湘教版5.1 二次根式第1课时教案设计

5．1　二次根式

第1课时　二次根式的概念及性质

1．了解二次根式的定义；

2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点)

3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点)

一、情境导入

前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作，那么形如的式子有哪些性质？对于中a的取值有什么要求？

二、合作探究

探究点一：二次根式的定义

下列各式中：①，②，③，④，⑤，⑥，一定是二次根式的有(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

解析：根据二次根式的定义判断.的根指数是3，不是二次根式；的被开方数为负数，不是二次根式；的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C.

方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如；②被开方数为非负数．

探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件

x取何值时，下列各式在实数范围内有意义．

(1)；(2)；(3)；(4).

解析：(1)要使有意义，必须使x＋2≥0；(2)要使有意义，必须使x－1≥0，且x－2≠0；(3)要使有意义，必须使x2＋1≥0，显然x为任何实数；(4)要使有意义，必须使－x2≥0，这时x＝0.

解：(1)x＋2≥0，所以x≥－2；

(2)所以所以x≥1且x≠2；

(3)x2＋1≥0，所以x为全体实数；

(4)－x2≥0，所以x＝0.

方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零．

探究点三：二次根式的性质

【类型一】 利用()2＝a(a≥0)进行计算

计算：(1)()2；(2)(2)2；(3)(－3)2.

解析：利用()2＝a(a≥0)及(ab)n＝anbn进行计算．

解：(1)()2＝；

(2)(2)2＝4×()2＝4×3＝12；

(3)(－3)2＝(－3)2×()2＝9×＝6.

方法总结：利用()2＝a(a≥0)计算时，幂的运算法则仍然适用．

【类型二】 二次根式中隐含条件a≥0的应用

已知y＝－＋5，则＝________．

解析：由已知条件y＝－＋5可知与都有意义，所以存在隐含条件故x＝2.把x＝2代入y＝－＋5，求得y＝5，所以＝.

方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口．

【类型三】 利用＝|a|计算

计算：

(1)；　(2)；　(3)－.

解析：利用＝|a|进行计算．

解：(1)＝2；(2)＝|－|＝；(3)－＝－|－π|＝－π.

方法总结：＝|a|的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数．

【类型四】 利用＝|a|化简

如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2－＋.

解析：由a，b在数轴上的位置确定a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.再根据＝|a|进行化简．

解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1，

则a－b＜0，a＋b＜0.

原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b.

方法总结：利用＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．

三、板书设计

二次根式

本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质．