浙江省宁波市鄞州区2022年九年级上学期期末数学试卷及答案

九年级上学期期末数学试卷

一、单选题

1．如果 ，那么 的值是（　　） 

A． B． C． D．

2．下列事件是必然事件的是（　　） 

A．抛一枚骰子朝上数字是6

B．打开电视正在播放疫情相关新闻

C．煮熟的鸡蛋稃出一只小鸡

D．400名学生中至少有两人生日同一天

3．下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（　　） 

A． B．

C． D．

4．如图， 中， 于点D，点P为 上的点， ，以点P为圆心 为半径画圆，下列说法错误的是（　　）

A．点A在 外 B．点B在 外

C．点C在 外 D．点D在 内

5．已知 ，则 的度数所属范围是（　　） 

A． B．

C． D．

6．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（　　） 

A．12 B．14 C．16 D．18

7．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t秒时球的高度为h米，h和t满足公式：    表示球弹起时的速度，g表示重力系数，取 米/秒 ，则球不低于3米的持续时间是（　　） 

A． 秒 B． 秒 C． 秒 D．1秒

8．如图， 是 的角平分线， 交 于点E，若 的重心G在 上，则 的值是（　　） 

A． B． C． D．

9．二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） 

A．与y轴交点的纵坐标小于4

B．对称轴在直线 左侧

C．与x轴正半轴交点的横坐标小于2

D．拋物线一定经过两个定点

10．如图， 是锐角 的外接圆，直径 平分 交 于 于F， 于G，连结 ，要求四边形 面积，只需知道下列选项中某个三角形的面积，则这个三角形是（          ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60°，则该正多边形边数是　     　.

12．某视听节目从200名打通热线电话的听众中抽取10名“幸运听众”，则打通一次热线电话的听众成为 “幸运听众”的概率是　     　.

13．如图，矩形 被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形 相似，则 的值是　     　. 

14．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米， ，则梯子 的长是　     　 米. 

15．如图，平面直角坐标系中有一点 ，在以 为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转 后恰好落在x轴上，则点P的坐标是　                         　.

16．如图，点A是抛物线 上不与原点O重合的动点. 轴于点B，过点B作 的垂线并延长交y轴于点C，连结 ，则线段 的长是　     　，AC的最小值是　     　.  

三、解答题

17．（1）计算： ； 

（2）已知实数x满足 ，求x的值. 

18．一个不透明口袋里装有4个除颜色外其他完全相同的球，其中红球2个，黄球1个，白球1个.

（1）从中任取一个球，求摸到红球的概率；

（2）若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回，第二次再摸出1个球.用列表或画树状图写出所有可能性，并求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率.

19．如图，由边长为1的小正方形组成的 网格中， 顶点在网格上，点D在 边上，且 . 

（1） 长等于　     　.

（2）请你仅用无刻度的直尺在边 上找点E，使得 与 相似.（要求画出两种情形） 

20．如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东 方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东 方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁.（参考数据： ）  

（1）求B处距离小岛C的距离（精确到 海里）； 

（2）为安全起见，渔船在B处向东偏南转了 继续航行，通过计算说明船是否安全？ 

21．如图， 是 的直径， 是圆上两点，且有 ，连结 ，作 的延长线于点E.

（1）求证： 是 的切线；

（2）若 ，求阴影部分的面积.（结果保留 ）

22．如图，抛物线 经过点 ，将该抛物线平移后，点 到达点  的位置. 

（1）求平移后抛物线的解析式，并在同一平面直角坐标系中画出平移后的抛物线；

（2）过点B画平行于y轴的直线交原抛物线于点C，求线段 的长； 

（3）若平行于y轴的直线 与两条抛物线的交点是 ，当线段 的长度超过6时，求m的取值范围. 

23．如图1， 是等边三角形，D是 边上不与点A重合的一点，延长 到点E，使得 ，延长 到F使 ，连结 .

（1）若 ，求 和 的度数.

（2）如图2，取 的中点M，连结 ，求证： .

（3）在（2）的条件下，连结 ，判断 和 的位置关系和数量关系并说明理由.

24．【问题提出】如图1， 中，线段 的端点 分别在边 和 上，若位于 上方的两条线段 和 之积等于 下方的两条线段 和 之积，即 ，则称  是 的“友好分割”线段. 

（1）如图1，若 是 的“友好分割”线段，    ，求 的长； 

（2）【发现证明】如图2， 中，点F在 边上， 交 于D， 交 于E，连结 ，求证： 是 的“友好分割”线段； 

（3）【综合运用】如图3， 是 的“友好分割”线段，连结 并延长交 的延长线于F，过点A 画 交 的外接圆于点G，连结 ，设 .  

①求y关于x的函数表达式；

②连结 ，当 时，求 的值.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】B

6．【答案】B

7．【答案】A

8．【答案】C

9．【答案】D

10．【答案】C

11．【答案】六

12．【答案】

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】（ ，4）或（﹣ ，4）

16．【答案】8；4

17．【答案】（1）解：

=

=

=1；

（2）解：把方程 变形为： 

去括号得，

移项得，

合并得，

系数化为1得，

18．【答案】（1）解：∵不透明口袋里装有4个除颜色外其他完全相同的球，其中红球2个，黄球1个，白球1个，

∴从中任取一个球，求摸到红球的概率是 ；

（2）解：根据题意画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中刚好摸到一个红球和一个白球的情况数有4种，、

则刚好摸到一个红球和一个白球的概率是 .

19．【答案】（1）2

（2）解：如左图，画DE∥CA，△BDE即为所求；如右图，画 ，△BDE即为所求. 

20．【答案】（1）解：如图，过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，

由题意得，∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝14×2＝28海里，

∵∠CBD＝45°，

∴CM＝BM，

在Rt△CAM中，

∵tan∠ACM＝ ，

∴tan70°＝ ，

解得CM≈16，

在Rt△BCM中，

BC＝ CM＝16 ≈22.6（海里），

答：B处距离小岛C的距离约为22.6海里；

（2）解：在Rt△BCN中，∠CBN＝45°+25°＝70°，BC＝16 海里， 

∴CN＝BC•sin∠CBN

≈16 ×0.94

≈21.2（海里），

∵21.2＞20，

∴能安全通过，

答：能安全通过.

21．【答案】（1）证明：连接OD，
 

∵ ，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴AE∥OD，

∴∠E+∠ODE＝180°，

∵DE⊥AC，

∴∠E＝90°，

∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，

∵OD是圆O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ADE＝60°，∠E＝90°，

∴∠CAD＝90°﹣∠ADE＝30°，

∴∠DAB＝∠CAD＝30°，

∴AB＝2BD，

∵ ，

∴

∴BD＝2，BA＝4，

∴OD＝OB＝2，

∴△ODB是等边三角形，

∴∠DOB＝60°，

∴△ADB的面积＝ AD•DB

＝ ×2 ×2

＝2 ，

∵OA＝OB，

∴△DOB的面积＝ △ADB的面积＝ ，

∴阴影部分的面积为：

△ADB的面积+扇形DOB的面积﹣△DOB的面积

＝2 ﹣

＝ ，

∴阴影部分的面积为： .

22．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ x2+2x+c经过点A（0，3）， 

∴c＝3，

∴y＝ x2+2x+3＝ （x+2）2+1，

由题意可知，抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位，

∴平移后抛物线的解析式为y＝ （x+2﹣4）2+1﹣2，即y＝ （x﹣2）2﹣1，

如图

（2）解：把x＝4代入y＝ x2+2x+3得，y＝ ×16+2×4+3＝19， 

∴C（4，19），

∴BC＝19﹣1＝18；

（3）解：当 时，m=1； 

当 时，m=-2；，

由图象可知，当m＞1或m＜﹣2时，线段 的长度超过6.

23．【答案】（1）解：∵ 是等边三角形，

∴AB=AC，∠A=∠ACB=60°，

∴∠ECF=60°，

∴∠A=∠ECF，

∵ ，

∴AB=CF，

∵ ，

∴△ABD≌△CFE，

∴∠CFE=∠ABD=20°，

∴∠CEF=180°-∠CFE-∠ECF=100°；

（2）证明：如图，取EF的中点N，连接CN，

∵AM，CN分别是△ABD，△ECF的中线，△ABD≌△CFE，

∴AM=CN，

∵AC=CF，FN=EN，

∴AE=2CN，

∴AE=2AM；

（3）解：结论：AM⊥EM， ，理由如下：

如图，取AE的中点J，连接MJ，ME，

∵△ABD≌△CFE，

∴∠ABM=∠F，BD=EF，

∵BM=DM，FN=NE，

∴BM=FN，

∵BA=AC=FC，

∴△ABM≌△CFN，

∴∠BAM=∠FCN，

∵AC=CF，FN=EN，

∴CN∥AE，

∴∠FCN=∠FAE，

∴∠BAM=∠FAE，

∴∠MAE=∠BAC=60°，

∵AE=2AM，AJ=JE，

∴AM=AJ，

∴△MAJ是等边三角形，

∴MJ=AJ=JE，

∴∠MAE=∠AMJ，∠JEM=∠JME，

∴∠MAE+∠JEM=∠AMJ+∠JME，

∴∠AME=90°，

∴AM⊥ME，

∴ ，

∴ .

24．【答案】（1）解：设AE=x，

∵DE是△ABC的“友好分割”线段，

∴AD•AE=BD•EC.

∵AD=2CE，AB=8，

∴2EC•AE=（8-AD）•EC.

∴2x=8-2EC.

∴x=4-EC，

∴AE=4-EC.

∴AC=AE+EC=4.

（2）解：∵FD//AC，

∴ .

∵FE//AB，

∴

∴ .

∴AD•AE=BD•EC.

∴DE是△ABC的“友好分割”线段；

（3）解：①∵DE是△ABC的“友好分割”线段，

∴AD•AE=BD•EC.

∴ .

∵ ，

∴ .

过点C作CH//BD交DF于点H，如图，

∵CH//BD，

∴ .

∴ .

∴ .

∵ ，

∴ .

∴y=x2.

∴y关于x的函数表达式为：y=x2；

②连接DG，如图，

∵ ，

∴ .

∵x＞0，

∴ .

即 .

∵AG∥DE，

∴ .

∴AD=EG.

∴

∴ .

∴AE=DG，∠ADE=∠GED.

∴∠BDF=∠GEF.

∵ ，

∴∠GDE=∠AED.

∵∠AED=∠CEF，

∴∠GDE=∠CEF.

∴∠BDF+∠GDE=∠GEF+∠CEF.

即∠BDG=∠GEC.

∵DE是△ABC的“友好分割”线段，

∴AD•AE=BD•EC.

∴

∴ .

∴△BDG∽△GEC.

∴ .

∵EG=AD，

∴ .