3.5利用导数证明不等式（精练）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.5  利用导数证明不等式

【题型解读】

【题型一　构造单函数证明不等式】

1.（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数g(x)＝x3＋ax2.

(1)若函数g(x)在[1,3]上为单调函数，求a的取值范围；

(2)已知a>－1，x>0，求证：g(x)>x2ln x.

2．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．

(1)求a，b的值；

(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.

【题型二　构造双函数比较最值证明不等式】

1.（2022·山东青岛高三期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求、的值；

（2）证明：当，且时，．

2．（2022·天津市南开中学月考）已知函数f(x)＝(m∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当m＝0时，证明：∀x＞0，ex2(1＋ln x)＋＞f(x)－xf(1)．

【题型三　放缩法证明不等式】

1.（2022·河南高三期末）已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax．

(1)试讨论f(x)的单调性；

(2)若a＝1，求证：当x>0时，f(x)<e2x－x2－2．

2．（2022·广东·高三期末）已知函数f(x)＝aex－lnx－1．

(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a的值并求f(x)的单调区间；

(2)求证：当a＝时，f(x)≥0．

【题型四　双变量不等式证明】

1.（2022·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知函数f(x)＝＋ln x．

(1)若函数f(x)在内有极值，求实数a的取值范围；

(2)在(1)的条件下，对任意t∈(1，＋∞)，s∈(0，1)，求证：f(t)－f(s)>e＋2－．

2.（2022·全国高三课时练习）已知函数f(x)＝x2－x＋alnx(a>0)．

(1)若a＝1，求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)>．

3. （2022·全国高三课时练习）已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)当，,为两个不相等的正数，证明：．

【题型五　数列不等式证明】

1.（2022·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数f(x)＝ln(1＋x)．

(1)求证：当x∈(0，＋∞)时，<f(x)<x；

(2)已知e为自然对数的底数，求证：∀n∈N*，<·…·<e．

2. （2022·江苏·昆山柏庐高级中学期末）已知函数，其中．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明：；

(3)求证：对任意的且，都有：．(其中为自然对数的底数)．