浙江省宁波市慈溪市2021-2022学年高三数学上学期期末试卷（Word版附解析）

慈溪市2021~2022学年高三上学期期末测试

数学试卷

一､选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合交集的概念即可直接求出答案.

【详解】因为集合，，所以.

故选：D.

2. 已知复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】因为，则.

故选：B.

3. 已知直线，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】先根据两直线平行，解得的值，再利用充分条件、必要条件的定义求解.

【详解】直线，，

的充要条件是，解得

因此得到“”是“”的充分必要条件.

故答案为：C.

4. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部截取了一个内接长方体，进而根据体积公式求解体积即可.

【详解】解：根据题意，该几何体是一个圆柱内部截取了一个内接长方体，

其中圆柱底面半径为，高为，长方体的底面为的正方形，高为，

所以该几何体的体积为

故选：B

5. 若实数x，y满足约束条件则的最小值为（    ）

A. 5 B. 4 C. -5 D. -6

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意作出可行域，进而根据z的几何意义求出最小值.

【详解】如图所示，可行域为：

由z的几何意义可知，当直线过点B时取得最小值，联立，所以z的最小值为：.

故选：C.

6. 如图，在正四面体中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，则（    ）

A. 直线与垂直，直线平面

B. 直线与垂直，直线与平面相交

C 直线与异面且不垂直，直线平面

D. 直线与异面且不垂直，直线与平面相交

【答案】C

【解析】

【分析】将正四面体补成正方体，设，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.

【详解】将正四面体补成正方体，设，则，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、.

，，则，

结合图形可知，直线与异面且不垂直，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

因为，故，则，

平面，故平面，

故选：C.

7. 已知函数，，则部分图像为如图的函数可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求解与的奇偶性，进而判断出与非奇非偶函数，排除AB选项，再结合从正数趋向于0时，与的趋向的值，选出正确答案.

【详解】因为定义域为，，所以为奇函数，定义域为R，且，所以为偶函数，则与是非奇非偶函数，和为奇函数，当从正数趋向于0时，，C选项错误；当从正数趋向于0时，，符合题意.

故选：D

8. 设为三角形的一个内角，已知曲线，现给出以下七个曲线：（1）焦点在x轴上的椭圆，（2）焦点在y轴上的椭圆，（3）焦点在x轴上的双曲线，（4）焦点在y轴上的双曲线，（5）抛物线，（6）圆，（7）两条直线.其中是C可以表示的曲线有（    ）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

【答案】A

【解析】

【分析】对进行分类讨论，由此确定正确选项.

【详解】依题意，，

（i）时，曲线的方差为，，表示两条直线，（7）正确.

（ii）当时，，

，

①由于，所以，所以（6）错误.

②当时，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以（2）正确.

③当时，，所以曲线表示焦点在轴上的双曲线，所以（3）正确.

综上所述，正确的一共有个.

故选：A

9. 设，为梯形ABCD的两个内角，且满足：，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平方关系和商数关系得，得到，二倍角公式得到，再由两角差的正切公式得到的正切值，根据的范围可得答案.

【详解】因为，为梯形ABCD的两个内角，，

又，所以，

所以，

因为，所以，

，所以，

，

则，

，所以，，

所以，

所以，

故选：D.

10. 已知数列的前n项和为，，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】计算出，由已知得，即，所以，由累乘法可得再利用裂项相消求和可得答案.

【详解】由，，

得，

所以，，

所以，即，

所以，

所以，

所以，

，

故，，

所以.

故选：A

二､填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11. 我国古代数学著作《九章算术.商功》阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”彆臑是一类特殊的三棱锥，它的四个面都是直角三角形.如图，已知三棱锥是一个鳖臑，且平面ABC，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题设易知，结合已知条件即可求的长度.

【详解】由题设，△、△、△、△均为直角三角形，

又，

∴，，则，

∴.

故答案为：.

12. 已知，函数若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由分段函数解析式可得，则即可求参数a.

【详解】由解析式可得：，

∴，可得.

故答案为：.

13. 若，则___________，且___________.

【答案】    ①. 1    ②. 61

【解析】

【分析】根据二项式定理写出与展开式，从而可求出答案.

【详解】因为，

，

所以，.

故答案为：；.

14. 在中，，，，点D在边AC上，且，设R是外接圆的半径，则___________，___________.

【答案】    ①. 3    ②.

【解析】

【分析】利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得外接圆的半径.

【详解】在中，，，

利用余弦定理知

所以为直角三角形，

在直角中，，，

在中利用正弦定理知，，即

故答案为：3，

15. 甲乙两个袋子中分别装有若干个大小和质地相同的红球和绿球，且甲乙两个袋子中的球的个数之比为1：3，已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率为p.若从甲袋中有放回的摸球，每次摸出一个，直至第2次摸到红球即停止，恰好摸4次停止的概率为___________；若将甲､乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，则p的值为___________.

【答案】    ①     ②.

【解析】

【分析】（1）从甲袋中有放回摸球，每次摸出红球概率不变，可以看成独立事件；

（2）把甲乙两袋球混合后，重新计算袋中红球个数和袋中球的总数是问题关键.

【详解】（1）从甲袋中有放回的摸球，每次摸出一个红球的概率都是.

则从甲袋中有放回的摸球，每次摸出一个，直至第2次摸到红球即停止，恰好摸4次停止，说明前三次恰好只摸到一次红球，且第四次摸到红球.

则其概率为；

（2）设甲乙两个袋子中的球的个数分别为a、3a，则甲袋子中有个红球，乙袋子中有个红球. 将甲乙两个袋子中的球装在一起后，袋中共有4a个球，其中有个红球.

则有 ，解之得，

故答案为：（1）；（2）

16. 已知椭圆的左焦点为F，过原点和F分别作倾斜角为的两条直线，，设与椭圆C相交于A､B两点，与椭圆C相交于M､N两点，那么，当时，___________；当时，___________.

【答案】    ①.     ②. 4

【解析】

【分析】①已知直线和圆锥曲线，联立方程消未知数y，得到关于x的一元二次方程，再利用相交弦公式，可以计算弦长；

②分别求出相交弦长，再计算.

【详解】

， ，焦点在x轴上

椭圆的左焦点为

①当 时，

直线 方程为

②当 时，

求 ：

求 ：

故答案为：① ；②4.

17. 已知平面向量，，，其中，是单位向量且满足，，若，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件将向量代入整理可得关于x、y的二元二次方程，然后通过换元，利用方程有解可得.

【详解】

又，是单位向量且

上式

令，代入上式整理得：

关于x的方程有实数解

整理得：，解得

故答案为：.

三､解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

18. 设函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦的二倍角公式、辅助角公式可得答案；

（2）令，则，则配方后可得答案.

【小问1详解】

因为，

所以.

【小问2详解】

因为

令，

则，且

所以

故所求函数的取值范围为.

19. 如图，在三棱锥中，，，，点M在线段BC上，且.

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取AB中点为Q，连接QP、QM，可得，在中由已知条件可得，即有，根据线面垂直的判定定理可得平面PQM，再由性质定理可得答案；

（2）由线面垂直的判定定理可得平面ABC及，过Q作，由线面垂直的判定定理可得平面PQN，及，所以是二面角的平面角，在中计算可得答案.

【小问1详解】

取AB中点为Q，连接QP、QM，

因为，所以，

在中，，，，所以，

因此，于，即，

又，所以平面PQM，因此.

【小问2详解】

在中，，，，

所以，即，

又，，所以平面ABC，

平面ABC，所以，

过Q作，垂足N，连PN，，

得平面PQN，平面PQN，所以，

所以是二面角的平面角，在中，，，，所以.

20. 已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，设数列的前n项和为，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据求解的通项公式；（2）先求解的通项公式，然后利用错位相减法求出的前n项和，再求出数列的前n项和.

【小问1详解】

由题意知

所以

即,又，

所以是等比数列，，经检验，符合要求.

【小问2详解】

设的前n项和为，又，

则

于是

当时，，此时；

当时，，此时

故.

21. 已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，.

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：；

（3）当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）根据焦点坐标求出，进而求出抛物线方程；（2）表示出点M的坐标，代入抛物线方程后得到关于的等量关系，同理求出关于的等量关系，用韦达定理证明出结论；（3）在第二问的基础上，表达出面积，并求出取值范围.

【小问1详解】

因为，所以，所以抛物线的方程为；

【小问2详解】

由知，点M的坐标为

又点M在抛物线上，所以，

结合整理得：

同理，可得

所以､是关于y的方程的两个不相等的根

故；

【小问3详解】

由（2）知､是方程的两个不相等的实根

又，所以

所以，，设AB的中点为Q，

则，

于是

故的面积的取值范围为.

【点睛】抛物线的综合题目，往往会设出抛物线上的点的坐标，利用条件得到方程组，再把两个点的坐标看成一个方程的两个根，利用韦达定理进行求解，这也是与椭圆和双曲线不同的地方.

22. 设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于x的方程有两个不相等的实数根､，当时，证明：.（注：…是自然对数的底数）

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求定义域，再求导函数，利用导函数的正负求解的单调区间；（2）结合第一问，利用放缩法和分析法及函数的单调性进行证明.

【小问1详解】

函数的定义域为，因为

令，所以；，所以

所以的单调递减区间为，单调递增区间为；

【小问2详解】

由（1）知，，当时，，

于是，所以，要证：只要证：，

又在上单调递增

即证：即证：

由题意知，而，所以原命题得证.

【点睛】导函数处理多元不等式证明问题，要选择合适的方法，就本题需要先研究两个变量的大小关系，然后利用放缩法，结合函数的单调性进行证明.