行零售，购进价格与零售价格如表：
摄像头型号
A
B
购进价（元/个）
10
15
零售价（元/个）
25
35
请解答下列问题：
（1）该店主购进A、B两种型号的摄像头共60个，用去了700元，求这两种型号的摄像头分别购进多少个？
（2）该店主按市场需求又购进了一些A型号摄像头，并推出促销活动“购买A、B两种型号摄像头中的任意一款，每个赠送配套三角架一个”，已知每个三角架进价5元，且两次购进的摄像头全部售出，店主共获利940元，求该店主又购进多少个A型号摄像头？
26．已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．
27．已知：在平面直角坐标系中，点A（m，n），且m、n满足关系式m＝+﹣1，点B（﹣3，0），点C在x轴正半轴上，AC交y轴于点E．
（1）点A的坐标为（ ， ）；
（2）如图1，若S△ABC＝15，求线段BC的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E处有一动点P以每秒2个单位长度的速度先沿线段EO运动到点O，再继续以相同的速度沿x轴负半轴运动到点B后停止运动，求当t为何值时，S△AOE＝S△BEP．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．＝2 B．x2＝3﹣x C．x﹣4y＝3 D．y+2＝3y
【分析】根据一元一次方程的定义回答即可．
解：A、分母中含未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、方程化简后得2y﹣2＝0，是一元一次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．下列（A）、（B）、（C）、（D）四幅图案中，能通过平移图案得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有D选项符合要求，
故选：D．
3．下列各点在第一象限的是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
解：A、（1，1）在第一象限，故本选项符合题意；
B、（﹣1，1）在第二象限，故本选项不合题意；
C、（1，﹣1）在第四象限，故本选项不合题意；
D、（﹣1，﹣1）在第三象限，故本选项不合题意．
故选：A．
4．下列等式的变形正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么2+x＝2﹣y
B．如果，那么m＝n
C．如果2（x﹣1）＝3，那么2x﹣1＝3
D．如果x＝6，那么x＝2
【分析】等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式的大小不变；（2）等式的两边同时乘上同一个数或除以同一个不为0的整式，等式的大小不变．根据性质解题即可．
解：A．∵x＝y，
∴2﹣x＝2﹣y，
故A不符合题意；
B．∵，
∴m＝n，
故B符合题意；
C．∵2（x﹣1）＝3，
∴2x﹣2＝3，
故C不符合题意；
D．∵x＝6，
∴x＝18，
故D不符合题意；
故选：B．
5．若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的角平分线（ ）
A．相交 B．互相垂直 C．互相平行 D．不确定
【分析】由两条平行线被第三条直线所截，根据两直线平行，同位角相等，即可得一组同位角相等即∠FEB＝∠GFD，又由角平分线的性质求得∠1＝∠2，然后根据同位角相等，两直线平行，即可求得答案．
解：∵AB∥CD，
∴∠FEB＝∠GFD，
∵EM与FN分别是∠FEM与∠GFD的平分线，
∴∠1＝∠FEB，∠2＝∠GFD，
∴∠1＝∠2，
∴EM∥FN．
故选：C．
6．如图，点P是直线m外一点，A、B、C三点在直线m上，PB⊥AC于点B，那么点P到直线m的距离是线段（ ）的长度．
A．PA B．PB C．PC D．AB
【分析】根据点到直线的距离，可得答案．
解：∵PB⊥AC于点B，
∴点P到直线m的距离是线段B的长度，
故选：B．
7．把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还少25本．若设这个班有m名学生，则所列方程正确的是（ ）
A．3m﹣20＝4m+25 B．3m+20＝4m﹣25
C． D．4（m﹣20）＝3（m+25）
【分析】等量关系为图书的数量是定值，据此列方程．
解：由题意得：3m+20＝4m﹣25．
故选：B．
8．有个数值转换器，程序原理如图．
当输入x＝8时，输出y的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】将x的值代入数值转化器计算即可得到结果．
解：将x＝8代入得：＝2，
将x＝2代入得：，
则输出y的值为：．
故选：B．
9．若y轴负半轴上的点P到x轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
【分析】点P在y轴上则该点横坐标为0，据此解答即可．
解：∵y轴负半轴上的点P到x轴的距离为2，
∴点P的坐标为（0，﹣2）．
故选：D．
10．下列说法不正确的是（ ）
①垂直于同一条直线的两条直线可能相交；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③立方根等于本身的数有三个是﹣1、0和1；
④学校在小美家的北偏东30°方向，则小美家在学校的南偏西60°方向；
⑤若a+b＜0且ab＞0，则P（a，b）在第三象限．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①根据垂直和相交的定义判断即可；②根据平行公理的推论判断即可；③根据立方根的定义判断即可；④根据方位角的定义判断即可；⑤根据平板直角坐标系中的点的特征判断即可．
解：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，故原说法错误；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
③立方根等于本身的数有三个是﹣1、0和1，说法正确；
④学校在小美家的北偏东30°方向，则小美家在学校的南偏西60°方向，说法正确；
⑤若a+b＜0且ab＞0，则P（a，b）在第三象限，说法正确．
所以不正确的是2个．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．的相反数为 ．
【分析】由于只有符号不同的两个数互为相反数，所以根据相反数的定义解答即可．
解：根据相反数的定义的相反数为﹣（）即．
故答案为：．
12．如图所示方式摆放纸杯测量角的基本原理是 对顶角相等 ．
【分析】利用对顶角的定义进行求解即可．
解：图中的测量角的原理是：对顶角相等．
故答案为：对顶角相等．
13．根据条件“比x的一半大3的数等于y的2倍”中的数量关系列出方程为 x+3＝2y ．
【分析】根据题意，可以用方程表示出比x的一半大3的数等于y的2倍．
解：“比x的一半大3的数等于y的2倍”中的数量关系列出方程为：x+3＝2y，
故答案为：x+3＝2y．
14．若x2＝9，则x＝ ±3 ．
【分析】由于左边为一个平方式，所以可用直接开平方法进行求解．
解：∵x2＝9
∴x＝±3．
故答案为±3．
15．在平面直角坐标系中，一个长方形ABCD三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（1，﹣4），D（﹣3，2），则点C坐标为 （﹣3，﹣4） ．
【分析】根据长方形的性质求出点D的横坐标与纵坐标，即可得解．
解：如图，
∵A（1，2），B（1，﹣4），D（﹣3，2），
∴点C的横坐标与点D的横坐标相同，为﹣3，
点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，为﹣4，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4）．
16．若x＝，y＝，则＝ ．
【分析】直接根据立方根的概念可得x、y的值，再代入代数式计算即可．
解：∵x＝，y＝，
∴x＝6，y＝60，
∴＝＝．
故答案为：．
17．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而上，用了2.5小时．若船在静水中的平均速度是每小时27千米，则水流速度为每小时 3 千米．
【分析】根据顺水速度×顺水时间＝逆水速度×逆水时间，可以列出相应的方程，然后求解即可．
解：设水流速度为每小时x千米，
由题意可得：2（27+x）＝2.5（27﹣x），
解得x＝3，
答：水流速度为每小时3千米，
故答案为：3．
18．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝ 20°或120° ．
【分析】如图，当OE在AB的上面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，于是得到∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；当OE在直线AB的下面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，于是得到∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°．
解：如图，当OE在AB的上面时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BOE＝130°，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；
当OE在直线AB的下面时，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BOD＝∠AOC＝70°，
∴∠DOE′＝∠BOE′﹣∠BOD＝130°﹣70°＝60°，
∴∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°，
综上所述，∠COE＝20°或120°，
故答案为：20°或120°．
19．如图所示，将三角形纸片沿DE折叠，使点C落在点C′处，若EC′恰好与BC平行，且∠C＝80°，则∠BDE＝ 130° ．
【分析】利用折叠的性质，先得到∠CED与∠C′ED间关系，根据平行线的性质和平角的定义再计算出∠CED的度数，最后利用三角形外角、内角的关系计算出∠BDE．
解：∵△CED沿ED折叠后得到△C′ED，
∴△CED≌△C′ED．
∴∠CED＝∠C′ED．
∵EC′∥BC，
∴∠C＝∠AEC′＝80°．
∵∠AEC+∠CED+∠C′ED＝180°，
∴∠CED＝50°．
∴∠BDE＝∠C+∠CED
＝80°+50°
＝130°．
故答案为：130°．
20．若一列火车匀速行驶，经过一条长310米的隧道需要18秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是8秒，则这列火车长 248 米．
【分析】根据（隧道长度+火车长度）÷18＝火车长度÷8，可以列出相应的方程，然后求解即可．
解：设这列火车长x米，
由题意可得：，
解得x＝248，
答：这列火车长248米，
故答案为：248．
二、解答题（其中21-25题各8分，26-27题各10分，共计60分）
21．计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简绝对值，然后再进行计算即可；
（2）先化简各数，然后再进行计算即可．
解：（1）
＝+
＝；
（2）
＝﹣3+0.4﹣1.4
＝﹣4．
22．解方程
（1）5x+9＝30﹣2x；
（2）．
【分析】（1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
解：（1）移项得：5x+2x＝30﹣9，
合并得：7x＝21，
解得：x＝3；
（2）去分母得：3（x+1）﹣6＝12+2（2﹣x），
去括号得：3x+3﹣6＝12+4﹣2x，
移项得：3x+2x＝12+4﹣3+6，
合并得：5x＝19，
解得：x＝．
23．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，且∠ABC+∠CDF＝180°．
求证：BE⊥DB．
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABC+∠CDF＝180°（ 已知 ）
∴∠BCD+∠CDF＝180°（ 等量代换 ）
∴BC∥DF（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
于是∠DBC＝∠BDF（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF
∴∠EBC＝∠ABC，∠BDF＝ ∠CDF （ 角平分线定义 ）
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF＝（∠ABC+∠CDF）
即∠EBD＝ 90°
∴BE⊥DB（ 垂直的定义 ）
【分析】根据平行线的性质和判定完成证明过程即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC+∠CDF＝180°（已知），
∴∠BCD+∠CDF＝180°（等量代换），
∴BC∥DF（同旁内角互补，两直线平行），
于是∠DBC＝∠BDF（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，
∴∠EBC＝∠ABC，∠BDF＝∠CDF（角平分线定义），
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF＝（∠ABC+∠CDF），
即∠EBD＝90°，
∴BE⊥DB（垂直的定义）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同旁内角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； ∠CDF，角平分线定义；90°；垂直的定义．
24．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（﹣1，3），B（﹣4，2），C（﹣2，﹣2），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△DEF，点A、B、C的对应点分别为D、E、F．
（1）在图中画出△DEF，并直接写出点E的坐标；
（2）判断线段AC与DF的关系为 平行且相等 ；
（3）连接BD、CD，并直接写出△BCD的面积．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出图形即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标；
（3）利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）线段AC与DF的关系为平行且相等，
故答案为：平行且相等；
（3）S△BCD＝×7×4＝14．
25．网课期间，某网店店主购进两种型号摄像头进行零售，购进价格与零售价格如表：
摄像头型号
A
B
购进价（元/个）
10
15
零售价（元/个）
25
35
请解答下列问题：
（1）该店主购进A、B两种型号的摄像头共60个，用去了700元，求这两种型号的摄像头分别购进多少个？
（2）该店主按市场需求又购进了一些A型号摄像头，并推出促销活动“购买A、B两种型号摄像头中的任意一款，每个赠送配套三角架一个”，已知每个三角架进价5元，且两次购进的摄像头全部售出，店主共获利940元，求该店主又购进多少个A型号摄像头？
【分析】（1）设A型号摄像头购进x个，则B型号摄像头购进（60﹣x）个，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出A型号摄像头的购进数量，再将其代入（60﹣x）中可求出B型号摄像头的购进数量；
（2）设该店主又购进y个A型号摄像头，利用销售总利润＝每个销售的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该店主又购进A型号摄像头的数量．
解：（1）设A型号摄像头购进x个，则B型号摄像头购进（60﹣x）个，
依题意得：10x+15（60﹣x）＝700，
解得：x＝40，
∴60﹣x＝60﹣40＝20．
答：A型号摄像头购进40个，B型号摄像头购进20个．
（2）设该店主又购进y个A型号摄像头，
依题意得：（25﹣10﹣5）（y+40）+（35﹣15﹣5）×20＝940，
解得：y＝24．
答：该店主又购进24个A型号摄像头．
26．已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．
【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可；
（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可；
（3）设∠AFE＝x，利用平行线的性质和角平分线的定义在△QEP中，通过计算∠QPE＝60°，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CHG．
∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠CHG．
∵∠CHG+∠EHF+∠2＝180°，
∴3∠CHG+60°＝180°．
∴∠CHG＝40°．
∴∠1＝40°．
（2）解：∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系为：∠AFE＝∠E+∠MHE，理由：
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠CME．
∵∠CME＝∠E+∠MHE，
∴∠AFE＝∠E+∠MHE．
（3）证明：设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．
∵AB∥CD，
∴∠BFT＝∠ETF．
∵∠EFT＝∠ETF，
∴∠EFT＝∠BFT＝∠EFB＝90°﹣x．
∴∠HFT＝∠BFT﹣∠BFH＝x．
∵∠Q﹣∠HFT＝15°，
∴∠Q＝15°+x．
∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF＝180°．
∴∠CEF＝180°﹣x．
∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x．
∵EQ平分∠CEH，
∴∠QEH＝∠CEH＝105°﹣x．
∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，
∴15°+x+105°﹣x+∠QPE＝180°．
∴∠QPE＝60°．
∵∠H＝60°，
∴∠QPE＝∠H．
∴PQ∥FH．
27．已知：在平面直角坐标系中，点A（m，n），且m、n满足关系式m＝+﹣1，点B（﹣3，0），点C在x轴正半轴上，AC交y轴于点E．
（1）点A的坐标为（ ﹣1 ， 5 ）；
（2）如图1，若S△ABC＝15，求线段BC的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E处有一动点P以每秒2个单位长度的速度先沿线段EO运动到点O，再继续以相同的速度沿x轴负半轴运动到点B后停止运动，求当t为何值时，S△AOE＝S△BEP．
【分析】（1）由算术平方根的性质可求出m，n的值；
（2）过点A作AF⊥x轴于点F，由三角形面积公式可求出答案；
（3）求出C（3，0），由三角形ABC的面积可求出BC＝6，分两种情况由三角形面积公式可求出答案．
解：（1）∵m、n满足关系式m＝+﹣1，
∴，
∴n＝5，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1，5；
（2）过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（﹣1，5），
∴AF＝5，
∴S△ABC＝×BC×5＝15，
∴BC＝6；
（3）∵BC＝6，B（﹣3，0），
∴C（3，0），
∵S△AOB+SAOE+S△EOC＝S△ABC＝15，
∴×3×OE＝15，
∴OE＝，
①若点P在OE上，则PE＝2t，
∴S△BEP＝×2t×3＝3t，S△AOE＝＝，
∴，
∴t＝；
②若点P在OB上，BP＝3+﹣2t＝﹣2t，
∴S△BEP＝＝，
∴＝，
∴t＝．
综合以上可得t的值为或．
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