【中考专项】2023年中考数学转向练习之选择题01 三角形与四边形的性质及判定

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【选择题】必考重点01三角形与四边形的性质及判定

近几年江苏中考看，在选择题中对几何性质的考查一直是必考点，对于平行线的性质一般考查比较简单，三角形和四边形的性质的考查在难度上多数为中等或者较难题型较多，在解此类题型时，需要考生熟练掌握三角形、四边形的性质和判定定理，能够利用判定定理判定特殊的三角形、四边形以及三角形全等，并利用它们的性质，求解角度的大小、角与角之间的数量关系，线段的长度以及线段之间的数量关系、位置关系等。


【2022·江苏泰州·中考母题】如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(   )

A． B． C． D．
【考点分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明等知识点。
【思路分析】要求d1＋d2＋d3的最小值，首先应明白，只有当A、E、F、C四点共线时，d1＋d2＋d3的值最小。先连接CF、CG、AE，证可得，得到。【2021·江苏无锡·中考母题】如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（    ）

A．和的面积相等
B．四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
【考点分析】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质。
【思路分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案．
【2020·江苏南通·中考母题】如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A． B．2 C．2 D．3
【考点分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键。
【思路分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．



1．（2022·江苏扬州·一模）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（    ）

A．60° B．65° C．70° D．75°
2．（2022·江苏无锡·模拟）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是(   )

A． B． C．1 D．-2
3．（2022·江苏无锡·模拟）已知点在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点，连接与相交于点，连接、，则①；②≌；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；以上结论正确的个数是（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2022·江苏无锡·模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（       ）．

A． B． C． D．
5．（2022·江苏南通·一模）如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，若，，则EF的长是（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
6．（2022·江苏南京·二模）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法：①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形；③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形，正确的是（    ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
7．（2022·江苏无锡·一模）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，过点D作DE⊥DF分别交AB、AC于E、F（不与B、C重合）．取EF的中点O，连接AO并延长交BC于G，连接EG、FG．随着点E、F的位置的变化，有以下四个结论：①DE＝DF；②四边形AEDF的面积始终为9；③∠EGF＝90°；④四边形AEGF的面积有最小值为9．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2022·江苏·泰州中学附属初中一模）如图，ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，∠ADC的角平分线DE交BC于点E，交AC于点F，CG⊥DE，垂足为G，DG=cm，则EF的长为（  ）

A．2cm B．cm C．cm D．cm
9．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图：正方形ABCD边长为1，P是AD边中点，点B与点E关于直线CP对称，连接CE，射线ED与CP交于点F，则EF的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（2022·江苏淮安·一模）如图，在中，点E在BC上，AE与BD相交于点F，若BE：EC=4:5，则BF：FD=（   ）

A． B． C． D．
11．（2022·江苏宿迁·二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（    ）

A． B． C． D．
12．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，点E为平行四边形内一点且∠AED＝∠BEC＝90°，若∠DEC＝45°，则AD的长为（　　）

A．3 B．2 C． D．2
13．（2022·江苏苏州·一模）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（    ）

A． B． C． D．
14．（2022·江苏·江阴市祝塘第二中学一模）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　）

A．5 B． C．5或 D．6
15．（2022·江苏·南外雨花分校一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（    ）

A．AB=AD B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．AC⊥BD
16．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（　　）

A．5 B． C．3 D．
17．（2022·江苏苏州·二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（    ）

A． B． C． D．
18．（2022·江苏镇江·二模）如图，在中，，．矩形的顶点、、分别在边、、上，若，则矩形面积的最大值为（    ）

A．5 B． C． D．
19．（2022·江苏连云港·二模）如图，正方形ABCD的边长是3，P、Q分别在AB、BC的延长线上，且，连接AQ、DP交于点O，分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE．现给出以下结论：①；②；③；④当时，；其中正确的是（    ）（写出所有正确结论的序号）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
20．（2022·江苏·无锡市天一实验学校三模）如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
21．（2022·江苏镇江·模拟）是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则周长的最小值是（    ）

A． B． C． D．
22．（2022·江苏南通·二模）如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（    ）

A．四边形APRQ的周长 B．四边形PQCR的周长
C．△BPR的周长 D．△APQ的周长
23．（2022·江苏无锡·一模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（      ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
24．（2022·江苏苏州·模拟）如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ）

A． B． C． D．
25．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有（  ）

A．①②③ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤


【选择题】必考重点01三角形与四边形的性质及判定

近几年江苏中考看，在选择题中对几何性质的考查一直是必考点，对于平行线的性质一般考查比较简单，三角形和四边形的性质的考查在难度上多数为中等或者较难题型较多，在解此类题型时，需要考生熟练掌握三角形、四边形的性质和判定定理，能够利用判定定理判定特殊的三角形、四边形以及三角形全等，并利用它们的性质，求解角度的大小、角与角之间的数量关系，线段的长度以及线段之间的数量关系、位置关系等。

【2022·江苏泰州·中考母题】如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(   )

A． B． C． D．
【考点分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明等知识点。
【思路分析】要求d1＋d2＋d3的最小值，首先应明白，只有当A、E、F、C四点共线时，d1＋d2＋d3的值最小。先连接CF、CG、AE，证可得，得到。
【答案】C
【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，

∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，

∴d1＋d2＋d3的最小值为，
故选：C．
【2021·江苏无锡·中考母题】如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（    ）

A．和的面积相等
B．四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
【考点分析】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质。
【思路分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案．
【答案】C
【详解】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴，
∴， ，
∴和的面积相等，故A正确；
∵，
∴DF＝AB=AE，
∴四边形不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故选：C．
【2020·江苏南通·中考母题】如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A． B．2 C．2 D．3
【考点分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键。
【思路分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【答案】A
【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．



1．（2022·江苏扬州·一模）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（    ）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【分析】首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC＝∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE＋∠FEC的度数，进而得到∠DEB＋∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠EFC＝∠DEB，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝（180°−50°）÷2＝65°，
∴∠CFE＋∠FEC＝180°−65°＝115°，
∴∠DEB＋∠FEC＝115°，
∴∠DEF＝180°−115°＝65°，
故选：B．
2．（2022·江苏无锡·模拟）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是(   )

A． B． C．1 D．-2
【答案】C
【分析】取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据，可得结论．
【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．

∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴，
∴DM的最小值为1，
故选：C．
3．（2022·江苏无锡·模拟）已知点在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点，连接与相交于点，连接、，则①；②≌；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；以上结论正确的个数是（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】依据等边三角形的性质，判定△BCD≌△ACE，△ACN≌△BCM，△BCF≌△ACO，再分别依据全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高相等，即可得到正确的结论．
【详解】解：∵三角形ABC和三角形DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE=120°，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD，故①正确；
∴∠CBM=∠CAN，
又∵∠BMC=∠AMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°，
∴∠BOE=180°−60°=120°，故③正确；
∵∠CBM=∠CAN，∠BCM=∠ACN=60°，BC=AC，
∴△ACN≌△BCM(ASA)，故②正确；
∴CM=CN，
又∵∠MCN=60°，
∴△MCN是等边三角形，故④正确；
如图，过C作CG⊥BD，CH⊥AE，

∵△BCD≌△ACE，
∴△BCD中BD边上的高与△ACE中AE边上的高对应相等，
即CG=CH，
∴点C在∠BOE的角平分线上，
即CO平分∠BOE，故⑤正确；
如图，在BO上截取OF=OC，则△COF是等边三角形，

∴CO=CF=OF，∠BFC=120°=∠AOC，
又∵∠CAO=∠CBF，AC=BC，
∴△BCF≌△ACO(AAS)，
∴BF=AO，
∴BO=BF+OF=AO+CO，故⑥正确；
故选：D．
4．（2022·江苏无锡·模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（       ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明△BEF是等边三角形，求出EF，同法可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，求出EH，GF，FG即可．
【详解】解：如图，连接BD，AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAO=∠DAO=60°，BD⊥AC，
∴∠ABO=∠CBO=30°，
∴OA=AB=1，OB=OA=，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO=∠BFO=90°，
在△BEO和△BFO中，
，
∴△BEO≌△BFO（AAS），
∴OE=OF，BE=BF，
∵∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=×=，
同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
∴EF=GH=，EH=FG=，
∴四边形EFGH的周长=3+，
故选：A．
5．（2022·江苏南通·一模）如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，若，，则EF的长是（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质证明DF=CD，AE=AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴∠DFC=∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC=3，
同理可证：AE=AB=3，
∴AF=DE
∵AD=4，
∴AF=4-3=1，
∴EF=4-1-1=2．
故选：A．
6．（2022·江苏南京·二模）如图，点E，F，G，H分别在矩形ABCD（AB＞AD）的四条边上，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．下列关于四边形EFGH的说法：①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；②存在无数个四边形EFGH是菱形；③存在无数个四边形EFGH是矩形；④存在无数个四边形EFGH是正方形，正确的是（    ）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】连接AC，BD交于点O，过点O的直线EG和HF分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H，则，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，逐项判断即可．
【详解】解：如图，连接AC，BD交于点O，过点O的直线EG和HF分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．

①因为ABCD是矩形，有无数种情况使得，，即存在无数个四边形EFGH是平行四边形，故①正确；
②当时，四边形EFGH是菱形，故存在无数个四边形EFGH是菱形，故②正确；
③当时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形，故③正确；
④当四边形EFGH是正方形时，,,易证，可知,,结合可推出,与已知条件矛盾，故不存在四边形EFGH是正方形，故④错误；
综上，①②③正确，
故选：C．
7．（2022·江苏无锡·一模）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，过点D作DE⊥DF分别交AB、AC于E、F（不与B、C重合）．取EF的中点O，连接AO并延长交BC于G，连接EG、FG．随着点E、F的位置的变化，有以下四个结论：①DE＝DF；②四边形AEDF的面积始终为9；③∠EGF＝90°；④四边形AEGF的面积有最小值为9．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】证明△BDE≌△ADF，即可判断①正确；根据①的结论判断②正确；以点O为圆心，OE为半径作圆O，由∠BDA=90°，证得AG为圆O的直径，即点G在圆O上，即可判断③正确；设AF=x，则BE=AF=x，AE=6-x，证明四边形AEGF是矩形，利用矩形面积公式求出四边形AEGF的面积=，利用二次函数的性质得到四边形AEGF的面积有最大值为9，即可判断④错误．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，
∴AD=BD=CD，∠B=∠CAD=45°，∠ADB=90°，

∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，故①正确；
∴四边形AEDF的面积==，
∴四边形AEDF的面积始终为9，故②正确；
以点O为圆心，OE为半径作圆O，连接OD，
∵∠EDF=90°，点O为EF的中点，
∴OD=OE=OF=OA，
∵∠ADG=90°，
∴∠GAO+∠AGD=∠ADO+∠GDO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠AGD=∠ODG，
∴OA=OD=OA，
∴AG为圆O的直径，即点G在圆O上，
∴∠EGF=90°，故③正确；

设AF=x，则BE=AF=x，AE=6-x，
∵OA=OG=OE=OF，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵∠EAF=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∴四边形AEGF的面积=，
∴当x=3时，四边形AEGF的面积有最大值，最大值为9，
故④错误；
正确的有①②③．
故选：A．
8．（2022·江苏·泰州中学附属初中一模）如图，ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，∠ADC的角平分线DE交BC于点E，交AC于点F，CG⊥DE，垂足为G，DG=cm，则EF的长为（  ）

A．2cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠CDE=∠CED，进而求出CE的长，再证明△AFD∽△CFE，最后利用相似三角形的性质求出EF的长即可．
【详解】解：∵在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，
∴∠ADE=∠EDC，∠ADE=∠DEC，AB=DC，
∴∠CDE=∠CED，
∵AB=4cm，AD=6cm，
∴EC=DC=AB=4cm，
∵CG⊥DE，DG=cm，
∴EG= DG=cm，
∴DE=4cm，
∵AD∥BC，
∴△AFD∽△CFE，
∴，则，
解得：EF=．
故选C．
9．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图：正方形ABCD边长为1，P是AD边中点，点B与点E关于直线CP对称，连接CE，射线ED与CP交于点F，则EF的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BE交CF于H，交CD于N，连接BF，由“SSS”可证△CFB≌△CFE，可得∠FBC＝∠FEC，∠BFC＝∠EFC，通过证明点C，点D，点F，点B四点共圆，可得∠BFD+∠BCD＝180°，即∠BFD＝90°，由“AAS”可证△BCN≌△CDP，可得CN＝PD＝，由锐角三角函数可求BH的长，由等腰直角三角形的性质可求EF的长．
【详解】解：如图，连接BE交CF于H，交CD于N，连接BF，

∵正方形ABCD边长为1，P是AD边中点，
∴BC＝CD＝1，PD＝，∠PDC＝∠BCD＝90°，
∵点B与点E关于直线CP对称，
∴CP垂直平分BE，
∴BC＝CE，BF＝EF，CF⊥BE，BH＝EH，
又∵CF＝CF，
∴△CFB≌△CFE（SSS），
∴∠FBC＝∠FEC，∠BFC＝∠EFC，
∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠FBC，
∴点C，点D，点F，点B四点共圆，
∴∠BFD+∠BCD＝180°，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝∠EFC＝45°，
∵CP⊥BE，
∴∠CBH+∠HCB＝90°，
又∵∠BCH+∠DCP＝90°，
∴∠HBC＝∠DCP，
又∵BC＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴△BCN≌△CDP（ASA），
∴CN＝PD＝，
∴BN＝ ，
∵cos∠NBC＝，
∴BH＝，
∴EH＝BH＝，
∵CF⊥BE，∠CFE＝45°，
∴EF＝HE＝，
故选：D．
10．（2022·江苏淮安·一模）如图，在中，点E在BC上，AE与BD相交于点F，若BE：EC=4:5，则BF：FD=（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由平行四边形的性质得，AD=BC，从而∠ADF=∠EBF，结合对顶角相等，可证，再利用相似三角形的性质得比例式，然后结合已知比例式求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，
∴∠ADF=∠EBF，
又∵∠AFD=∠EFB，
∴，
∴，
∵BE：EC=4：5，
∴BE：BC=4：9，
∴BF：FD=4：9，
故选：D．
11．（2022·江苏宿迁·二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知，，则CF的长是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作OGCD交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理证明BG＝CG，根据菱形的性质可得OB＝OD，则GO是△BCD的中位线，可求出BG、CG和OG的长，再求出GE的长，由CFGO可得△ECF∽△EGO，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长．
【详解】解：如图，作OGCD交BC于点G，

∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，
∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，
∴ ，
∴BG＝CG＝ ，
∴GO是△BCD的中位线
∴GO＝CD＝，GOCD
∵CE＝1，
∴GE＝CG+CE＝+1＝，
∵CFGO，
∴∠ECF=∠EGO
∵∠E=∠E
∴△ECF∽△EGO，
∴ ，
∴CF＝，
∴CF的长为，
故选：D．
12．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，点E为平行四边形内一点且∠AED＝∠BEC＝90°，若∠DEC＝45°，则AD的长为（　　）

A．3 B．2 C． D．2
【答案】B
【分析】取AD，BC的中点M，N，连接MN，ME，NE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得EM =AD= MD，EN=BC = NC，过点E作EPAD交CD于点P，根据平行线的性质证明△MEN为等腰直角三角形，进而可得结果．
【详解】如图，取AD，BC的中点M，N，连接MN，ME，NE，

则MN = AB = 2，
在平行四边形ABCD中，AD= BC，ADBC，
AD，BC的中点为M，N，
∠AED =∠BEC= 90°，
EM=AD= MD，
EN=BC=NC，
EM = EN，∠ MED= ∠MDE，∠CEN=∠NCE，
过点E作EPAD交CD于点P，
EPBC，
∠MDE= ∠DEP，∠NCE = ∠PEC，
∠MED =∠DEP，∠CEN =∠PEC，
∠MED + ∠CEN = ∠DEP +∠PEC=∠DEC= 45°，
∠MEN = 90°，
△MEN为等腰直角三角形，
AD=2ME=2×MN＝2，
故选：B．
13．（2022·江苏苏州·一模）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，，，由于四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，所以，，根据 ，化简后得，F为BC上一动点，x是变量，是x的系数，根据平不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断．
【详解】解：∵四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，
∴，，
设，，，，
∴




∵F为BC上一动点，
∴x是变量，是x的系数，
∵不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴，
∴，
∴E是AB的中点，
∴，
故选：C．
14．（2022·江苏·江阴市祝塘第二中学一模）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　）

A．5 B． C．5或 D．6
【答案】B
【分析】当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，如图1，根据角平分线的定义得到∠PBD＝∠CBD，根据等腰三角形的性质得到PB＝PD，同理，DQ＝CQ，设AP＝4x，AQ＝3x，根据勾股定理得到PQ＝5x，根据题意列方程即可得到结论；当∠APQ＝∠ACB时，△APQ∽△ACB，由勾股定理得到BC＝10，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝DG，根据三角形的面积公式得到DE＝＝2，四边形AEDF是正方形，推出△PED∽△DFQ∽△CAB，求得＝＝＝，得到PE＝，FQ＝，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：当PQ∥BC时，△APQ∽△ABC，如图1，

∵DB平分∠ABC，
∴∠PBD＝∠CBD，
∵PD∥BC，
∴∠PDB＝∠DBC，
∴∠PBD＝∠PDB，
∴PB＝PD，
同理，DQ＝CQ，
∵∠APQ＝∠ABC，
∴tan∠APQ＝tan∠ABC＝＝＝，
∴设AP＝4x，AQ＝3x，
∴PQ＝5x，
∵PB＝PD＝8﹣4x，PQ＝CQ＝6﹣3x，
∴8﹣4x+6﹣3x＝5x，
∴x＝，
∴PQ＝5x＝；
当∠APQ＝∠ACB时，△APQ∽△ACB，
∵AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，
∴BC＝10，
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，

∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，
∴DE＝DF＝DG，
∵S△ABC＝DE（AB+AC+BC）＝AB•AC，
∴DE＝＝2，四边形AEDF是正方形，
∴DF∥AP，
∴∠EPD＝∠FDQ，
同理∠EDP＝∠FQD，
∴△PED∽△DFQ∽△CAB，
∴＝＝＝，
∴PE＝，FQ＝，
∴PD＝＝＝，DQ＝＝＝，
∴PQ＝PD+DQ＝+＝，
综上所述，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为，
故选：B．
15．（2022·江苏·南外雨花分校一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（    ）

A．AB=AD B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．AC⊥BD
【答案】C
【分析】根据菱形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】由邻边相等的平行四边形是菱形，A选项可以判断这个平行四边形是菱形
由AB//CD可得∠BAC=∠DCA，及∠BAC=∠DAC可得∠DAC=∠DCA，可得AD=CD，由邻边相等的平行四边形是菱形，B选项可以判断这个平行四边形是菱形
由∠BAC=∠ABD可得OA=OB，则AC=BD，可得这个四边形是矩形，C选项不可以判断这个平行四边形是菱形
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，D选项可以判断这个平行四边形是菱形
故答案选：C
16．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（　　）

A．5 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】延长BD交AC于点E，先证明，从而求出BE的长，再利用等腰三角形的判定求出AE，利用线段的和差关系求出CE，得用勾股定理求出CD，最后求出的正切．
【详解】解：延长BD交AC于点E，如图，

∵DC平分，于点D，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴BD=ED=1，
∵，
∴AE=BE=2，
∵AC=7
∴CE=AC-AE=5，
∴，
∴．
故选：B．
17．（2022·江苏苏州·二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF＝（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC，EF，过点E作EN⊥CF于点N，证明△ABC≌△ADC，得到，，再证明△BEC≌△DFC，得到，设，，再求出BC、CE、CF，设，则也可表示出，在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得，，求出NF的长，再解出EN的长，最后求出所求角的正弦值即可．
【详解】如图，连接AC，EF，过点E作EN⊥CF于点N，

∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（HL），
∴，，
又∵，
∴，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴，
∵在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴，
设，，
∵，，
∴，
∵在Rt△BEC中，由勾股定理可得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得，，
∴，
∴，
解得，则，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
18．（2022·江苏镇江·二模）如图，在中，，．矩形的顶点、、分别在边、、上，若，则矩形面积的最大值为（    ）

A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，垂足为，根据已知可得，再根据矩形的性质可证一线三等角模型相似三角形，从而可得，然后设，，，，利用勾股定理可得，，再在中，利用锐角三角函数的定义表示出，从而根据，可得，最后根据矩形的面积公式进行计算可得矩形的面积，从而利用二次函数的最值进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，

，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
矩形的面积


，
当时，矩形的面积最大值为：，
故选：C ．
19．（2022·江苏连云港·二模）如图，正方形ABCD的边长是3，P、Q分别在AB、BC的延长线上，且，连接AQ、DP交于点O，分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE．现给出以下结论：①；②；③；④当时，；其中正确的是（    ）（写出所有正确结论的序号）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2＝OD•OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE•OP；故③错误；根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故②正确；根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，由三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q＋∠QAB＝90°，
∴∠P＋∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确，符合题意；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO＋∠P＝∠ADO＋∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD•OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE•OP；故③错误，不符合题意；
在△CQF与△BPE中
，
∴△CQF≌△BPE（AAS），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF；故②正确，符合题意；
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE＝，
∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴，
∴QO＝，OE＝，
∴AO＝5－QO＝，
∴tan∠OAE＝，故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
20．（2022·江苏·无锡市天一实验学校三模）如图，在边长一定的正方形ABCD中，F是BC边上一动点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：
①；
②四边形AFCE的面积是定值；
③当时，E为△ADC的内心；
④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．
其中正确的结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=45°，从而可判定①正确；由已知及①可得△CAF∽△DAE，由△CAF∽△DAE可得∠ADE=∠CDE=45°，，由正方形的性质可证明△ADE≌△CDE，可得AE=CE，即可判断②；即有∠EAC=∠ECA，再由∠AEC=135°可得∠EAC=∠ECA=22.5°，从而CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD，即可判定③正确；连接BD交AC于点O，由∠ADE=∠CDE=45°知，点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，由知，点F的运动速度是点E的运动速度的倍，即④错误，因而可确定答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AD=CD，∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=∠ACB=45°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠FAE=∠DAC=45°，
∵∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=∠DAC=45°，
∴∠CAF=∠DAE，故①正确；
∵△AEF、△DAC都是等腰直角三角形，
∴ 即，
∵∠CAF=∠DAE，
∴△CAF∽△DAE，
∴∠ADE=∠ACB=45°，，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=CE，，
∴∠EAC=∠ECA，，
∴四边形AECF的面积是定值，故②正确；
∵∠AEC=135°，
∴，
∵∠DAC=∠DCA=45°=2∠EAC=2∠ECA，
∴CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD，
∵∠ADE=∠CDE=45°，
∴DE平分∠ADC即点E是△ADC角平分线的交点，从而是△ADE的内心，故③正确；
如图，连接BD交AC于点O，
∵∠ADE=∠CDE=45°，
当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，
∴点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，
∵，且点F与点E的运动时间相同，
∴，即点F与点E的运动速度不相同，故④错误
故选：C ．

21．（2022·江苏镇江·模拟）是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则周长的最小值是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明，作关于的对称点，连接，根据对称性可得周长，当三点共线时，取得最小值，据此即可求解．
【详解】
将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，
△BPE是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD⊥CB，
∴BD=CD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠PBE=∠ABC=60°，
∴∠ABP=∠CPE，
∵BA=BC，BP=BE，
∴△ABP≌△CBE（SAS），
∴∠BAP=∠BCE=30°，AP=CE
∴点E的运动轨迹是射线CE（∠BCE=30°），
如图，作关于的对称点，连接，

，
，
是等边三角形，

周长
当三点共线时，取得最小值，最小值为
故选A
22．（2022·江苏南通·二模）如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（    ）

A．四边形APRQ的周长 B．四边形PQCR的周长
C．△BPR的周长 D．△APQ的周长
【答案】C
【分析】取的中点，连接，过点作交于点，过点作，交于点，根据等边三角形的性质与判定可知是等边三角形，进而证明是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，，根据三角形中位线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，计算的周长为，即可求解．
【详解】如图，取的中点，连接，过点作交于点，过点作，交于点，

是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
同理可得是等边三角形，
，
则，
即，
是的中点，则，
中，是斜边上的中线，
，
，，
，即为的中点，
，
，
，
又，
，
三点共线，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，





．
△BPR的周长等于，等边三角形的周长等于．
故选C．
23．（2022·江苏无锡·一模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（      ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①先根据折叠的性质得到，再利用正方形的性质得到，通过角的等量代换得出，得到；②根据正方形的性质、线段中点的定义可得到，，，证明出，之后利用等角的余角相等可得出结果；③用相似的定理证明，再根据对应边的比值相等求出；④设正方形边长为，，然后在中利用勾股定理求出的值，由此利用余弦的定义即可得出结果；⑤先利用勾股定理求出AE的长，再利用面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后分别求出和即可得出其关系．
【详解】解：①∵△BCF沿BF对折，得到△BPF，
∴,
∴,
∵正方形ABCD，
∴，
∴，
∴，
∴，
故结论①是正确的，符合题意；
②∵E，F分别为BC、CD的中点，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故结论②是正确的，符合题意；
③∵E，F分别为BC、CD的中点,
∴=，
在和中，

∴，
∴，
∴，
故结论③是正确的，符合题意；
④设正方形边长为，，
∴，
由①可知，，
∴
∵△BCF沿BF对折，得到△BPF，
∴，
在中，，
∴，
解得：
∴，
故结论④错误，不符合题意；
⑤在④的基础上可得：，
∴,
又∵，即，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
故结论⑤正确，符合题意；
所以①②③⑤是正确的；
故选：C．
24．（2022·江苏苏州·模拟）如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵PC=5，QC=PA=3,
∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以C不正确，符合题意．
故选：C．
25．（2022·江苏·江阴市周庄中学一模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有（  ）

A．①②③ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【答案】B
【分析】①正确，证明A、B、F、P四点共圆，推出∠PAG＝∠PBF＝45°，可得结论；
②正确，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到 △ABM，利用全等三角形的性质证明即可；
③正确，连接PC，过点P作PQ⊥CF于 Q，过点P作PM⊥CD于 W ，则四边形PQCW是矩形，证明FQ=QC，由PB=BQ， PD=PW=CQ＝FQ，推出 PB-PD= (BQ-FQ)＝BF；
④错误，由△AEF△AMF，推出，因为FM 的长度是变化的，所以△AEF的面积不是定值；
⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．
【详解】解：如图，取AF的中点T，则AT＝TF，连接PT，BT，

∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠APF＝90°， ∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴BT=AT＝TF＝PT，
∴A、B、F、P四点共圆，
∴∠PAF＝∠PBF＝45°，∠PBA＝∠PFA＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA，
∴PA＝PF，故①正确；
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∵∠ADE=∠ABM＝90° ，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABM＝180°，
∴C、B、M共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB +∠DAE=45°，
∴∠FAE＝∠FAM，
在△FAM和△FAE中，
，
∴（SAS），
∴FM=EF，
∵FM＝BF+BM＝BF+DE，
∴EF＝DE+BF，故②正确；
连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作 PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，
在△PBA和△PCB中，
，
∴（SAS），
∴PA=PC，
∵PF=PA，
∴PF=PC，
∵PQ⊥CF，
∴FQ=QC，
∵PB=，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵FM的长度是变化的，
∴△AEF的面积不是定值，故④错误，
∵A、B、F、P四点共圆，
∴∠APG＝∠AFB，
∵，
∴∠AFE=∠AFB，
∴∠APG=∠AFE，
∵∠PAG＝∠EAF，
∴，
∴，
∴，故⑤正确．
故选：B．