2022湖南省名校联考联合体高二上学期期末考试数学试题含解析

名校联考联合体2022年高二元月期末联考

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于（    ）

A. 9 B. 17

C 18 D. 34

3. “”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2，水面宽4，那么水下降1后，水面宽为（    ）

A  B.

C.  D.

5. 如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（    ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 如图是最小正周期为的函数的部分图象，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知F为抛物线的焦点，过点F作两条直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，若，则四边形ADBE面积的最小值为（    ）

A. 48 B. 32 C. 16 D. 8

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知平面上三条直线，，不能构成三角形，则实数k的值可以为（    ）

A.  B.  C. 0 D. 1

10. 在正方体中，E，F分别是和的中点，则下列结论错误的是（    ）

A. 平面CEF

B. 平面CEF

C.

D. 点D与点到平面CEF的距离相等

11. 已知双曲线经过点，并且它的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则下列结论正确的是（    ）

A. C的离心率为

B. C的渐近线为

C. C的方程为

D. 直线与C有两个公共点

12. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（    ）

A. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

B. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2

C. 曲线关于直线对称曲线方程为

D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，，若，则___________.

14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的负半轴上，则该圆的标准方程为___________.

15. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.

16. 某公司购置了一台价值220元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5％，设备将报废，则d的取值范围为____．

四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 高考数学特别强调要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（试卷满分为分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了名学生的成绩，按照成绩为、、、分成了组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于分）.

（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的三组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有人被抽到的概率.

18. 已知函数.

（1）判断函数的奇偶性并加以证明；

（2），不等式成立，求实数a取值范围.

19. 在数列中，首项，且满足，其前n项和为.

（1）证明数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式，并判断n，，是否成等差数列？

20. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）若，的面积为，求a；

（2）若，求C.

21. 如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，､，，，PC与AD相交于O，现沿着AD折成四棱锥（如图2）.

（1）当四棱锥的体积最大时，求点B到平面PCD的距离；

（2）在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

22. 已知椭圆经过点，离心率.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为，证明：直线l过定点.