【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-7 不等式（组）及不等式的应用

第七讲 不等式（组）及不等式的应用

【命题点1  不等式的性质】

1．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）

A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n

2．（2022•杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（　　）

A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d

3．（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 　      　．

【命题点2 一元一次不等式（组）的解法】

类型一 不等式（组）的解法及解集表示

4．（2022•大连）不等式4x＜3x+2的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2

5．（2022•山西）不等式组的解集是（　　）

A．x≥1 B．x＜2 C．1≤x＜2 D．x＜

6．（2022•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． 

C． D．

7．（2022•安徽）不等式≥1的解集为 　　．

8．（2022•攀枝花）解不等式：（x﹣3）＜﹣2x．

9．（2022•宜昌）解不等式≥+1，并在数轴上表示解集．

．

10．（2022•广东）解不等式组：．

11．（2022•烟台）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．

12.（2022•毕节市）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

类型二  不等（组）的特殊解

13．（2022•河北）整式3（﹣m）的值为P．

（1）当m＝2时，求P的值；

（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．

【命题点3  含参不等式（组）问题】

14．（2022•聊城）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（　　）

A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8

15．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 　    　．

16．（2022•绥化）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为 　   　．

17．（2022•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜2，则a的取值范围是 　      ．

18．（2022•荆门）已知关于x的不等式组（a＞﹣1）．

（1）当a＝时，解此不等式组；

（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．

【命题点4  不等式的实际应用】

19．（2022•山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 　  　元．

【命题点5 方程与不等式结合的实际应用】

20．（2022•郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．

（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？

（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？

21．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．

（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？

（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？

22．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．

（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；

（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？

23．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：

学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．

（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？

（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？

（3）学校租车总费用最少是多少元？

24．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：

请解答下列问题：

（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？

（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？

答案与解析

【命题点1  不等式的性质】

1．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）

A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n

【答案】D

【解答】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；

B、﹣mn，∴不符合题意；

C、m﹣n＞0，∴不符合题意；

D、∵m＞n，

∴﹣2m＜﹣2n，

∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意；

故选：D．

2．（2022•杭州）已知a，b，c，d是实数，若a＞b，c＝d，则（　　）

A．a+c＞b+d B．a+b＞c+d C．a+c＞b﹣d D．a+b＞c﹣d

【答案】A

【解答】解：A选项，∵a＞b，c＝d，

∴a+c＞b+d，故该选项符合题意；

B选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝3时，a+b＜c+d，故该选项不符合题意；

C选项，当a＝2，b＝1，c＝d＝﹣3时，a+c＜b﹣d，故该选项不符合题意；

D选项，当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝d＝3时，a+b＜c﹣d，故该选项不符合题意；

故选：A．

3．（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 　      　．

【答案】b＜c＜a．

【解答】解：解法1：令m＝1，n＝0，

则a＝2，b＝0，c＝1．

∵0＜1＜2．

∴b＜c＜a．

解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；

∴c＜a；

∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；

∴b＜c；

∴b＜c＜a．

【命题点2 一元一次不等式（组）的解法】

类型一 不等式（组）的解法及解集表示

4．（2022•大连）不等式4x＜3x+2的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2

【答案】D

【解答】解：4x＜3x+2，

移项，得x＜2．

故选：D．

5．（2022•山西）不等式组的解集是（　　）

A．x≥1 B．x＜2 C．1≤x＜2 D．x＜

【答案】C

【解答】解：解不等式2x+1≥3，得：x≥1，

解不等式4x﹣1＜7，得：x＜2，

则不等式组的解集为1≤x＜2，

故选：C．

6．（2022•梧州）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解答】解：

所以不等式组的解集为﹣1＜x＜2，

在数轴上表示为：

，

故选：C．

7．（2022•安徽）不等式≥1的解集为 　　．

【答案】x≥5

【解答】解：≥1，

x﹣3≥2，

x≥3+2，

x≥5．

故答案为：x≥5．

8．（2022•攀枝花）解不等式：（x﹣3）＜﹣2x．

【解答】解：（x﹣3）＜﹣2x，

去分母，得3（x﹣3）＜2﹣12x，

去括号，得3x﹣9＜2﹣12x，

移项、合并同类项，得15x＜11．

化系数为1，得x＜．

9．（2022•宜昌）解不等式≥+1，并在数轴上表示解集．

【解答】解：去分母得：2（x﹣1）≥3（x﹣3）+6，

去括号得：2x﹣2≥3x﹣9+6，

移项得：2x﹣3x≥﹣9+6+2，

合并同类项得：﹣x≥﹣1，

系数化为1得：x≤1．

．

10．（2022•广东）解不等式组：．

【解答】解：，

由①得：x＞1，

由②得：x＜2，

∴不等式组的解集为1＜x＜2．

11．（2022•烟台）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．

【解答】解：，

由①得：x≥1，

由②得：x＜4，

∴不等式组的解集为：1≤x＜4，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

12.（2022•毕节市）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【解答】解：，

解不等式①得：x≥﹣1，

解不等式②得：x＜2，

∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，

该不等式组的解集在数轴上表示为：

类型二  不等（组）的特殊解

13．（2022•河北）整式3（﹣m）的值为P．

（1）当m＝2时，求P的值；

（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．

【解答】解：（1）根据题意得，P＝3（﹣2）＝3×（﹣）＝﹣5；

（2）由数轴知，P≤7，

即3（﹣m）≤7，

解得m≥﹣2，

∵m为负整数，

∴m＝﹣1．﹣2

【命题点3  含参不等式（组）问题】

14．（2022•聊城）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（　　）

A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8

【答案】A

【解答】解：把两个方程相减，可得x+y＝k﹣3，

根据题意得：k﹣3≥5，

解得：k≥8．

所以k的取值范围是k≥8．

故选：A．

15．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 　    　．

【答案】0＜≤

【解答】解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，

解不等式﹣3＜2﹣x，得：x＜2，

∵不等式组无解，

∴m﹣3≥2，

∴m≥5，

∴0＜≤，

故答案为：0＜≤．

16．（2022•绥化）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为 　   　．

【答案】m≤2

【解答】解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，

∵不等式组的解集为x＞2，

∴m≤2，

故答案为：m≤2．

17．（2022•黑龙江）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜2，则a的取值范围是 　      ．

【答案】a≥2　

【解答】解：不等式组整理得：，

∵不等式组的解集为x＜2，

∴a≥2．

故答案为：a≥2．

18．（2022•荆门）已知关于x的不等式组（a＞﹣1）．

（1）当a＝时，解此不等式组；

（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a＝时，不等式组化为：，

解得：﹣2＜x＜4；

（2）解不等式组得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3，

令b＝﹣2a﹣1，c＝2a+3，（a＞﹣1）

如图所示：

当a＝0时．x只有一个奇数解1，不合题意；

当a＝1，x有奇数解1，﹣1，3，符合题意；

∵不等式组的解集中恰含三个奇数，

∴0＜a≤1．

【命题点4  不等式的实际应用】

19．（2022•山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 　  　元．

【答案】32

【解答】解：设该护眼灯可降价x元，

根据题意，得，

解得x≤32，

故答案为：32．

【命题点5 方程与不等式结合的实际应用】

20．（2022•郴州）为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．

（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？

（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？

【解答】解：（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，

依题意得：，

解得：．

答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．

（2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥（10﹣m）吨，

依题意得：600m+500（10﹣m）≤5600，

解得：m≤6．

答：小姣最多能购买甲种有机肥6吨．

21．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．

（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？

（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？

【解答】解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，

依题意得：，

解得：．

答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．

（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，

依题意得：，

解得：20≤m≤30．

设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．

∵﹣10＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．

答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．

22．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．

（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；

（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？

【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，

由题意可得：，

解得，

答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；

（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，

∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，

∴，

解得30≤x≤33，

∵x为整数，

∴x的值可为30，31，32，33，

∴共有四种购买方案，

方案一：采购篮球30个，采购足球20个；

方案二：采购篮球31个，采购足球19个；

方案三：采购篮球32个，采购足球18个；

方案四：采购篮球33个，采购足球17个．

23．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：

学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．

（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？

（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？

（3）学校租车总费用最少是多少元？

【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，

根据题意得：30x+7＝31x﹣1，

解得x＝8，

∴30x+7＝30×8+7＝247，

答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；

（2）师生总数为247+8＝255（人），

∵每位老师负责一辆车的组织工作，

∴一共租8辆车，

设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，

根据题意得：，

解得3≤m≤5.5，

∵m为整数，

∴m可取3、4、5，

∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；

（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，

由（2）知：3≤m≤5.5，

设学校租车总费用是w元，

w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，

∵80＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），

答：学校租车总费用最少是2800元．

24．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：

请解答下列问题：

（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？

（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？

【解答】解：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，

依题意得：，

解得：，

∴（6﹣5）x+（8﹣6）y＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）．

答：这两种水果获得的总利润为500元．

（2）设购进mkg菠萝，则购进kg苹果，

依题意得：，

解得：88≤m＜100．

又∵m，均为正整数，

∴m可以为88，94，

∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，

方案1：购进88kg菠萝，210kg苹果；

方案2：购进94kg菠萝，205kg苹果．