河北省唐山市2021-2022学年高三数学上学期期末考试试题（Word版附解析）

唐山市2021-2022学年度高三年级第一学期期末考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A. [1，2] B. [1，3] C. [0，2] D. [0，3]

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的解集求得集合，结合函数的解析式有意义，求得集合，利用集合交集的运算，即可求解.

【详解】由不等式，解得，即；

又由函数有意义，则满足，解得，即，

所以.

故选：B.

2. 函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（    ）

A. 为奇函数 B. 为偶函数

C. 为奇函数 D. 为偶函数

【答案】C

【解析】

【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.

【详解】令，则,且，

既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；

令，则,且，

是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；

故选：C

3. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（    ）

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右移个单位

【答案】D

【解析】

【分析】先对函数的解析式进行整理，再结合三角函数的平移规律即可得到结论．

【详解】因为：．

所以：函数的图象向右平移个单位，

可得到函数的图象．

故选:D.

4. 六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（    ）

A. 15种 B. 90种 C. 540种 D. 720种

【答案】B

【解析】

【分析】利用乘法分步原理结合组合知识求解即可.

【详解】解：先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动，有种方法，再从剩下4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法，最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动，有种方法.由乘法分步原理得共有种方法.

故选：B

5. 传说古希腊毕达哥拉斯派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们将，称为三角形数；将，称为正方形数.现从小于100的三角形数中，随机抽取一个数，则这个数是正方形数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知列出从1到100这100个整数中所有的三角形数和正方形数，由古典概型的概率公式计算即可得出结果.

【详解】由题意可得，从1到100这100个整数中，所有三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91,共13个，从1到100这100个整数中，所有的正方形数依次为，共9个，

所以从1到100这100个整数中，既是三角形数又是正方形数的为：，共2个.

所以从小于100的三角形数中，随机抽取一个数，则这个数是正方形数的概率为.

故选：D

6. 已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若，则（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】由，可得，即，再结合抛物线得焦半径公式即可得出答案.

【详解】解：由抛物线C：，

得，

又因，所以，即，

所以，即，

所以.

故选：A.

7. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】结合对数的换底公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．

【详解】解：，，

函数在上单调递增，∴，，即，即，

因为函数在上单调递增，，

即，

综上，

故选：A．

8. 已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为S，则S的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设圆柱的底面半径为，高为，则由题意可得，得，设圆柱的外接球半径为，则，然后利用基本不等式求出的最小值，从而可求出S的最小值

【详解】设圆柱的底面半径为，高为，

因为圆柱的侧面积为，

所以，得，

设圆柱的外接球半径为，则，

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为1，

所以外接球的表面积S的最小值为，

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知复数（且），是z的共轭复数，则下列命题中的真命题是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由题知，进而根据复数的加减乘除运算依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，，，所以，故正确；

对于B选项，，，，故错误；

对于C选项，，，，故正确；

对于D选项，，，，

所以当时，，当时，，故错误.

故选：AC

10. 圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（    ）

A. 点P的轨迹方程为 B. 以PM为直径的圆过定点

C. 的最小值为6 D. 若直线PA与圆M切于点A，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意可知过圆心，代入即可得作出图象,利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果.

【详解】圆M：配方得： ，

圆M关于直线对称，

直线过圆心.

,即

点P的轨迹方程为，A正确.

由，则，则以PM为直径的圆过定点，B正确.

的最小值即为到直线的距离，由于,则，C错误.

由于，要使取最小，即取最小值，,，则D正确.

故选：ABD

11. 为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（    ）

A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1

【答案】CD

【解析】

【分析】计算混合检测分式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数，知，利用求解可得p的范围，即可得出选项.

【详解】设混合检测分式，样本需要检测的总次数可能取值为

，

故的分布列为：

设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则

要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需

即，即，即

又，，

故选：CD

12. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为AB的中点，将沿DE所在的直线翻折，使A与重合，得到四棱锥，则在翻折的过程中（    ）

A.  B. 存在某个位置，使得

C. 存在某个位置，使得 D. 存在某个位置，使四棱锥的体积为1

【答案】AB

【解析】

【分析】过作，垂足为，证得平面，可判定A正确；取的中点，连接，当在平面上的投影在上时，可判定B正确；连接，由直线与是异面直线，可判定C错误；求得，结合体积公式求可判定D错误.

【详解】对于A中，如图所示，过作，垂足为，延长交于点，

因为，且，所以平面，

又因为平面，所以，所以A正确；

对于B中，取的中点，连接，当在平面上的投影在上时，此时平面，从而得到，所以B正确；

对于C中，连接，因为平面，平面，

所以直线与是异面直线，所以不存在某个位置，使得，所以C错误；

对于D中，由，解得，

由作，可得，

即此时四棱锥的高，此时，

所以不存在某个位置，使四棱锥的体积为1，所以D错误.

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则______．

【答案】4

【解析】

【分析】由题意可以得到，进而将式子化为基本量解出答案即可.

【详解】由题意，.

故答案为：4.

14. 中，为的中点，，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】用向量表示，再结合， 求解即可.

【详解】解：因为为的中点，，所以，

，

所以

故答案为：

15. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______．

【答案】

【解析】

【分析】由条件求解底面半径和圆锥的高，即可求得圆锥的体积.

【详解】设底面半径为，由题意可知，解得：，

圆锥的高，

所以圆锥的体积.

故答案为：

16. 已知函数，分别是的极大值点与极小值点，若且，则______．

【答案】2

【解析】

【分析】求导得函数在和上单调递增，在上单调递减，故，在根据且得，故，进而得答案.

【详解】解：，所以，

令得，

所以当时，，当时，，

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

所以，

因为，

所以，即，

所以，

因为，

所以，所以

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求角C；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.

(2) 由正弦定理边化角，再由三角函数求最值.

【小问1详解】

由已知及正弦定理得，

即，由余弦定理得

，可得．

【小问2详解】

根据正弦定理得

，

又，则

故，则的取值范围是．

18. 已知是数列的前n项和，，且．

（1）证明：为常数列；

（2）若，求数列的前n项和．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知得，即，利用与的关系化简可得化简即可得出结果.

（2）由（1）可得，化简可知，通过裂项求和可得出结果.

【小问1详解】

由已知得，即，

时，由，，两式相减得，

则，又

于是为常数列．

小问2详解】

由（1）得．

则，

故．

19. 四棱锥的底面是矩形，，侧面底面OBCD．

（1）求证：底面OBCD；

（2）若，二面角的大小为120°，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，即可证得底面OBCD．

（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式列出方程求得的值，结合体积公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：因为四棱锥底面是矩形，所以，

又因为，所以，

因为侧面底面OBCD，侧面底面，

且侧面AOD，所以底面OBCD．

【小问2详解】

解：因为底面OBCD，OBCD为矩形，所以OA，OB，OD两两垂直．

如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，

设，则，，，，

设为平面ABC的法向量，则,即，

令，可得，所以．

设为平面ACD的法向量，则，即，

令，可得，所以，

因为，可得，解得或（舍）．

所以四棱锥的高为1，四棱锥的体积．

20. 某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．

（1）用表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果；

（2）分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数的数值，部分结果如下表所示：

①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；

②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.

【答案】（1），   

（2）①0.996，②不吻合，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）观察两图，根据的范围，我们只需要确定哪个图像关联系数更高，即选择较大的那个相关系数；

（2）第一小问可根据第（1）问中确定的值，通过来计算；第二小问可通过计算出来的数据跟已有的数据对比，选出最适合模拟最近的年份的回归模型，并且按照这个回归模型来模拟，预测2020年是否能够突破100万亿，并且根据回归模型的增长趋势来判断.

【小问1详解】

由散点图可知，图2拟合效果更好、相关系数较大，所以，．

【小问2详解】

①0.996

②由图2中的线性回归模型得到的相关指数为0.996，是所有回归模型的相关指数中数值最大的，而且2017年是最近的年份，因此选择图2中的线性回归模型来估计2017年的GDP，是比较精准的．

按照图2中的线性回归模型来估计（延长回归直线可发现），2020年不能突破100万亿元．

估计与事实不吻合．综合两张图来考虑，我国的GDP随年份的增长整体上呈现指数增长的趋势，而且2020年比2016年又多发展了4年，指数回归趋于明显，因此，按照线性回归模型得到的估计值与实际数据有偏差、不吻合，属于正常现象．

21. 已知圆，点是圆上任意一点，在轴上的射影为，点满足，记点的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）已知，过的直线与曲线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）、设出点坐标，根据题意求出点坐标，代入圆方程即可求出曲线的方程；

（2）、对直线的斜率分类讨论，利用弦长公式结合导数法求出的取值范围.

【小问1详解】

设点，由，得，

由点在圆上，所以，整理得，所以曲线的方程是

【小问2详解】

当直线的斜率为时，，，，

当直线的斜率不存在时，，，，

当直线的斜率存在且不为时，设：，则：

点到直线的距离，所以，

将代入曲线的方程，整理得

，设，

则，，则，

所以，

令，则，

令，，则，所以在上单调递减，

所以，即．

综上所述，的取值范围是．

22. 过点可以作出曲线的两条切线，切点分别为A，B两点．

（1）证明：；

（2）线段AB的中点M的横坐标为，比较与a的大小关系．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）令，求导后，设，，则，，则方程有两根，．令，则有两个零点．求导后利用函数的单调性求得最小值小于零得出结论. （2）依题设，只需比较与的大小关系．由（1）知：，，两式相减后用表示出，由，，取，则，构造函数，，求导后利用函数的单调性证得结论.

【小问1详解】

证明：令，则，设，，则

，，则方程有两根，．

令，则有两个零点．

若，则单调递增，至多一个零点，不合题意．

因此，．此时，，．

当时，，单调递减：

当时，，单调递增

当时，取得最小值，若要使有两个零点，则需，即．

综上所述，．

【小问2详解】

依题设，只需比较与的大小关系．

由（1）知：，，

两式相减，得，即，

则，

不妨设，则，取，则，，

令，，则

于是在为减函数，，故，即．

【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.