广东省韶关市浈江区2022年九年级上学期期末数学试题（附答案）

 九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）

A．x2﹣y+2＝0 B．x2+y2＝1 C．x2﹣2x+2＝0 D．

2．下列图形是四所大学校徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

3．下列成语所描述的事件中是不可能事件的是（　　） 

A．守株待兔 B．水中捞月 C．水到渠成 D．不期而遇

4．二次函数y＝（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）

A．（﹣2，5） B．（2，5）

C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）

5．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（　　） 

A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF

6．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）

A．70° B．60° C．40° D．35°

7．已知m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（　　）

A．m+n＝2 B．mn＝﹣5

C．m2﹣2n﹣5＝0 D．m2﹣2m﹣5＝0

8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）

A．x（x+1）＝2450 B．x（x-1）＝2450

C． x（x+1）＝2450 D．x（x-1）＝2450

9．要得到抛物线，可以将抛物线 （　　）．

A．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度

B．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度

C．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度

10．正六边形的周长为6，则它的面积为（　　）  

A． B． C． D．

11．设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（　　）

A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0

C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0

12．如图，E为正方形ABCD的边CD上一动点，AB=2，连接BE，过A作AF⊥BE，交BC于F，交BE于G，连接CG，当CG为最小值时，CF的长为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．一元二次方程 的解为　            　． 

14．点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为　           　．

15．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　         　．  

16．已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是　     　cm2． 

17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕A点顺时针旋转90°后得到△AB'C'（点B的对应点是B'，点C的对应点是C'），连接CC'，若∠CC'B'=23°，则∠B=　     　°．

18．如图，矩形ABCD的边长，，以为直径，的中点为圆心画弧，交矩形于点D，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为　     　．（结果保留）

三、解答题

19．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．

（1）请画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后的图形△OA1B1．

（2）直接写出：点A1坐标 　          　，点B1坐标 　          　．

20．将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀.

（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为　     　.

（2）先从盒子中任意取出1张卡片，记录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的两张卡片中，至少有1张印有“兰”字的概率（请用画树状图或列表等方法求解）.  

21．如图，AB是⊙O的直径，DA与⊙O相切于点A．

（1）若OD平分∠ADE，求证：DE是⊙O的切线；

（2）在（1）的条件下，若AE=8，AD=6，求⊙O的半径．

22．某市某商场销售女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，平均每天可售出20件.

（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；

（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件，要使商场每天盈利最大，每件应降价多少？

23．如图：

如图（1），已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交射线AD于点E，交线段CP于点F．

（1）如图（1），猜想∠QEP=　     　°；

（2）如图（2），图（3），若当∠DAC是锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请选取其中一种情况加以证明；若不成立，请写出你的猜想并加以证明．

（3）如图（3），若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M.

（1）求此抛物线的解析式和对称轴；  

（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；  

（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.  

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】D

3．【答案】B

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】D

7．【答案】C

8．【答案】B

9．【答案】B

10．【答案】B

11．【答案】C

12．【答案】A

13．【答案】

14．【答案】（﹣3，5）

15．【答案】3150名．

16．【答案】65π

17．【答案】68

18．【答案】π

19．【答案】（1）解：如图所示，△OA1B1即为所求．

（2）（1，-4）；（4，-4）

20．【答案】（1）

（2）解：画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中至少有1张印有“兰”字的有7种结果，

∴至少有1张印有“兰”字的概率为 .

21．【答案】（1）证明：如图，作，垂足为

由题意知，

在和中

∵

∴

∴，

∴是半径

又∵

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：由题意知

在中，由勾股定理得

∴

设⊙O的半径为

在中，由勾股定理得

∴

解得

∴⊙O的半径为3．

22．【答案】（1）解：设平均每次降价的百分率为x，

由题意可得：100（1-x）2=64，

解得x1=20%，x2=180%（不合题意，舍去），

答：平均每次降价的百分率是20%；

（2）解：设商场降价a元，商场每天盈利为w，

由题意可得：w=（64-a）（20+2a）=-2a2+108a+1280，

∴该函数图象开口向下，当a=时，w取得最大值，

∵-2<0，

∴a=27时，w取得最大值，

答：当商场降价27元时，商场每天盈利最大.

23．【答案】（1）60

（2）解：（1）中的猜想成立，即∠QEP=60°．

以∠DAC是锐角为例．

证明：如图2，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°，

∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，

∴CP=CQ，∠PCQ=60°，

∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，

即∠ACP=∠BCQ，

在△ACP和△BCQ中，，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴∠APC=∠Q，

∵∠1=∠2，

∴∠QEP=∠PCQ=60°；

（3）解：作CH⊥AD于H，如图3，

与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，

∴∠APC=30°，∠PCB=∠CAH=45°，

∴△ACH为等腰直角三角形，

∴AH=CH=AC=×4=2，

在Rt△PHC中，PH=CH=2，

∴PA=PH-AH=2-2，

∴BQ= PA=2-2．

24．【答案】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5). 

把点A(0，4)代入上式，解得a＝ .

∴y＝ (x－1)(x－5)＝ x2－ x＋4＝ (x－3)2－ .

∴抛物线的对称轴是x＝3.

（2）解：存在，P点的坐标是(3， ).如图1，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB.  

∵点B与点C关于对称轴对称，

∴PB＝PC.

∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC.

∴此时△PAB的周长最小.

设直线AC的解析式为y＝kx＋b.把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得

解得

∴y＝－ x＋4.

∵点P的横坐标为3，

∴y＝－ ×3＋4＝ .

∴P(3， ).

（3）解：在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大. 

如图2，设N点的横坐标为tt，此时点N(t， t2－ t＋4)(0＜t＜5).

过点N作y轴的平行线，分别交x轴，AC于点F，G，过点A作AD⊥NG，垂足为D.

由(2)可知直线AC的解析式为y＝－ x＋4.

把x＝t代入y＝－ x＋4，得y＝－ t＋4.

∴G(t，－ t＋4).

∴NG＝－ t＋4－( t2－ t＋4)＝－ t2＋4t.

∵AD＋CF＝OC＝5，

∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝ NG·AD＋ NG·CF＝ NG·OC

＝ ×(－ t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－ )2＋ .

∵当t＝ 时，△NAC面积的最大值为 .

由t＝ ，得y＝ ×( )2－ × ＋4＝－3.

∴N( ，－3).