广西梧州市岑溪市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份广西梧州市岑溪市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广西梧州市岑溪市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共36分，请将答案填涂在答题卡相应的位置上）
1．下列函数表达式中，是二次函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝x+2
C．y＝x2+1 D．y＝（x+3）2﹣x2
2．矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（　　）
A． B．y＝20x C．y＝20+x D．y＝20﹣x
3．与二次函数y＝﹣3x2的图象形状相同，开口方向相反的是（　　）
A．y＝﹣3x2+1 B．y＝3x2 C．y＝﹣x2 D．y＝﹣x2﹣1
4．抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0
5．将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是
（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5
6．抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标是（　　）
A．（4，0） B．（0，﹣4） C．（0，4） D．（﹣4，4）
7．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（　　）
A．当x＝1时，y有最大值3
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．开口向下
D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）
8．对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）
A．它的图象在第二、四象限
B．点（2，﹣6）在它的图象上
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
9．已知抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
10．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（　　）
A．y＝5（1+2x） B．y＝5x2 C．y＝5（1+x）2 D．y＝5（1+x2）
11．已知点P1（﹣3，y1），P2（﹣2，y2），P3（1，y3）在函数y＝（k＜0）的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a＝b；⑤4ac＜b2．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（每小题3分，共18分）
13．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　 　．
14．二次函数y＝（x﹣2）2+3的最小值是　 　．
15．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y轴于点B，若△AOB的面积是3，则k的值是 　 　．

16．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 　 　．

17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面上升1m，水面宽度减少 　 　m．

18．为了在比赛中取得更好的成绩，运动员小明积极训练，教练对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是 　 　m．

三、解答题：（共66分）
19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过（﹣1，﹣1），（1，1）两点．求这个函数的解析式．
20．一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度y（吨/天）随卸货天数t（天）的变化而变化．已知y与t是反比例函数关系，图象如图所示：
（1）求y与t之间的函数表达式；
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过6天卸载完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？

21．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？

22．如图，反比例函数的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，3），点B（﹣3，n）；
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围．

23．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？

24．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米．当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？

25．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：y＝﹣2x+240，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元），解答下列问题：
（1）当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？
（2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，应将销售单价定为多少元？
26．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）与y轴交于点C，且OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若M（x1，y1），N（5，y2）均在该抛物线上，且y1＜y2，求M点横坐标x1的取值范围；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图象上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标．



参考答案
一、选择题：（每小题3分，共36分，请将答案填涂在答题卡相应的位置上）
1．下列函数表达式中，是二次函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝x+2
C．y＝x2+1 D．y＝（x+3）2﹣x2
【分析】根据二次函数的定义，逐个选项判断，即可得出答案．
解：∵y＝中y与x成反比例函数关系，
∴选项A不符合题意；
∵y＝x+2中y与x成一次函数关系，
∴选项B不符合题意；
∵y＝x2+1中y与x成二次函数关系，
∴选项C符合题意；
∵y＝（x+3）2﹣x2＝6x+9，是一次函数定义，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解决问题的关键．
2．矩形的面积为20平方米，它的长y米，宽x米之间的函数表达式是（　　）
A． B．y＝20x C．y＝20+x D．y＝20﹣x
【分析】根据矩形的面积公式即可得出答案．
解：由矩形的面积公式可得，xy＝20，
即y＝，
故选：A．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的关系式，掌握矩形面积的计算方法是得出正确答案的关键．
3．与二次函数y＝﹣3x2的图象形状相同，开口方向相反的是（　　）
A．y＝﹣3x2+1 B．y＝3x2 C．y＝﹣x2 D．y＝﹣x2﹣1
【分析】根据抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相反，可知抛物线解析式中的a是3．
解：∵抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象形状相同，开口方向相反，
∴抛物线解析式中的a是3．观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0
【分析】抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，即一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0有解，此时△≥0．
解：∵抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
即y＝0时方程kx2﹣7x﹣7＝0有实数根，
即Δ＝b2﹣4ac≥0，即49+28k≥0，
解得k≥﹣，且k≠0．
故选：B．
【点评】考查抛物线和一元二次方程的关系．
5．将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是
（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
解：将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是y＝（x+1﹣2）2﹣2﹣3，即y＝（x﹣1）2﹣5．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6．抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标是（　　）
A．（4，0） B．（0，﹣4） C．（0，4） D．（﹣4，4）
【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
解：∵抛物线y＝﹣x2+4，
∴该函数的顶点坐标为（0，4），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（　　）
A．当x＝1时，y有最大值3
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．开口向下
D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）
【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、D，令y＝0，解关于x的一元二次方程则可求得答案．
解：∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，4），
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
故选项C正确，不符合题意；
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4，
故选项A不正确，符合题意；
当x＞1时，y随x的增大而减小，
故选项B正确，不符合题意；
令y＝0可得﹣（x﹣1）2+4＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），
故选项D正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
8．对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）
A．它的图象在第二、四象限
B．点（2，﹣6）在它的图象上
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．
解：在反比例函数y＝﹣中，﹣12＜0，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，
故A选项不符合题意；
当x＝2时，y＝﹣6，
∴点（2，﹣6）在函数图象上，
故B选项不符合题意；
在每一象限内，y随着x增大而增大，
故C选项符合题意，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
9．已知抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小求解．
解：∵y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向下，
∵抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）三点，
∴点C（2，y3）离对称轴最远，点A（﹣2，y1）离对称轴最近，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
10．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（　　）
A．y＝5（1+2x） B．y＝5x2 C．y＝5（1+x）2 D．y＝5（1+x2）
【分析】根据市政府2019及2021年投资金额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意，得y＝5（1+x）2．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．已知点P1（﹣3，y1），P2（﹣2，y2），P3（1，y3）在函数y＝（k＜0）的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据k＜0判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的大小即可得出结论．
解：∵函数y＝中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．
∵﹣3＜﹣2＜0，1＞0，
∴点P1、P2在第二象限，点P3在第四象限，
∴y2＞y1＞y3．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a＝b；⑤4ac＜b2．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0．
∵对称轴是直线x＝1，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，
∴①错误．
∵当x＝﹣1时，y＝0．
∴a﹣b+c＝0，
∴②错误．
∵当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
∴③正确．
∵对称轴是直线x＝1，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴④错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，
∴⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
13．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 　x＝1　．
【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．
解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，
∴此函数的对称轴就是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数三种表达式．
14．二次函数y＝（x﹣2）2+3的最小值是　3　．
【分析】由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求的二次函数的最小值．
解：由于（x﹣2）2为非负数，
所以当x＝2时，二次函数即可取得最小值3，
故答案为3．
【点评】本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
15．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y轴于点B，若△AOB的面积是3，则k的值是 　﹣6　．

【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以得到k的值．
解：设点A的坐标为（a，），
∵△AOB的面积是3，
∴＝3，
解得k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是找出k与三角形面积的关系．
16．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为 　x1＝4，x2＝﹣2　．

【分析】根据图象可知，二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0，求根即可．
解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象经过点（4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2+2x+m，代入，得
﹣42+2×4+m＝0
解得m＝8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2+2x+m＝0，得
﹣x2+2x+8＝0，②
解②得
x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．
17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面上升1m，水面宽度减少 　（4﹣2）　m．

【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决．
解：如右图建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣1时，﹣x2＝﹣1，
解得x＝±，
此时水面的宽度为2m，
故水面宽度减少了（4﹣2）m，
故答案为：（4﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
18．为了在比赛中取得更好的成绩，运动员小明积极训练，教练对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是 　9　m．

【分析】当y＝0时代入解析式，求出x的值就可以求出结论．
解：由题意，得
当y＝0时，0＝﹣（x﹣3）2+3，
解得：x1＝9，x2＝﹣3（舍去）．
∴小明此次投掷的成绩是9m．
故答案为：9．
【点评】本题考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时由二次函数的解析式建立方程是关键．
三、解答题：（共66分）
19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过（﹣1，﹣1），（1，1）两点．求这个函数的解析式．
【分析】把点（﹣1，﹣1），（1，1）分别代入y＝ax2+bx﹣2得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值即可得到抛物线解析式．
解：根据题意得，
解得，
所以二次函数解析式为y＝2x2+x﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度y（吨/天）随卸货天数t（天）的变化而变化．已知y与t是反比例函数关系，图象如图所示：
（1）求y与t之间的函数表达式；
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过6天卸载完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？

【分析】（1）直接利用待定系数法确定函数关系式，即可得出答案；
（2）直接利用（1）中函数解析式，将t＝6代入，即可得出答案．
解：（1）∵v与t是反比例函数关系，
∴设y＝（k≠0），
∵图象过点（2，120），
∴k＝2×120＝240，
∴y与t之间的函数解析式为：y＝；
（2）当t＝6时，y＝＝40，
∵当t＞0时，v随t的增大而减小，
∴当t≤5时，v≥40，
答：平均每天至少要卸载40吨．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．
21．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？

【分析】根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式，令x＝7，求出y的值，与3m比较即可作出判断．
解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（4，4），球出手时的坐标为（0，），
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，
将点（0，）代入可得：16a+4＝，
解得：a＝﹣，
则抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+4．
令x＝7，则y＝﹣×9+4＝3，
∵3m＝3m，
∴此球能准确投中．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力．
22．如图，反比例函数的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，3），点B（﹣3，n）；
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法将点A（1，3），点B（﹣3，n）代入函数关系式求解即可；
（2）求出AB与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可；
（3）根据函数的图象和增减性，直接写成答案．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的关系式为，
又∵一次函数y＝x+b的图象也经过点A（1，3），
∴3＝1+b，
∴b＝2，
∴一次函数的关系式为y＝x+2，
∴一次函数的关系式为y＝x+2，反比例函数关系式为y＝；
（2）把点B（﹣3，n）的坐标代入反比例函数y＝得；
n＝＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣3，﹣1），
直线AB与y轴交于点C，
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
则OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△COB
＝×2×1+×2×3
＝4；
（3）由于一次函数y＝x+2与反比例函数y＝的交点A（1，3），B（﹣3，﹣1），
根据一次函数、反比例函数的增减性可知，
当反比例函数值大于一次函数值时，自变量的取值范围为：x＜﹣3或0＜x＜1，
答：反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜1．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是确定函数关系式的常用方法．
23．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？

【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）令y＝4，解出x与2作比较．
解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6，
又因为点A（0，2）在抛物线上，
所以有2＝a（0﹣4）2+6．
所以a＝﹣．
因此有：y＝﹣（x﹣4）2+6．

（2）令y＝4，则有4＝﹣（x﹣4）2+6，
解得x1＝4+2，x2＝4﹣2，
|x1﹣x2|＝4＞2，
∴货车可以通过．
【点评】此题主要考查了抛物线的性质及其应用，求出横坐标与货车作比较，从而来解决实际问题是解题关键．
24．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米．当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？

【分析】根据题意和图形，可以得到S与x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求得当x取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少．
解：设这个苗圃园的面积为S平方米，
由题意可得，
S＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，
∵平行于墙的一边长＞0米，且不大于18米，
∴0＜30﹣2x≤18，
解得，6＜x≤15，
∴当x＝时，S取得最大值，此时S＝，
答：当x＝时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意列出函数解析式，利用二次函数的性质解答．
25．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：y＝﹣2x+240，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元），解答下列问题：
（1）当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？
（2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，应将销售单价定为多少元？
【分析】（1）根据w＝（x﹣50）•y＝（x﹣50）•（﹣2x+240，用配方法化简函数式求出w的最大值即可．
（2）令w＝2250时，求出x的解即可．
解：（1）w＝（x﹣50）•y＝（x﹣50）•（﹣2x+240）＝﹣2x2+340x﹣12000，
∴w与x的关系式为w＝﹣2x2+340x﹣12000＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∴当x＝85时，w的值最大；
（2）当w＝2250时，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450＝2250，
解这个方程，得x1＝75，x2＝95，
根据题意，x2＝95不合题意应舍去，
∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．
【点评】本题考查的是二次函数和一元二次方程的实际应用．根据题意求出二次函数解析式是解决问题的关键．
26．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）与y轴交于点C，且OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若M（x1，y1），N（5，y2）均在该抛物线上，且y1＜y2，求M点横坐标x1的取值范围；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图象上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标．

【分析】（1）先写出C点坐标，再把C点坐标代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）中求出a得到抛物线解析式，然后把解析式变形为顶点式，从而得到D点坐标；
（2）先求出抛物线的对称轴，再求出N（5，y2）关于直线x＝2的对称点的横坐标为﹣1，然后结合函数图象和二次函数的性质确定x1的取值范围；
（3）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图，先求出B点坐标，再确定直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（t，t2﹣4t+3）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+3），利用三角形面积公式得到S△PBC＝×3×PQ＝（﹣t2+3t），然后根据二次函数的性质解决问题．
解：（1）∵OC＝3，
∴C（0，3），
把C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）得a×（0﹣1）×（0﹣3）＝3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），
即y＝x2﹣4x+3；
∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D的坐标为（2，﹣1）；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴N（5，y2）关于直线x＝2的对称点的横坐标为﹣1，
∵M（x1，y1），N（5，y2）均在该抛物线上，且y1＜y2，
∴﹣1＜x1＜5；
（3）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图，
当y＝0时，（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3，则B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（t，t2﹣4t+3）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，
∴S△PBC＝×3×PQ＝（﹣t2+3t）
＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，S△PBC有最大值，此时P点坐标为（，﹣）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．