2021-2022学年河北省邯郸市高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年河北省邯郸市高三（上）期末数学试卷

1.     设集合，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知复数其中i为虚数单位，则其共轭复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3.     已知，，，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     已知圆柱的底面半径为2，母线长为6，过底面圆周上一点作与圆柱底面成角的平面，截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的长轴长是(    )

A.  B.  C.  D.

5.     函数的部分图像为(    )

A.  B.
C.  D.

6.     已知直线l：与x轴，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆O：相切，则的面积的最小值为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7.     已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，A，B是双曲线右支上两点，且，设的内切圆圆心为，的内切圆圆心为，直线与线段交于点P，且，则双曲线C的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.     已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是(    )
    

A.
B. 得分在的人数为4人
C. 200名党员员工测试分数的众数约为
D. 据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85

10. 已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 函数最大值为1
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图像关于直线对称
D. 函数的图像向右平移个单位可以得到函数的图像

11. 已知A，B是抛物线C：上两点，焦点为F，抛物线上存在一点到准线的距离为4，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 若，则直线AB恒过定点
C. 若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆半径为
D. 若，则直线AB的斜率为

12. 数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，…．若数列第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列，则下列说法正确的是(    )

A. 数列的第四项为111221 B. 数列中每项个位上的数字不都是1
C. 数列是等差数列 D. 数列前10项的和为160

13. 已知平面向量，，若与垂直，则__________.
14. 2021年7月下旬河南省多地遭遇了暴雨洪涝灾害，社会各界众志成城支援河南，邯郸市某单位组织4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三个城市运送物资，则每个城市都至少安排一辆救援车的概率为__________.
15. 设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于，则球O的体积为__________.
16. 已知当时，不等式的解集为A，若函数在上只有一个极值点，则的取值范围为__________.
17. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
    求b的值；
    若，求面积的最大值．
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD中，四边形ABCD是正方形，点E在棱SD上，
    证明：；
    若正方形ABCD的边长为1，二面角的大小为，求四棱锥的体积．

19. 已知正项数列的前n项和为，且，
    求数列的通项公式；
    若数列满足，求数列的前n项和
20. 某真人闯关游戏，在某一情境中玩家需在A、B两个关卡中寻找线索，玩家先从A、B两个关卡中任选一关作为第一关，若找到线索则进入另一关卡，若未找到线索则闯关结束，且玩家先选A和先选B的概率相等．若玩家在A闯关成功则获得2枚金币，否则获得0枚金币；在B关闯关成功则获得3枚金币，否则获得0枚金币．已知某玩家在A关卡中闯关成功的概率为，在B关卡中闯关成功的概率为，且每个关卡闯关成功的概率与选择初始关卡的次序无关．
    求该玩家获得3枚金币的概率；
    为获得更多的金币，该玩家应选择从哪关开始第一关？并说明理由．
21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足记点M的轨迹为曲线
    求曲线C的方程；
    设直线l不经过点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点，证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值．
22. 已知函数
    讨论函数的单调性；
    若恒成立，求实数a的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

求出集合B的补集，再由交集运算求解即可．
本题主要考查集合的交集与补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．

【解答】

解：集合，，
则，
又，
则
故选：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数和复数虚部的定义，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数和复数虚部的定义，即可求解．

【解答】

解：，
，
共轭复数的虚部为
故选：

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查对数函数的公式，以及指数函数的单调性，属于基础题．
根据已知条件，结合对数函数的公式，以及指数函数的单调性，即可求解．

【解答】

解：，
， 在R上单调递减，
，
，，

故选

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了二面角的平面角、圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点圆柱的底面中心为O，则，可得，可求得结果．

【解答】

解：如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点，圆柱的底面中心为O，
则，，
可得，
该椭圆的长轴长为：
故本题选
 

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：函数的性质，函数的单调性，奇偶性和函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用函数的性质函数的单调性，奇偶性和函数值的应用判断A、B、C、D的结论．

【解答】

解：根据函数，满足故函数为偶函数，故C错误；
当时，，当时，，故B错误；
当时，，故A错误；
当时，，故D正确．
故选：

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查点到直线的距离公式，以及基本不等式的公式，属于基础题．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解．

【解答】

解：圆O：，
圆心坐标为，半径，
直线l：与圆O：相切，
圆心到直线l的距离为r，即，即，
又，当且仅当时，等号成立，
，即，
，又，，
，解得，当且仅当时，等号成立，
则的面积为，当且仅当时，等号成立，
故的面积的最小值为
故本题选

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查双曲线的性质，双曲线的定义，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
由内心的性质及角平分线性质可求得，由双曲线的定义可求得，，从而可得，，，由勾股定理的逆定理可得，再利用勾股定理可得a，c的等量关系，即可求解离心率

【解答】

解：如图所示，
由题意知为的角平分线，由角平分线的性质得，
因为，所以，
由双曲线的定义得，因此，，
因为，所以，，由双曲线的定义得，
由勾股定理逆定理可得，
在中，，
即，所以，
故选
 

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数的图象和运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力和推理能力，属于难题．
作出的函数图象，由不等式表示的几何意义，即曲线上只有一个点为整数和点所在直线的斜率小于0，结合图象可得所求整数a的取值集合．

【解答】

解：令，
作出的函数图象如图所示：

表示点与点所在直线的斜率，
可得曲线上只有一个点为整数和点所在直线的斜率小于0，
而点在到直线上运动，
由，，，
可得当时，只有点满足；
当时，只有点满足
又a为整数，可得a的取值集合为
故选：

9.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
对于A，结合频率分布直方图的性质，即可求解，对于B，结合频率与频数的关系，即可求解，对于C，结合众数的定义，即可求解，对于D，结合中位数的公式，即可求解．

【解答】

解：对于A，由频率分布直方图的性质可得，
，解得，故A正确，
对于B，得分在的人数为，故B错误，
对于C，200党员员工测试分数的众数约为，故C正确，
对于D，，
估计200名党员员工测试分数的中位数为85，故D正确．
故选：

10.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图像和性质，考查了函数思想的应用，属于一般题．
由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，再利用正弦函数的图像和性质即可求解．

【解答】

解：因为，
所以，
当时，函数取得最大值1，故A正确；
令，当，所以，
又在区间上不是单调函数，故B错误；
当时，，函数的图像不关于直线对称，故C错误；
函数的图像向右平移个单位得到函数，故D正确．
故选

11.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
对于A，结合抛物线的定义即可求解；对于B，联立直线AB与抛物线方程，结合韦达定理，以及斜率公式，即可求解；对于C，结合外接圆的性质即可求解；对于D，根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及韦达定理，即可求解．

【解答】

解：对于A，根据抛物线定义可知，，解得，故A正确；
对于B，设，，
直线AB斜率必不为0，
可设直线AB：，
联立直线AB与抛物线方程，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，，
，
，解得，
直线AB恒过定点，故B正确；
对于C，外接圆圆心横坐标为，
外接圆与抛物线C的准线相切，
外接圆半径为，故C正确；
对于D，，
过焦点，且，
可设直线AB：，，，
联立直线AB与抛物线方程得，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，，，
解得，
故直线AB的斜率为，故D错误．
故本题选

12.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查数列的新定义及数列求和，考查学生的分析能力及运算能力，属于中档题．
A项列举前四项可得答案；B项根据数列中最后读的数字是1可得答案；C项列举前四项可得答案；D项列举可得数列中数的规律，进而可求和．

【解答】

解：，，，，故A正确；
数列中最后读的数字总是1，故数列中每项个位上的数字都是1，故B错误；
数列：11，21，11，21，…，不是等差数列，故C错误；
通过列举发现数列的第一，三，五，七，九项都为11，第二，四，六，八，十项为21，故前10项的和为，故D正确．
故本题选

13.【答案】4 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的求法与应用，向量垂直关系的应用，是基础题．
求出与的坐标表示，利用垂直关系，求解即可．

【解答】

解：平面向量，，
可得，，
由与垂直，
可得：，
解得
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型的实际应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
分别求出运送物资的送法，再根据古典概型的概率公式即可求解．

【解答】

解：4辆救援车随机前往河南省的A，B，C三个城市运送物资共有种送法，
而每个城市都至少安排一辆救援车的送法共有种，
所以每个城市都至少安排一辆救援车的概率为，
故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查球的相关计算，属于基础题．
根据题意建立勾股关系求出球半径即可得出．

【解答】

解：设圆C的半径为r，则，解得，
设球O的半径为R，
则，，，
在中，，即，即，
所以球O的体积为
故答案为
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数极值问题，属于中档题．
先解不等式确定集合A，再由正弦函数的性质即可求解．

【解答】

解：因为，所以
则，所以；
又因为，所以，，，则，，所以，
当时，因为，所以
当时，因为，所以
所以的取值范围为，
故答案为

17.【答案】解：因为，
所以，即，
由正弦定理知，，
因为，
所以，
又，所以，即
由余弦定理知，，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以面积，
故面积的最大值为 

【解析】结合诱导公式、正弦定理与两角和的正弦公式对已知条件进行化简可得，从而得解；
结合余弦定理和基本不等式，推出，再由，得解．
本题主要考查解三角形，还涉及利用基本不等式求最值，熟练掌握正弦定理，余弦定理，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：因为四边形ABCD是正方形，则，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，AD，平面SAD，
所以平面SAD，
又因为平面SAD，
所以
解：过点E作，垂足为点M，过点M作，垂足为点N，连接EN，
由题意可知，因此平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为，，EM，平面EMN，所以平面EMN，
因为平面EMN，所以，又因为，平面EAC，平面ACD，平面平面，
所以是二面角的平面角，所以，
因为，与相似，相似比为2：3，
所以，
所以，
所以四棱锥的体积为 

【解析】本题考查棱锥的体积，二面角的应用，直线与平面垂直的判定与性质，属于中档题．
证明，，即可证明平面SAD，得到；
过点E作，垂足为点M，过点M作，垂足为点N，连接EN，说明是二面角的平面角，然后求解SA，即可求解四棱锥的体积．
 

19.【答案】解：，①
当时，，，
当时，有，②
，
，
，，
数列的奇数项是以1为首项，6为公差的等差数列，，
偶数项是以4为首项，6为公差的等差数列，，
又，
则数列是是以1为首项，3为公差的等差数列，
，
，
，
，
两式相减得：
，
故 

【解析】本题考查等差数列的通项公式、错位相减法求和，属于中档题．
利用递推关系可得，即，再利用等差数列的定义及通项公式即可求出数列的通项公式；
由题意可知：，再利用错位相减法即可得出所求的答案．
 

20.【答案】解：该玩家获得3枚金币的概率为：

①记X为从A关卡开始第一关获得的金币枚数，
则X所有可能的取值为0，2，5，
，
，
，

②记Y为从B关卡开始第一关获得的金币枚数，
则Y所有可能的取值为0，3，5，
，
，
，

，
该玩家应从A关卡开始第一关． 

【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量数学期望的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
利用相互独立事件概率乘法公式能求出该玩家获得3枚金币的概率．
①记X为从A关卡开始第一关获得的金币枚数，则X所有可能的取值为0，2，5，分别求出相应的概率，求出；②记Y为从B关卡开始第一关获得的金币枚数，则Y所有可能的取值为0，3，5，分别求出相应的概率，求出由，得到该玩家应从A关卡开始第一关．
 

21.【答案】解：由椭圆定义可知，点M的轨迹为椭圆，
设椭圆方程为，
根据题意得，，，，
所以曲线C的方程为
证明：设直线PA与直线PB的斜率分别为，，，，
当直线l斜率不存在时，l：，代入椭圆方程中，化简可得，
不妨令，，则
当直线l斜率存在时，设直线l方程为，
将直线l的方程代入椭圆方程中，
化简得，
由，得或，
，，
则
，
因为或且，
所以，
综上，直线PA与直线PB的斜率之和为定值 

【解析】本题考查椭圆的定义的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系综合应用及定值问题，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
判断点M的轨迹为椭圆，设椭圆方程为，求解a，b，推出结果．
设直线PA与直线PB的斜率分别为，，，，当直线l斜率不存在时，l：，验证当直线l斜率存在时，设直线l方程为，将直线l的方程代入椭圆方程中，利用韦达定理，转化求解，推出结果即可．
 

22.【答案】解：函数，，
当时，；
当时，当时，；当时，，
综上，当时，函数在R上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
原不等式为，等价于，
令，上述不等式等价于，
显然为单调递增函数，
又等价于，即，
令，则，
在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
，，即，
实数a的取值范围是 

【解析】本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考查分类讨论思想的应用，是难题．
求出导函数，通过，时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．
原不等式等价于，构造函数，利用为单调递增函数，推出，令，通过函数的导数推出，然后转化求解a的范围．