湖南省张家界市2021-2022学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

张家界市2021年普通高中一年级第一学期期末联考

数学试卷

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由交集的定义计算．

【详解】由已知．

故选：C．

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得，即得.

【详解】∵，

∴，解得，且，

所以函数的定义域为.

故选：D.

3. 下列函数中在上是增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数，二次函数，余弦函数的性质判断即可.

【详解】因为底数大于1的指数函数为上的增函数，所以函数为上是增函数，A对，

函数在上为减函数，B错，

函数在上为减函数，C错，

函数在上为减函数，D错，

故选：A.

4. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据命题的否定的定义判断．

【详解】全称命题的否定是特称命题．

因此命题“”的否定是：．

故选：C．

5. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先判断能否推出，再判断能否推出，由此确定正确选项.

【详解】当时，，，所以，

又能推出，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

6. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数的单调性，指数函数的单调性，求解即可.

【详解】因为，，

所以．

故选：A

7. 已知扇形的周长为4，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【详解】设半径
弧长
扇形面积

对称轴是
时，面积有最大值
半径
弧长
扇形的中心角的弧度数 .

8. 已知函数的定义域为，，当时，有，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，由题可得，即求.

【详解】∵当时，有，

∴，即，

令，则当时，，

∴函数在上单调递减，

由，知，可得，

又，所以，

∴，

∴，解得.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.

【详解】由不等式性质知若，则，即，A对，

取，则，，，B错，

因为，所以，所以(当且仅当时等号成立)，而，故，C对，

因为，所以，，所以，D对，

故选：ACD.

10. 已知幂函数图象过点，则下列命题中正确的有（    ）

A.  B. 函数的定义域为

C. 函数为偶函数 D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】由题可得，利用函数的性质逐项判断即得.

【详解】∵幂函数图象过点，

∴，即，

∴，故A正确；

又函数的定义域为，故B错误；

函数为非奇非偶函数，故C错误；

当时，，故D正确.

故选：AD.

11. 若下列各式左右两边均有意义，则其中恒成立的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

分析】根据三角函数恒等变换公式逐个选项加以判断.

【详解】，A对，

，B错，

，C对，

，D对，

故选：ACD.

12. 高斯是德国著名的数学家，人们称他为“数学王子”，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数（例如：，），则称为高斯函数．已知函数，，下列结论中不正确的是（    ）

A. 函数是周期函数

B. 函数的图象关于直线对称

C. 函数的值域是

D. 函数只有一个零点

【答案】AB

【解析】

【分析】由题可知函数为偶函数，结合条件可得，然后逐项判断即得.

【详解】∵，

∴，

∴函数为偶函数，不是周期函数，是周期函数，

对于，当时，，当时，，

∴，

由函数为偶函数，函数是偶函数，时函数成周期性，但起点为，所以函数不是周期函数，故选项A不正确；

由函数是偶函数，函数的图象关于对称，由，，故函数的图象不关于对称，故B不正确；

由上可知函数的值域是，故C正确；

由可得，，当时，，，当时，，，当时，，，故直线与的图象只有一个交点，即函数只有一个零点，故D正确.

故选：AB.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦函数的性质分析函数的图象和性质，进而利用高斯函数的定义可得函数的性质即得.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则______．

【答案】1

【解析】

【分析】由分段函数定义行计算出和，然后可得结论．

【详解】由题意，，

所以．

故答案为：1．

14. 已知，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

15. 已知函数的部分图象如图所示，则______，______．

【答案】    ①. 2    ②.

【解析】

【分析】根据函数图象，由，求得周期，进而得到，再根据点可求，即得.

【详解】由图象知：，

所以，则，

所以，

因为点在图象上，利用“五点法”可得，

，又，

所以， ，

所以.

故答案为：2；.

16. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）

参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155

【答案】5

【解析】

【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.

【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,

x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL，

由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，

所以，两边取对数得， ，

，

所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.

故答案为：5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，（）．

（1）当时，求和；

（2）是否存在实数，使得集合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），=或   

（2）存在，

【解析】

【分析】(1)代入，根据集合的运算律求解，(2)假设存在实数，使得集合，列方程求实数，由此可得结果.

【小问1详解】

当时，， 

 ∵   ∴

    =或

（注：结果正确，用区间表示同样给分．）

【小问2详解】

假设存在实数满足条件，

 ∵ ，由，有

 由，则

 解得：

 故存在，使得集合 ．

18. 在①，② 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．

已知为第二象限角，_____________．

（1）求和的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用同角关系式及三角函数在各象限的符号即求；

（2）利用两角和公式展开即求.

【小问1详解】

选择①，

法一：联立与，

解得：或，

∵ 为第二象限的角，

∴ ；

法二：由及已知得：，

 ∵ 为第二象限的角，

∴ ，，

 联立，

得：；

选择②，

联立与，

解得：

∵ 为第二象限的角，

∴ ；

【小问2详解】

∵，

∴．

19. 设函数，且．

（1）求a的值，并求函数的定义域；

（2）用单调性的定义证明：函数在区间上单调递减．

【答案】（1）a=2，；   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)由函数值求参数，通过真数大于零求得函数定义域；

(2)通过函数单调性定义证明函数的单调性.

【小问1详解】

由，得：  ∴

 解，得：  ∴ 的定义域为 ；

【小问2详解】

设（），则

 ∵   ∴   ∴

 ∴ 即

 ∴ =在区间上单调递减．

20. 已知关于x的不等式的解集为．

（1）求的值；

（2）解关于x的不等式：．

【答案】（1）   

（2）答案不唯一，详见解析

【解析】

【分析】(1)由韦达定理求参数；

(2)求解含参数的一元二次不等式，讨论参数.

【小问1详解】

∵ 关于x的不等式的解集为

 ∴ －1，2为方程的两个根  ∴

 解得： ；

【小问2详解】

由（1）知，不等式即为

 ∵ 方程的两根为

 ① 当时，有；

 ② 当时，；

 ③ 当时，有.

 综上所述，当时，原不等式的解集为；

           当时，原不等式的解集为；

           当时，原不等式的解集为．

21. 已知函数．

（1）求函数的最小正周期，并求的单调递减区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；

（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值．

【答案】（1），；   

（2）；   

（3）5，.

【解析】

【分析】（1）利用正弦函数的性质即得；

（2）根据三角函数的图象变换得到，再结合正弦函数的图象性质求解值域即可；

（3）结合三角函数图象，画图分析的位置，再根据对称性的性质结论求解即可.

【小问1详解】

∵，

∴，

由得：，

 ∴ 的单调递减区间为 ；

【小问2详解】

将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图像，

当时，，

当时，函数取得最小值，最小值为，

当时，函数取得最大值，最大值为，

故函数的值域.

【小问3详解】

由方程，得，即，

因为，可得，

设，其中，即，

结合函数的图像，

可得方程在区间有5个解，即，

其中，

即，

解得，

所以.

22. 已知函数为奇函数．

（1）求实数k的值；

（2）若对，不等式恒成立，求实数m的最大值；

（3）若函数在有零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）1    （2）26   

（3）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的性质求得参数值，然后检验函数是否满足题意即得；

（2）用分离参数变形不等式，转化为求函数的最值，得参数范围；

（3）用换元法，设，由函数单调性求得范围，问题转化为关于的函数有零点，分离参数后求函数值域即得．

【小问1详解】

因为是奇函数，

所以，解得：， 

 此时符合题意 ；

【小问2详解】

原问题即为，即恒成立，

 则

 设，∵ ∴ ，

 则

 ∵   ∴ 当时，y取得最小值26，

 要使不等式在上恒成立，则，

 即实数m的最大值为 ；

【小问3详解】

 则，

 设，当时，函数为增函数，则

 若在有零点，

 则函数在上有零点，

 即，即，

 ∵ ，当且仅当时取等号

 ∴ ，即的取值范围是.