2021-2022学年河南省安阳市殷都区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省安阳市殷都区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第届冬奥会将于年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列图形具有稳定性的是(    )

A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形

3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用经测算，一粒芝麻的质量约为，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列长度单位：的三条线段，能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，，，请问添加下列哪个条件不能得≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，是的角平分线，于，，分别是边，上的点，连接，，若，和的面积分别为和，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，周长最小时，，之间的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 计算：______．
12. 若一个多边形的每个外角都是，则它的内角和是______
13. 若分式， ______ ．
14. 若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长是______ ．
15. 如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：
    ；
    ．
17. 解分式方程：．
18. 先化简，再求值：，其中的值从的整数解中选取．
19. 如图，在中，，，是的中点，是的中点，连接并延长至，使，连接，．
    若，则______；
    求证：是等边三角形．

20. 以反映伟大抗美援朝精神为题材的电影长津湖，作为国庆献礼片，截止到年月底，票房已突破亿．电影上映期间，小明和几个同学一起看了这部电影，购票共花了元；年国庆期间，小明也是和这几个同学看了当时很火的一部电影我和我的祖国，购票共花了元．若他们购买我和我的祖国的单价比长津湖的单价低元，问他们购买这两部电影的单价各是多少元？
21. 学习等腰三角形时，大家做过这样一道题目：
    如图，，平分，
    
    求证：．
    受这个题目的启发，丽丽想到了另一种用尺规作角平分线的方法，
    请你帮她完善下面作图步骤：
    已知：如图，．
    
    求作：的平分线．
    作法：在上任取一点；
    在内作，使；
    在上截取______；
    作射线，射线即为所求．
    补全上面作图．保留作图痕迹
    为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．下面给出了不完整的“已知”，请补充完整，并写出证明过程．
    已知：如图，是边上任一点，在内，，是上的点，且____________，作射线．
    求证：平分．
22. 亮亮这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，亮亮发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值不变，于是他把这样的式子命名为等交换对称式．
    他还发现像，等等交换对称式都可以用，表示．例如：，于是，亮亮把和称为基本等交换对称式．
    请根据以上材料解决下列问题：
    代数式，，，中．属于等交换对称式的是______填序号；
    已知．
    若，，求的值；
    若，求的最小值．
23. 在中，，为直线上的一个动点，连接，以为边作等腰三角形，使，，连接．
    
    如图，当点在线段上时，猜想线段，的数量关系为： ______填“”，“”或“”；
    如图，点在线段上时，在的另一侧作，使≌，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
    如图，当点在线段的延长线上时，在的另一侧作，使≌，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：具有稳定性的图形是三角形．
故选：．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、，能组成三角形，故本选项符合题意；
D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意意．
故选：．
三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误，不合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不合题意；
D、，故本选项错误，不合题意；
故选：．
根据完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则，以及积的乘方运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则，以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.原式右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断即可．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
 

8.【答案】 

【解析】解：、添加不能证明≌，故此选项符合题意；
B、添加可利用证明≌，故此选项不符合题意；
C、添加可利用证明≌，故此选项不符合题意；
D、添加可利用证明≌，故此选项不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

是的角平分线，，，
，
在与中，
，
≌，
，
即，
，
，
在与中，
，
≌，
，
又和的面积分别为和，
，
即，
．
故选：．
过点作于点，利用证明≌，≌，进而解决问题．
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
垂直平分，
，，
，
当、、在同一直线上时，最小，最小值为．
周长最小值．
，点是边的中点，
，
，
，即．
故选：．
连接根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为据此解答即可．
本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：多边形每个外角都是，
这个多边形的边上为：，
它的内角和为．
故答案为：．
先用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出边数，再根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，根据多边形的每一个外角的度数与外角和求出边数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，知且．
解得．
故答案是：．
分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当三边是，，时，符合三角形的三边关系，此时周长是；
当三边是，，时，符合三角形的三边关系，此时周长是．
因此等腰三角形的周长为或．
故答案为：或．
本题已知了等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：把沿折叠，点落在点处，
，
当时，如图，则，
，
；
当时，如图，则，
；
点在上，
不存在与平行的情况，
综上所述，或，
故答案为：或．
分三种情况讨论，一是，则，所以，得；二是，则，得；三是由于点在上，所以不存在与平行的情况，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、平行线的性质等知识，正确理解和运用轴对称的性质得到相等的角是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；


． 

【解析】先去括号，再合并同类项，进行计算即可解答；
利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：．
方程两边都乘得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式


．
当，，时分式无意义，
且，为整数，
可以取，
当时，原式． 

【解析】括号内先通分再计算，然后将除法转化为乘法计算，最后选取合适的的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则．
 

19.【答案】 

【解析】解：，，
，
点为的中点，，
，
是等边三角形，
，
点为的中点，
，
故答案为：；
证明：由知，是等边三角形，点为的中点，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形．
利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可知，且，则是等边三角形，得，即可得出结论；
由可知是的垂直平分线，则，且，即可证明结论．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：设购买我和我的祖国的单价为元，则购买长津湖的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：购买我和我的祖国的单价为元，购买长津湖的单价为元． 

【解析】设购买我和我的祖国的单价为元，则购买长津湖的单价为元，由购票总价单价购票数量，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：如图，

故答案为：；
解：已知：如图，是边上任一点，在内，，是上的点，且，作射线．
求证：平分．
证明：，
，
，
，
，
，
即平分．
故答案为：，．
在上截取即可；
先根据平行线的判定方法得到，则根据平行线的性质得到，接着利用得到，所以，从而判断平分．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质．
 

22.【答案】 

【解析】解：由“等交换对称式”的定义可知，是等交换对称式，
故答案为：；
．
，，
又，，


；
，



，
又，
当时，原式的值最小，
因此原式的最小值为．
根据“等交换对称式”的定义进行判断即可；
根据完全平方公式可得，，再根据代入计算即可；
根据完全平方式的非负性进行计算即可．
本题考查完全平方公式，多项式乘多项式以及偶次方的非负性，掌握完全平方公式的结构特征，理解偶次方的非负性是正确解答的前提．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，，
≌，
；
故答案为：；
．
证明：≌，
，，
又，
，
由可知，，
，
，
，
≌，
，
；
，
同可证≌，
，
同理可知，
．
证明≌，由全等三角形的性质得出；
证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
方法同由全等三角形的性质可得出结论．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．