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广西梧州市人教版2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)
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这是一份广西梧州市人教版2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西梧州市八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，
1．在平面直角坐标系中，点（1，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．当x＝2时，函数y＝的函数值是（ ）
A．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1
3．在三角形全等判定定理中，下列哪一个不属于三角形全等判定定理简记（ ）
A．AAS B．SSA C．SAS D．HL
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形三条高所在直线一定相交于三角形内
B．一个数能被6整除，这个数也能被4整除
C．两直线平行，同旁内角互补
D．三角形的三个外角和等于180度
5．一次函数y＝2x+3的图象与y轴的交点是（ ）
A．（2，3） B．（0，2） C．（0，3） D．（﹣，0）
6．用下列长度的三条线段，首尾相连，不能组成三角形的是（ ）
A．3cm，3cm，2cm B．7cm，2cm，4cm
C．4cm，9cm，7cm D．3cm，5cm，4cm
7．一次函数y＝5x的图象向下平移3个单位所得到的函数关系式是（ ）
A．y＝5x﹣3 B．y＝5x+3 C．y＝2x D．y＝8x
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，交AC于点E，若△BCE的周长是8cm，BC＝3cm，则△ABC的周长是（ ）
A．11cm B．13cm C．14cm D．16cm
9．如图，在△ABC中，∠A＝72°，按图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝（ ）
A．108° B．147° C．245° D．252°
10．如图，△ABC≌△ADE，∠A＝41°，∠B＝51°，则∠1＝（ ）
A．88° B．92° C．132° D．143°
11．在等腰△ABC中，若∠A＝36°，则∠B的度数不可能是（ ）
A．36° B．72° C．108° D．118°
12．如图，在△ABC中，∠B＝41°，∠C＝107°，AD是角平分线，点E是AB上的点，且AE＝AC，作EF⊥AD，垂足为点F，则∠DEF的度数是（ ）
A．16° B．32° C．33° D．34°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，）
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
14．如图，∠ACD是△ABC的外角，且∠ACD＝65°，∠A＝35°，则∠B＝ 度．
15．如图，△ABC≌△EBD，AC＝ED，那么AB＝ ，∠ABC＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，已知∠B＝30°，AD＝2cm，则BD＝ cm．
17．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，y1）和B（﹣1，y2），且已知k＞0，则比较大小：y1 y2（选择“＜”，“＞”，“≤”，“≥”，“＝”其中之一填空）．
18．已知，在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝2x+2，其中c边长是偶数，则x的值应该是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分66分。）
19．先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系．
20．已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．
21．已知直线y＝kx+b经过（2，4），（1，1）两点，求该函数关系式．
22．如图，在△ABC中，∠A＝26°，∠B＝52°，CD是△ABC的高，CE是∠ACD的平分线，求∠ECB的度数．
23．如图，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣5，7）、B（﹣4，1）、C（﹣1，3）．若把此三角形向右平移8个单位，再向上平移1个单位，得到△A′B′C′，再做△A'B'C′关于x轴的对称图形△A″B″C″．请在坐标系中画出△A′B'C′、△A″B″C″，并写出这两个三角形顶点坐标．
24．已知AD、CD分别是△ABC内角和外角平分线，它们的交点为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F点，作DE⊥AB，垂足为E点，连接BD．
求证：BF＝BE．
25．在同一平面直角坐标系中画出直线y1＝2x和y2＝﹣2x+8，且两图象的交点是A，直线y2与x轴的交点是B，根据图象：
（1）求两条直线交点A的坐标；
（2）请求出图象中的△AOB面积．
26．某货运公司派一辆汽车将一批商品从甲地运往乙地货仓，卸货后，返回甲地，设离开甲地的时间为x（h），与甲地的距离为y（km），汽车的整个运输过程如图所示．
（1）根据图象，请判断汽车在乙地停留了多少小时？
（2）求出距离y与时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点F是线段AC上的一点，作∠BFE＝90°，∠DAE＝45°，且交点是E，过点E作CA的延长线的垂线，垂足为D．若AD＝CF，求证：EF＝BF．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，
1．在平面直角坐标系中，点（1，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
解：点（1，2）所在的象限是第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．当x＝2时，函数y＝的函数值是（ ）
A．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1
【分析】把x＝2代入计算，再根据算术平方根的定义可得答案．
解：当x＝2时，y＝＝＝2，
故选：C．
【点评】本题考查函数值，将自变量的值代入求出函数值是解决问题的关键．
3．在三角形全等判定定理中，下列哪一个不属于三角形全等判定定理简记（ ）
A．AAS B．SSA C．SAS D．HL
【分析】根据全等三角形的判定定理分析判断即可．
解：全等三角形的判定定理分别为：（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．故C不符合题意；
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．故A不符合题意；
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．故D不符合题意．
故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形三条高所在直线一定相交于三角形内
B．一个数能被6整除，这个数也能被4整除
C．两直线平行，同旁内角互补
D．三角形的三个外角和等于180度
【分析】根据三角形高的定义得到锐角三角形三条高所在直线一定相交于三角形内，钝角三角形三条高所在直线一定相交于三角形外，直角三角形三条高所在直线一定相交于直角顶点，则可对A选项进行判断；利用反例对B选项进行判断；根据平行线的性质对C选项进行判断；根据三角形外角和定理对D选项进行判断．
解：A．锐角三角形三条高所在直线一定相交于三角形内，所以A选项不符合题意；
B．18能被6整除，但18不能被4整除，所以B选项不符合题意；
C．两直线平行，同旁内角互补，所以C选项符合题意；
D．三角形的三个外角和等于360度，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．一次函数y＝2x+3的图象与y轴的交点是（ ）
A．（2，3） B．（0，2） C．（0，3） D．（﹣，0）
【分析】代入x＝0，求出y值，进而可得出一次函数y＝2x+3的图象与y轴的交点坐标．
解：当x＝0时，y＝2×0+3＝3，
∴一次函数y＝2x+3的图象与y轴的交点是（0，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
6．用下列长度的三条线段，首尾相连，不能组成三角形的是（ ）
A．3cm，3cm，2cm B．7cm，2cm，4cm
C．4cm，9cm，7cm D．3cm，5cm，4cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：A、2+3＞3，能构成三角形，不符合题意；
B、2+4＜7，不能构成三角形，符合题意；
C、4+7＞9，能构成三角形，不符合题意；
D、3+4＞5，能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
7．一次函数y＝5x的图象向下平移3个单位所得到的函数关系式是（ ）
A．y＝5x﹣3 B．y＝5x+3 C．y＝2x D．y＝8x
【分析】求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
解：把一次函数y＝5x，向下平移3个单位长度，得到图象解析式是y＝5x﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，交AC于点E，若△BCE的周长是8cm，BC＝3cm，则△ABC的周长是（ ）
A．11cm B．13cm C．14cm D．16cm
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝BE，然后求出△BCE的周长＝AC+BC，然后代入数据计算即可求出AC的长，从而得结论．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵BC＝3m，△BCE的周长是8cm，
∴AC＝8﹣3＝5（cm），
∵AB＝AC，
∴AB＝5cm，
∴△ABC的周长＝5+5+3＝13（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠A＝72°，按图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝（ ）
A．108° B．147° C．245° D．252°
【分析】先利用三角形内角和定理，求出∠B+∠C＝108°，再利用四边形内角和是360°进行计算即可解答．
解：∵∠A＝72°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝108°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝252°，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
10．如图，△ABC≌△ADE，∠A＝41°，∠B＝51°，则∠1＝（ ）
A．88° B．92° C．132° D．143°
【分析】首先利用三角形的外角的性质得到∠DCB＝∠A+∠B＝41°+51°＝92°，然后利用△ABC≌△ADE，得到∠D＝∠B＝51°，从而得到∠1＝∠DCB+∠D＝92°+51°＝143°．
解：在△ABC中，∠A＝41°，∠B＝51°，
∴∠DCB＝∠A+∠B＝41°+51°＝92°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝51°，
∴∠1＝∠DCB+∠D＝92°+51°＝143°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等、对应边相等，难度不大．
11．在等腰△ABC中，若∠A＝36°，则∠B的度数不可能是（ ）
A．36° B．72° C．108° D．118°
【分析】分三种情况：当∠A为等腰三角形的顶角，∠B为等腰三角形的底角时；当∠A为等腰三角形的底角，∠B也为等腰三角形的底角时；当∠A为等腰三角形的底角，∠B为等腰三角形的顶角时；然后分别进行计算即可解答．
解：分三种情况：
当∠A为等腰三角形的顶角，∠B为等腰三角形的底角时，
∴等腰三角形的底角＝（180°﹣∠A）＝72°，
∴∠B＝72°；
当∠A为等腰三角形的底角，∠B也为等腰三角形的底角时，
∴∠B＝∠A＝36°；
当∠A为等腰三角形的底角，∠B为等腰三角形的顶角时，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2∠A＝108°，
∴∠B＝108°；
综上所述：∠B的度数为72°，36°或108°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分三种情况讨论是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠B＝41°，∠C＝107°，AD是角平分线，点E是AB上的点，且AE＝AC，作EF⊥AD，垂足为点F，则∠DEF的度数是（ ）
A．16° B．32° C．33° D．34°
【分析】先根据三角形内角和定理和角平分线的性质可得∠EAF，根据SAS可证△AED≌△ACD，根据全等三角形的性质∠AED＝∠C＝107°，根据直角三角形的性质∠AEF，再根据角的和差关系即可求解．
解：在△ABC中，∠B＝41°，∠C＝107°，
∴∠BAC＝180°﹣41°﹣107°＝32°，
∵AD是角平分线，
∴∠EAD＝∠CAD＝16°，
在△AED与△ACD中，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED＝∠C＝107°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°﹣16°＝74°，
∴∠DEF＝107°﹣74°＝33°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据SAS证明△AED≌△ACD．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，）
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0，解得答案．
解：根据题意得：x+2≠0，
解可得：x≠﹣2．
【点评】求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
14．如图，∠ACD是△ABC的外角，且∠ACD＝65°，∠A＝35°，则∠B＝ 30 度．
【分析】根据三角形的内角与外角之间的关系解答即可．
解：∵∠ACD＝65°，∠A＝35°，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A，
＝65°﹣35°
＝30°．
故答案为：30．
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．
15．如图，△ABC≌△EBD，AC＝ED，那么AB＝ EB ，∠ABC＝ ∠EBD ．
【分析】根据全等三角形找到对应角、对应边即可．
解：∵△ABC≌△EBD，AC＝ED，
∴AB＝EB，∠ABC＝∠EBD，
故答案为：EB，∠EBD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，对应边相等，难度不大．
16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，已知∠B＝30°，AD＝2cm，则BD＝ 6 cm．
【分析】先求出∠ACD＝30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝2cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝4cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝8cm．
∴DB＝8﹣2＝6cm．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，掌握直角三角形的这一性质是解题关键．
17．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，y1）和B（﹣1，y2），且已知k＞0，则比较大小：y1 ＜ y2（选择“＜”，“＞”，“≤”，“≥”，“＝”其中之一填空）．
【分析】利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣4＜﹣1，即可得出y1＜y2．
解：∵k＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，y1）和B（﹣1，y2），且﹣4＜﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数图象的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
18．已知，在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝2x+2，其中c边长是偶数，则x的值应该是 2或3 ．
【分析】根据三角形的三边关系“第三边应大于两边之差，而小于两边之和”，求得x的取值范围；再根据边c是偶数这一条件，求得c的值．
解：根据三角形的三边关系，
得7﹣3＜2x+2＜7+3，
解得4＜2x+2＜10，
又∵2x+2是偶数，
则2x+2的值为6、8，
∴x＝2或3，
故答案为：2或3．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．还要注意偶数这一条件．
三、解答题（本大题共9小题，满分66分。）
19．先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系．
【分析】以广场为坐标原点建立平面直角坐标系，然后结合图形写出其他各点的坐标即可．
解：如图，
广场（0，0），1中学（﹣1，﹣2），酒店（﹣2，0），商场（﹣1，2），2中学（2，1）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，是基础题，建立平面直角坐标系是解题的关键．
20．已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据平行线的性质得出∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，根据CF＝BE求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理ASA证明即可．
【解答】证明：∵AC∥DF，AB∥DE，
∴∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，
∵CF＝BE，
∴CF+BF＝BE+BF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
21．已知直线y＝kx+b经过（2，4），（1，1）两点，求该函数关系式．
【分析】把2，4），（1，1）两点代入y＝kx+b解方程组即可．
解：把（2，4），（1，1）两点代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴该函数关系式为y＝3x﹣2．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是解二元一次方程组．
22．如图，在△ABC中，∠A＝26°，∠B＝52°，CD是△ABC的高，CE是∠ACD的平分线，求∠ECB的度数．
【分析】由高得∠BDC＝∠ADC＝90°，利用三角形的内角和可求得∠BCD＝38°，∠ACD＝74°，再由角平分线的定义可得∠ECD＝37°，即可求∠ECB的度数．
解：∵CD是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝26°，∠B＝52°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝38°，∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝74°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ECD＝∠ACD＝37°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝75°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是熟记三角形的内角和为180°．
23．如图，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣5，7）、B（﹣4，1）、C（﹣1，3）．若把此三角形向右平移8个单位，再向上平移1个单位，得到△A′B′C′，再做△A'B'C′关于x轴的对称图形△A″B″C″．请在坐标系中画出△A′B'C′、△A″B″C″，并写出这两个三角形顶点坐标．
【分析】利用点平移的坐标变换规律写出点A′、B′、C′的坐标，再描点得到△A′B'C′；然后根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A″、B″、C″的坐标，然后描点得到△A″B″C″．
解：如图，△A′B'C′和△A″B″C″为所作，A′（3，8）、B′（4，2）、C′（7，4）．A″（3，﹣8）、B″（4，﹣2）、C″（7，﹣4）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了平移变换．
24．已知AD、CD分别是△ABC内角和外角平分线，它们的交点为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F点，作DE⊥AB，垂足为E点，连接BD．
求证：BF＝BE．
【分析】过点D作DG⊥AC于点G，根据角平分线的性质可得DE＝DF，然后证明Rt△DEB≌Rt△DFB（HL），即可得结论．
【解答】证明：如图，过点D作DG⊥AC于点G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DG⊥AC，
∴DE＝DG，
∵CD平分∠FCG，DG⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DG，
∴DE＝DF，
在Rt△DEB和Rt△DFB中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFB（HL），
∴BE＝BF．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键．
25．在同一平面直角坐标系中画出直线y1＝2x和y2＝﹣2x+8，且两图象的交点是A，直线y2与x轴的交点是B，根据图象：
（1）求两条直线交点A的坐标；
（2）请求出图象中的△AOB面积．
【分析】（1）解方程组即可得到结论；
（2）解方程得到点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）解得，，
∴两条直线交点A的坐标为（2，4）；
（2）在y2＝﹣2x+8中，
令y＝0，则﹣2x+8＝0，
∴x＝4，
∴B（4，0），
∴△AOB面积＝×4×4＝8．
【点评】本题考查了一次函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用两点法作出函数的图象．
26．某货运公司派一辆汽车将一批商品从甲地运往乙地货仓，卸货后，返回甲地，设离开甲地的时间为x（h），与甲地的距离为y（km），汽车的整个运输过程如图所示．
（1）根据图象，请判断汽车在乙地停留了多少小时？
（2）求出距离y与时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
【分析】（1）由图象直接可得汽车在乙地停留了1小时；
（2）分三种情况，分别求出y与时间x之间的函数关系式即可．
解：（1）由图象可知，汽车在乙地停留了5﹣4＝1（小时）；
（2）当0≤x≤4时，由汽车4小时行驶140千米可知速度是140÷4＝35（千米/小时），
∴y＝35x；
当4＜x≤5时，y＝140；
当5＜x≤7时，设y＝kx+b，
将（5，140），（7，0）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣70x+490；
∴y＝．
【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用信息．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点F是线段AC上的一点，作∠BFE＝90°，∠DAE＝45°，且交点是E，过点E作CA的延长线的垂线，垂足为D．若AD＝CF，求证：EF＝BF．
【分析】证明△EFD≌△FBC（SAS），进而可得结论．
【解答】证明：∵∠DAE＝45°，∠EDA＝90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AD＝ED，
∵AD＝CF，
∴ED＝CF，
∴AD+AF＝CF+AF，
∴DF＝AC，
∵AC＝BC，
∴DF＝BC，
在△EFD和△FBC中，
，
∴△EFD≌△FBC（SAS），
∴FB＝FE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是得到△EFD≌△FBC．
2021-2022学年广西梧州市八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，
1．在平面直角坐标系中，点（1，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．当x＝2时，函数y＝的函数值是（ ）
A．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1
3．在三角形全等判定定理中，下列哪一个不属于三角形全等判定定理简记（ ）
A．AAS B．SSA C．SAS D．HL
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形三条高所在直线一定相交于三角形内
B．一个数能被6整除，这个数也能被4整除
C．两直线平行，同旁内角互补
D．三角形的三个外角和等于180度
5．一次函数y＝2x+3的图象与y轴的交点是（ ）
A．（2，3） B．（0，2） C．（0，3） D．（﹣，0）
6．用下列长度的三条线段，首尾相连，不能组成三角形的是（ ）
A．3cm，3cm，2cm B．7cm，2cm，4cm
C．4cm，9cm，7cm D．3cm，5cm，4cm
7．一次函数y＝5x的图象向下平移3个单位所得到的函数关系式是（ ）
A．y＝5x﹣3 B．y＝5x+3 C．y＝2x D．y＝8x
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，交AC于点E，若△BCE的周长是8cm，BC＝3cm，则△ABC的周长是（ ）
A．11cm B．13cm C．14cm D．16cm
9．如图，在△ABC中，∠A＝72°，按图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝（ ）
A．108° B．147° C．245° D．252°
10．如图，△ABC≌△ADE，∠A＝41°，∠B＝51°，则∠1＝（ ）
A．88° B．92° C．132° D．143°
11．在等腰△ABC中，若∠A＝36°，则∠B的度数不可能是（ ）
A．36° B．72° C．108° D．118°
12．如图，在△ABC中，∠B＝41°，∠C＝107°，AD是角平分线，点E是AB上的点，且AE＝AC，作EF⊥AD，垂足为点F，则∠DEF的度数是（ ）
A．16° B．32° C．33° D．34°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，）
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
14．如图，∠ACD是△ABC的外角，且∠ACD＝65°，∠A＝35°，则∠B＝ 度．
15．如图，△ABC≌△EBD，AC＝ED，那么AB＝ ，∠ABC＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，已知∠B＝30°，AD＝2cm，则BD＝ cm．
17．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，y1）和B（﹣1，y2），且已知k＞0，则比较大小：y1 y2（选择“＜”，“＞”，“≤”，“≥”，“＝”其中之一填空）．
18．已知，在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝2x+2，其中c边长是偶数，则x的值应该是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分66分。）
19．先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系．
20．已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．
21．已知直线y＝kx+b经过（2，4），（1，1）两点，求该函数关系式．
22．如图，在△ABC中，∠A＝26°，∠B＝52°，CD是△ABC的高，CE是∠ACD的平分线，求∠ECB的度数．
23．如图，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣5，7）、B（﹣4，1）、C（﹣1，3）．若把此三角形向右平移8个单位，再向上平移1个单位，得到△A′B′C′，再做△A'B'C′关于x轴的对称图形△A″B″C″．请在坐标系中画出△A′B'C′、△A″B″C″，并写出这两个三角形顶点坐标．
24．已知AD、CD分别是△ABC内角和外角平分线，它们的交点为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F点，作DE⊥AB，垂足为E点，连接BD．
求证：BF＝BE．
25．在同一平面直角坐标系中画出直线y1＝2x和y2＝﹣2x+8，且两图象的交点是A，直线y2与x轴的交点是B，根据图象：
（1）求两条直线交点A的坐标；
（2）请求出图象中的△AOB面积．
26．某货运公司派一辆汽车将一批商品从甲地运往乙地货仓，卸货后，返回甲地，设离开甲地的时间为x（h），与甲地的距离为y（km），汽车的整个运输过程如图所示．
（1）根据图象，请判断汽车在乙地停留了多少小时？
（2）求出距离y与时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点F是线段AC上的一点，作∠BFE＝90°，∠DAE＝45°，且交点是E，过点E作CA的延长线的垂线，垂足为D．若AD＝CF，求证：EF＝BF．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，
1．在平面直角坐标系中，点（1，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
解：点（1，2）所在的象限是第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．当x＝2时，函数y＝的函数值是（ ）
A．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1
【分析】把x＝2代入计算，再根据算术平方根的定义可得答案．
解：当x＝2时，y＝＝＝2，
故选：C．
【点评】本题考查函数值，将自变量的值代入求出函数值是解决问题的关键．
3．在三角形全等判定定理中，下列哪一个不属于三角形全等判定定理简记（ ）
A．AAS B．SSA C．SAS D．HL
【分析】根据全等三角形的判定定理分析判断即可．
解：全等三角形的判定定理分别为：（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．故C不符合题意；
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．故A不符合题意；
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．故D不符合题意．
故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形三条高所在直线一定相交于三角形内
B．一个数能被6整除，这个数也能被4整除
C．两直线平行，同旁内角互补
D．三角形的三个外角和等于180度
【分析】根据三角形高的定义得到锐角三角形三条高所在直线一定相交于三角形内，钝角三角形三条高所在直线一定相交于三角形外，直角三角形三条高所在直线一定相交于直角顶点，则可对A选项进行判断；利用反例对B选项进行判断；根据平行线的性质对C选项进行判断；根据三角形外角和定理对D选项进行判断．
解：A．锐角三角形三条高所在直线一定相交于三角形内，所以A选项不符合题意；
B．18能被6整除，但18不能被4整除，所以B选项不符合题意；
C．两直线平行，同旁内角互补，所以C选项符合题意；
D．三角形的三个外角和等于360度，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．一次函数y＝2x+3的图象与y轴的交点是（ ）
A．（2，3） B．（0，2） C．（0，3） D．（﹣，0）
【分析】代入x＝0，求出y值，进而可得出一次函数y＝2x+3的图象与y轴的交点坐标．
解：当x＝0时，y＝2×0+3＝3，
∴一次函数y＝2x+3的图象与y轴的交点是（0，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
6．用下列长度的三条线段，首尾相连，不能组成三角形的是（ ）
A．3cm，3cm，2cm B．7cm，2cm，4cm
C．4cm，9cm，7cm D．3cm，5cm，4cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：A、2+3＞3，能构成三角形，不符合题意；
B、2+4＜7，不能构成三角形，符合题意；
C、4+7＞9，能构成三角形，不符合题意；
D、3+4＞5，能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
7．一次函数y＝5x的图象向下平移3个单位所得到的函数关系式是（ ）
A．y＝5x﹣3 B．y＝5x+3 C．y＝2x D．y＝8x
【分析】求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
解：把一次函数y＝5x，向下平移3个单位长度，得到图象解析式是y＝5x﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，交AC于点E，若△BCE的周长是8cm，BC＝3cm，则△ABC的周长是（ ）
A．11cm B．13cm C．14cm D．16cm
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝BE，然后求出△BCE的周长＝AC+BC，然后代入数据计算即可求出AC的长，从而得结论．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，
∵BC＝3m，△BCE的周长是8cm，
∴AC＝8﹣3＝5（cm），
∵AB＝AC，
∴AB＝5cm，
∴△ABC的周长＝5+5+3＝13（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠A＝72°，按图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝（ ）
A．108° B．147° C．245° D．252°
【分析】先利用三角形内角和定理，求出∠B+∠C＝108°，再利用四边形内角和是360°进行计算即可解答．
解：∵∠A＝72°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝108°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝252°，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
10．如图，△ABC≌△ADE，∠A＝41°，∠B＝51°，则∠1＝（ ）
A．88° B．92° C．132° D．143°
【分析】首先利用三角形的外角的性质得到∠DCB＝∠A+∠B＝41°+51°＝92°，然后利用△ABC≌△ADE，得到∠D＝∠B＝51°，从而得到∠1＝∠DCB+∠D＝92°+51°＝143°．
解：在△ABC中，∠A＝41°，∠B＝51°，
∴∠DCB＝∠A+∠B＝41°+51°＝92°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝51°，
∴∠1＝∠DCB+∠D＝92°+51°＝143°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等、对应边相等，难度不大．
11．在等腰△ABC中，若∠A＝36°，则∠B的度数不可能是（ ）
A．36° B．72° C．108° D．118°
【分析】分三种情况：当∠A为等腰三角形的顶角，∠B为等腰三角形的底角时；当∠A为等腰三角形的底角，∠B也为等腰三角形的底角时；当∠A为等腰三角形的底角，∠B为等腰三角形的顶角时；然后分别进行计算即可解答．
解：分三种情况：
当∠A为等腰三角形的顶角，∠B为等腰三角形的底角时，
∴等腰三角形的底角＝（180°﹣∠A）＝72°，
∴∠B＝72°；
当∠A为等腰三角形的底角，∠B也为等腰三角形的底角时，
∴∠B＝∠A＝36°；
当∠A为等腰三角形的底角，∠B为等腰三角形的顶角时，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2∠A＝108°，
∴∠B＝108°；
综上所述：∠B的度数为72°，36°或108°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分三种情况讨论是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠B＝41°，∠C＝107°，AD是角平分线，点E是AB上的点，且AE＝AC，作EF⊥AD，垂足为点F，则∠DEF的度数是（ ）
A．16° B．32° C．33° D．34°
【分析】先根据三角形内角和定理和角平分线的性质可得∠EAF，根据SAS可证△AED≌△ACD，根据全等三角形的性质∠AED＝∠C＝107°，根据直角三角形的性质∠AEF，再根据角的和差关系即可求解．
解：在△ABC中，∠B＝41°，∠C＝107°，
∴∠BAC＝180°﹣41°﹣107°＝32°，
∵AD是角平分线，
∴∠EAD＝∠CAD＝16°，
在△AED与△ACD中，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED＝∠C＝107°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°﹣16°＝74°，
∴∠DEF＝107°﹣74°＝33°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据SAS证明△AED≌△ACD．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，）
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+2≠0，解得答案．
解：根据题意得：x+2≠0，
解可得：x≠﹣2．
【点评】求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
14．如图，∠ACD是△ABC的外角，且∠ACD＝65°，∠A＝35°，则∠B＝ 30 度．
【分析】根据三角形的内角与外角之间的关系解答即可．
解：∵∠ACD＝65°，∠A＝35°，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A，
＝65°﹣35°
＝30°．
故答案为：30．
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．
15．如图，△ABC≌△EBD，AC＝ED，那么AB＝ EB ，∠ABC＝ ∠EBD ．
【分析】根据全等三角形找到对应角、对应边即可．
解：∵△ABC≌△EBD，AC＝ED，
∴AB＝EB，∠ABC＝∠EBD，
故答案为：EB，∠EBD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，对应边相等，难度不大．
16．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，已知∠B＝30°，AD＝2cm，则BD＝ 6 cm．
【分析】先求出∠ACD＝30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝2cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝4cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝8cm．
∴DB＝8﹣2＝6cm．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，掌握直角三角形的这一性质是解题关键．
17．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，y1）和B（﹣1，y2），且已知k＞0，则比较大小：y1 ＜ y2（选择“＜”，“＞”，“≤”，“≥”，“＝”其中之一填空）．
【分析】利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣4＜﹣1，即可得出y1＜y2．
解：∵k＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，y1）和B（﹣1，y2），且﹣4＜﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数图象的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
18．已知，在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝2x+2，其中c边长是偶数，则x的值应该是 2或3 ．
【分析】根据三角形的三边关系“第三边应大于两边之差，而小于两边之和”，求得x的取值范围；再根据边c是偶数这一条件，求得c的值．
解：根据三角形的三边关系，
得7﹣3＜2x+2＜7+3，
解得4＜2x+2＜10，
又∵2x+2是偶数，
则2x+2的值为6、8，
∴x＝2或3，
故答案为：2或3．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．还要注意偶数这一条件．
三、解答题（本大题共9小题，满分66分。）
19．先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系．
【分析】以广场为坐标原点建立平面直角坐标系，然后结合图形写出其他各点的坐标即可．
解：如图，
广场（0，0），1中学（﹣1，﹣2），酒店（﹣2，0），商场（﹣1，2），2中学（2，1）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，是基础题，建立平面直角坐标系是解题的关键．
20．已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据平行线的性质得出∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，根据CF＝BE求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理ASA证明即可．
【解答】证明：∵AC∥DF，AB∥DE，
∴∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC，
∵CF＝BE，
∴CF+BF＝BE+BF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
21．已知直线y＝kx+b经过（2，4），（1，1）两点，求该函数关系式．
【分析】把2，4），（1，1）两点代入y＝kx+b解方程组即可．
解：把（2，4），（1，1）两点代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴该函数关系式为y＝3x﹣2．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是解二元一次方程组．
22．如图，在△ABC中，∠A＝26°，∠B＝52°，CD是△ABC的高，CE是∠ACD的平分线，求∠ECB的度数．
【分析】由高得∠BDC＝∠ADC＝90°，利用三角形的内角和可求得∠BCD＝38°，∠ACD＝74°，再由角平分线的定义可得∠ECD＝37°，即可求∠ECB的度数．
解：∵CD是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝26°，∠B＝52°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝38°，∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝74°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ECD＝∠ACD＝37°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝75°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是熟记三角形的内角和为180°．
23．如图，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣5，7）、B（﹣4，1）、C（﹣1，3）．若把此三角形向右平移8个单位，再向上平移1个单位，得到△A′B′C′，再做△A'B'C′关于x轴的对称图形△A″B″C″．请在坐标系中画出△A′B'C′、△A″B″C″，并写出这两个三角形顶点坐标．
【分析】利用点平移的坐标变换规律写出点A′、B′、C′的坐标，再描点得到△A′B'C′；然后根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A″、B″、C″的坐标，然后描点得到△A″B″C″．
解：如图，△A′B'C′和△A″B″C″为所作，A′（3，8）、B′（4，2）、C′（7，4）．A″（3，﹣8）、B″（4，﹣2）、C″（7，﹣4）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了平移变换．
24．已知AD、CD分别是△ABC内角和外角平分线，它们的交点为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F点，作DE⊥AB，垂足为E点，连接BD．
求证：BF＝BE．
【分析】过点D作DG⊥AC于点G，根据角平分线的性质可得DE＝DF，然后证明Rt△DEB≌Rt△DFB（HL），即可得结论．
【解答】证明：如图，过点D作DG⊥AC于点G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DG⊥AC，
∴DE＝DG，
∵CD平分∠FCG，DG⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DG，
∴DE＝DF，
在Rt△DEB和Rt△DFB中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFB（HL），
∴BE＝BF．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键．
25．在同一平面直角坐标系中画出直线y1＝2x和y2＝﹣2x+8，且两图象的交点是A，直线y2与x轴的交点是B，根据图象：
（1）求两条直线交点A的坐标；
（2）请求出图象中的△AOB面积．
【分析】（1）解方程组即可得到结论；
（2）解方程得到点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）解得，，
∴两条直线交点A的坐标为（2，4）；
（2）在y2＝﹣2x+8中，
令y＝0，则﹣2x+8＝0，
∴x＝4，
∴B（4，0），
∴△AOB面积＝×4×4＝8．
【点评】本题考查了一次函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用两点法作出函数的图象．
26．某货运公司派一辆汽车将一批商品从甲地运往乙地货仓，卸货后，返回甲地，设离开甲地的时间为x（h），与甲地的距离为y（km），汽车的整个运输过程如图所示．
（1）根据图象，请判断汽车在乙地停留了多少小时？
（2）求出距离y与时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
【分析】（1）由图象直接可得汽车在乙地停留了1小时；
（2）分三种情况，分别求出y与时间x之间的函数关系式即可．
解：（1）由图象可知，汽车在乙地停留了5﹣4＝1（小时）；
（2）当0≤x≤4时，由汽车4小时行驶140千米可知速度是140÷4＝35（千米/小时），
∴y＝35x；
当4＜x≤5时，y＝140；
当5＜x≤7时，设y＝kx+b，
将（5，140），（7，0）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣70x+490；
∴y＝．
【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用信息．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点F是线段AC上的一点，作∠BFE＝90°，∠DAE＝45°，且交点是E，过点E作CA的延长线的垂线，垂足为D．若AD＝CF，求证：EF＝BF．
【分析】证明△EFD≌△FBC（SAS），进而可得结论．
【解答】证明：∵∠DAE＝45°，∠EDA＝90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AD＝ED，
∵AD＝CF，
∴ED＝CF，
∴AD+AF＝CF+AF，
∴DF＝AC，
∵AC＝BC，
∴DF＝BC，
在△EFD和△FBC中，
，
∴△EFD≌△FBC（SAS），
∴FB＝FE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是得到△EFD≌△FBC．
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