【同步练习】苏科版初一数学上册 第4章《一元一次方程》（能力拔高卷）

这是一份【同步练习】苏科版初一数学上册 第4章《一元一次方程》（能力拔高卷），共24页。
【单元测试】第4章 一元一次方程
（能力拔高卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）.
A．-2 B． C．2 D．0
2．若，那么下列等式一定成立的式（ ）
A． B． C． D．
3．下列运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c B．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b
C．如果，那么a＝b D．如果，那么a＝b
4．若关于x的方程3x+2a＝12和方程2x﹣4＝12的解相同，则a的值为（　　）
A．4 B．8 C．6 D．﹣6
5．下列方程变形正确的是（ ）
A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得
C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化成
6．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7． 如图，宽为50cm的长方形图案由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）

A． B． C． D．
8．新冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
10．如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．已知是关于的一元一次方程，则________________．
12．若与互为相反数，则的值为________．
13．如果与互为相反数，可列方程________，它的解是________．
14．当__________时，方程解是？
15．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”．已知点A、B表示的数分别为﹣2、1，点C为数轴上一动点．
（1）当点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”时，点C表示的数为_______；
（2）若点C从点B出发，沿BA方向运动到点M，在运动过程中有4个时刻使A、B、C三点满足“友好关系”，设点M表示的数为m，则m的范围是_______．
16．如图所示的是由若干个粗细均匀的铁环最大限度地拉伸组成的链条．已知铁环粗1厘米，每个铁环长5厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态，若要组成2米长的链条，则需要______个铁环．

17．如图，在中，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是等腰三角形时，运动时间是_________秒．

18．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为-5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．

（1）求数轴上点B所对应的数b为 _____；
（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．解方程    
（1）    
（2）
（3）3（x﹣2）﹣1=x﹣（2x﹣1）    
（4）
20．若是关于的一元一次方程．   
（1）求的值；
（2）请写出这个方程；
（3）判断，，是不是这个方程的解．
21．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
(1)解方程：．
(2)解关于的方程：．
22．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是，且，现将A，B之间的距离记作BA，定义．
（1）求的值；
（2）求AB的值；
（3）设点P在数轴上对应的数是，当时，求的值
23．公园门票价格规定如下表：
购票张数
张
张
100张以上
每张票的价格
13元
11元
9元

某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人．经估算，若两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
(1)两班各有多少学生？
(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
(3)如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
24．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：

(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？
(2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数．
25．为更好地营造“多读书、读好书、好读书”的书香校园氛围，学校图书馆向出版商邮购某系列图书．相关的书价折扣、邮费如下表所示．（注：总费用=总书价+总邮费）
数量
折扣
邮费
不超过10本
九折
7元
超过10本
八五折
优惠后总书价的10%

(1)已知书的单价为15元，需购书30本.
①若采用分次邮购，每次10本，共需总费用为 元；
②若采用一次性邮购，共需费用为 元.
(2)已知图书馆需购书的总数是10的整数倍，且超过10本．图书馆负责人发现分次邮购所需费用与一次性邮购所需费用相同，求书的单价是多少元？
26．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为．
如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)填空：
①A、B两点之间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　．
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　 　；点Q表示的数为　 　．
③当t＝　 　时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为　 　．
(2)当t为何值时，PQ＝AB．
(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．

答案与解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）.
A．-2 B． C．2 D．0
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得m＝−2．
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
2．若，那么下列等式一定成立的式（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等式的基本性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、若，则，所以，故本选项正确，符合题意；
B、若，则，故本选项错误，不符合题意；
C、若，则，故本选项错误，不符合题意；
D、若，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
3．下列运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c B．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b
C．如果，那么a＝b D．如果，那么a＝b
【答案】C
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A．等式两边都减去c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
B．等式两边都加c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
C．有可能等于0，不能两边都除以，故该选项符合题意；
D．∵c≠0，
∴等式两边乘c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
4．若关于x的方程3x+2a＝12和方程2x﹣4＝12的解相同，则a的值为（　　）
A．4 B．8 C．6 D．﹣6
【答案】D
【分析】先求方程2x﹣4＝12的解，再代入3x+2a＝12，求得a的值．
【详解】解：解方程2x﹣4＝12，得x＝8，
把x＝8代入3x+2a＝12，得：3×8+2a＝12，
解得a＝﹣6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程解的定义．解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题意的理解能力．
5．下列方程变形正确的是（ ）
A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得
C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化成
【答案】D
【分析】根据解方程的过程变形得到结果，即可作出判断．
【详解】A.方程，移项，得，故该选项错误，不符合题意；
B.方程，去括号，得，故该选项错误，不符合题意；
C.方程，未知数系数化为1，得，故该选项错误，不符合题意；
D.方程化成，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质．熟练掌握一元一次方程的解法和等式的性质是解本题的关键．
6．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据解一元一次方程的步骤计算即可求解．
【详解】解：去分母，得：，
移向，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移向，合并同类项，系数化为1．
8． 如图，宽为50cm的长方形图案由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设小长方形的宽为cm，长为cm，根据题意列方程组求解即可．
【详解】设小长方形的宽为cm，长为cm，根据题意得，解得，
一个小长方形的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，能够根据题意列出方程组并准确求解是解题的关键．
8．新冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有50名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则（50−x）人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则（50−x）人生产耳绳，由题意得
1000（50−x）＝2×800x．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
9．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ ）
A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元
C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元
【答案】B
【分析】设签字笔的单价为x元，则笔记本的单价为x元，根据小江身上的钱不变得出方程20x+15x﹣25＝19x+12x+15，整理得x＝10，由小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17x+9x，得出19x+12x +15﹣（17x+9x）＝5x+15，代入计算即可．
【详解】解：设签字笔的单价为x元，则笔记本的单价为x元，
根据题意得：20x+15x﹣25＝19x+12x+15，
整理得：4x＝40，
解得：x＝10，
∵小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17x+9x＝26x，
∴19x+12 x +15﹣26x
＝5x+15
∵x＝10，
∴5x+15＝5×10+15
＝65，
即小江身上的钱会剩下65元；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出方程是解题的关键．
10．如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可．
【详解】解：由题意进行分类讨论：
①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4），

BP＝2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得：；
②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6），

DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即14﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝8（舍去）；
③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7），

DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得t＝；
④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11），

DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即2t﹣14＝t﹣6，
解得：t＝8；
⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14），

BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得：t＝；
综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方形的性质、三角形的面积以及一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论．
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．已知是关于的一元一次方程，则________________．
【答案】3
【分析】根据一元一次方程的定义，可列方程，即可求m的值．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴
解得：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，，利用一元一次方程的定义解决问题是本题的关键．
12．若与互为相反数，则的值为________．
【答案】
【分析】由题意直接根据互为相反数两数相加为0，建立方程并进行求解即可得出a的值．
【详解】解：根据题意得：+=0，
去分母得：，
移项及合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查相反数性质以及解一元一次方程，熟练掌握互为相反数两数相加为0以及解一元一次方程的解法是解题的关键．
13．如果与互为相反数，可列方程________，它的解是________．
【答案】         
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，可列方程3x-1+5=0，再根据一元一次方程的解法即可求解．
【详解】解：与互为相反数，
，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握相反数的定义是列方程的关键，同时考查了一元一次方程的解法．
14．当__________时，方程解是？
【答案】1
【分析】将代入方程，再解一元一次方程即可．
【详解】由题意，将代入得：
两边同乘以6得
去括号得
移项、合并同类项得
系数化为1得
故答案为：1．
【点睛】本题考查了方程的解、解一元一次方程，掌握方程的解法是解题关键．
15．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”．已知点A、B表示的数分别为﹣2、1，点C为数轴上一动点．
（1）当点C在线段AB上，点A是B、C两点的“友好点”时，点C表示的数为_______；
（2）若点C从点B出发，沿BA方向运动到点M，在运动过程中有4个时刻使A、B、C三点满足“友好关系”，设点M表示的数为m，则m的范围是_______．
【答案】     ##﹣    
【分析】（1）根据友好点的定义可得AB＝2AC，经过计算可得答案；
（2）当点C在线段AB上时，存在三个时刻，即AC＝CB或AC＝CB或AC＝2CB时，当点C在点A的左侧时，有两种情况，分别计算出m的值后，根据只有四个时刻，可得m的取值范围．
【详解】解：（1）设点C表示的数为x，则AC＝x+2，AB＝1+2＝3，
∵点A是B、C两点的“友好点”，
∴当AB＝2AC时，则3＝2（x+2），解得x＝﹣0.5，
所以点C表示的数是﹣0.5，
故答案为：﹣0.5；
（2）当点C在线段AB上时，若A、B、C三点满足“友好关系”，
存在三个时刻：
当 AC＝CB时，即AB＝2AC，则3＝2（m+2），解得m＝﹣0.5，
当AC＝CB时，即CB＝2AC，则1－m＝2（m+2），解得m＝﹣1，
当AC＝2CB时，即m+2＝2（1－m）, 解得m＝0，
∴当点C在线段AB上时，m＝﹣0.5或﹣1或0，
当点C在点A的左侧时，有两种情况：
当AB＝2CA时，即3＝2（﹣2－m），解得m＝﹣3.5，
当CB＝2CA时，即1－m＝2（﹣2－m），解得m＝﹣5，
∴当点C在点A的左侧时，m＝﹣3.5或﹣5，
∵只有四个时刻，
∴m的取值范围为﹣5＜m≤0．
故答案为：﹣5＜m≤0
【点睛】本题考查两点间的距离、一元一次方程等知识，熟练掌握线段的和差以及运用一元一次方程是解题关键．
16．如图所示的是由若干个粗细均匀的铁环最大限度地拉伸组成的链条．已知铁环粗1厘米，每个铁环长5厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态，若要组成2米长的链条，则需要______个铁环．

【答案】66
【分析】从铁链第一环开始，把交接处长度算到后面一环，可知除却最后一环长度是5外，其它每环长度为铁环长-2倍的铁环粗，设需要x个铁环，即可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可．
【详解】解：设需要x个铁环，根据题意可知：2米=200厘米，
（x-1）（5-2×1）+5=200
整理，得3x=198
解得x=66，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键找准等量关系列出一元一次方程．本题有点难度，其实，本题只要把交接处划分好，算在后面一环即可找到规律，从而得出方程，解决此类问题最好多结合实际，在日常生活中多观察多思多想．
17．如图，在中，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是等腰三角形时，运动时间是_________秒．

【答案】4
【分析】设运动时间为t秒时，AP=AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为t秒时，AP=AQ，
根据题意得：20-3t=2t，
解得：t=4．
所以，当是等腰三角形时，运动时间是4秒，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为-5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．

（1）求数轴上点B所对应的数b为 _____；
（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数为_____．
【答案】     -2     -3或1##1或-3
【分析】（1）由图1和图2对应的线段成比例可求解
（2）设点P所表示的数为a，分类讨论：①当时，②当时，根据P到A的距离是到B的距离的两倍，可得a的值.
【详解】（1）由图1可得，由图2可得，
∴
∴，
故答案为：-2
（2）设点P所表示的数为a
①当时，PA=2PB，
则，
解得：
②当时，PA=2PB，
则
解得：
∴点P所表示的数为-3或1
故答案为：-3或1
【点睛】本题考查数轴上数的表示，掌握数轴表示数的方法是解题关键
三、解答题（本大题共8小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．解方程    
（1）    
（2）
（3）3（x﹣2）﹣1=x﹣（2x﹣1）    
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）x=2；（4）x=-15
【分析】（1）根据等式的性质，对原方程移项，然后合并同类项，求出方程的解；
（2）根据等式的性质，先将方程中的分母去掉，然后去括号，移项，合并同类项，系数化一，解出方程；
（3）按照去括号法则先将方程中的括号去掉，再根据移项，合并同类项，系数化一解出方程；
（4）先将方程中分母从小数化成整数，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1解出方程．
【详解】解：（1），
移项得：，
合并同类项得：；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：
（4）
整理得：，
去分母得: ,
移项合并得: ,
系数化为1得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的一般步骤，解题中需要注意去分母时找出分母的最小公倍数，并且方程的每一项都要乘；去括号时要注意符号的变化情况．
20．若是关于的一元一次方程．   
（1）求的值；
（2）请写出这个方程；
（3）判断，，是不是这个方程的解．
【答案】（1）；（2）-2x+4=0；（3）是方程的解；不是方程的解；不是方程的解．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可知：a-1≠0，|a|=1，从而可求得a的值；
（2）将a=-1代入方程即可；
（3）将x=2，x=2.5，x=3代入方程进行验证即可．
【详解】（1）根据一元一次方程的定义可知：，，
解得：．
（2）将代入方程得：．
（3）将代入方程，左边，左边右边，所以是方程的解；
将代入方程，左边，左边右边，所以不是方程的解；
将代入方程，左边，左边右边，所以不是方程的解．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的定义，方程的解的定义，掌握方程的解定义是解题的关键．
21．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
(1)解方程：．
(2)解关于的方程：．
【答案】(1)或
(2)见解析
【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．
（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．
【详解】（1）解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
原方程的解是或；
（2）解：当时，原方程无解，
当时，
原方程可化为：，解得；
当时，
当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．
22．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是，且，现将A，B之间的距离记作BA，定义．
（1）求的值；
（2）求AB的值；
（3）设点P在数轴上对应的数是，当时，求的值
【答案】（1）-4，1；（2）5；（3）
【分析】（1）根据非负数的和为0，各项都为0，求出a，b的值即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式计算即可求解；
（3）分三种情况解题，当P在点A左侧时，当P在点B右侧时，当P在A、B之间时，再利用解答即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
解得：，
（2））∵，
∴；
（3）当P在点A左侧时，
当P在点B右侧时，．
∴上述两种情况的点P不存在．
当P在A、B之间时，
∵，
∴．
∴，
即x的值为．
【点睛】本题考查了绝对值问题，有理数的乘方的意义，一元一次方程的解法，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
23．公园门票价格规定如下表：
购票张数
张
张
100张以上
每张票的价格
13元
11元
9元

某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人．经估算，若两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
(1)两班各有多少学生？
(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
(3)如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
【答案】(1)初一（1）班有48人，则初一（2）班有56人
(2)304元
(3)48人买51张票可以更省钱
【分析】（1）若设初（1）班有x人，则初一（2）班有（104-x）人，根据初一（2）班的人数是否超过100张，分类讨论并根据总价钱即可列方程；
（2）由题意可得购买104张票只有9元一张，列式计算即可得到答案；
（3）应尽量设计的能够享受优惠，购买51张票时只有11元一张，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设初一（1）班有x人，则初一（2）班有（104-x）人，
根据题意得，或，
解得：或（不合题意，舍去）
所以初一（1）班有48人，则初一（2）班有56人；
（2）可省钱：（元），
所以可省304元钱；
（3）
要想享受优惠，由（1）可知初一（1）班有48人，元，
但若多买3张票，需要花费元，
∵，
∴48人买51张票可以更省钱．
【点睛】本题考查的是最优化设计问题，一元一次方程的应用，掌握利用一元一次方程解决分段费用问题是本题的关键．
24．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：

(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？
(2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数．
【答案】(1)动点P从点A运动至点C需要19秒；
(2)P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是．
【分析】（1）由路程、速度、时间三者关系分三段求出各段时间，再相加求出总时间为19秒；
（2）由路程、速度、时间三者关系求出P、Q两点相遇的时间为秒，确定相遇点M对应的数是．
【详解】（1）解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，
AO段时间为＝5，OB段时间为=10，BC段时间为=4，
∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19（秒），
答：动点P从点A运动至点C需要19秒；
（2）解：点Q经过8秒后从点B运动到OB段，
而点P经过5秒后从点A运动到OB段，经过3秒后还在OB段，
∴P、Q两点在OB段相遇，
设点Q经过8秒后从点B运动到OB段，再经进y秒与点P在OB段相遇，
依题意得：3+y+2y=10，
解得：y=，
∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+=（秒），
此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+=；
答：P、Q两点相遇时，t的值为秒，相遇点M所对应的数是．
【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用．
25．为更好地营造“多读书、读好书、好读书”的书香校园氛围，学校图书馆向出版商邮购某系列图书．相关的书价折扣、邮费如下表所示．（注：总费用=总书价+总邮费）
数量
折扣
邮费
不超过10本
九折
7元
超过10本
八五折
优惠后总书价的10%

(1)已知书的单价为15元，需购书30本.
①若采用分次邮购，每次10本，共需总费用为 元；
②若采用一次性邮购，共需费用为 元.
(2)已知图书馆需购书的总数是10的整数倍，且超过10本．图书馆负责人发现分次邮购所需费用与一次性邮购所需费用相同，求书的单价是多少元？
【答案】(1)①426；②420.75
(2)书的单价是20元
【分析】（1）①根据表格中不超过10本的方案，可以解答本题；②根据表格中超过10本的方案，可以解答本题；
（2）设书的单价为x元，购书数量10a本(a是大于1的正整数），根据题意两种方案的费用一样建立等式求解即可．
【详解】（1）解：①若采用分次邮购，每次10本，
根据题意有：（元），
②若采用一次性邮购，则
（元），
故答案为：426，420.75；
（2）解：设书的单价为x元，购书数量10a本(a是大于1的正整数），根据题意得：
，
即：，
解得：x=20，
答：书的单价是20元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程求解即可．
26．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为．
如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)填空：
①A、B两点之间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　．
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　 　；点Q表示的数为　 　．
③当t＝　 　时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为　 　．
(2)当t为何值时，PQ＝AB．
(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【答案】(1)①10，3；②，；③2；4；
(2)当t＝1或3时，；
(3)不发生变化，，理由见解析．
【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行求解即可得到结果；③当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等，根据此及②中结论得出方程求解即可；
（2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可；
（3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段MN的长度．
【详解】(1)解：①由题意得：，线段AB的中点为，
故答案为：10，3；
②由题意得：t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：；
故答案为：，；
③∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等，
∴，
解得：，
∴当时，P、Q相遇，
此时，，
∴相遇点表示的数为4；
故答案为：2；4；
(2)解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，
∴，
又∵，
∴，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时，；
(3)解：不发生变化，理由如下：
∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式．