陕西省咸阳市旬邑县底庙中学2021-2022学年九年级上学期第一阶段数学试卷（Word解析版）

这是一份陕西省咸阳市旬邑县底庙中学2021-2022学年九年级上学期第一阶段数学试卷（Word解析版），共22页。试卷主要包含了将方程x2﹣6x+6＝0变形为，矩形具有而菱形不具有的性质是，方程x＝0的根是　 　等内容，欢迎下载使用。

陕西省咸阳市旬邑县底庙中学2021-2022学年九年级上学期第一阶段数学试卷（解析版）
一.选择题（共8小题，每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）
1．已知x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一个根，则下列等式正确的是（　　）
A．a+b+c＝0 B．﹣a+b+c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．﹣a﹣b+c＝0
2．如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠1的度数是（　　）

A．35° B．45° C．50° D．55°
3．将方程x2﹣6x+6＝0变形为（x+m）2＝n的形式，结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝﹣3 C．（x﹣3）2＝0 D．（x﹣3）2＝3
4．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
5．一元二次方程4x2+1＝﹣4x的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2021年3月份该工厂的口罩产量为400万个，5月份产量为600万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．400（1+2x）＝600 B．400（1+x2）＝600
C．400（1+x）2＝600 D．400（1﹣x）2＝600
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC，则BE的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是2，则BD的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．4
二、填空题（共5小题）
9．方程x（x﹣5）＝0的根是　 　．
10．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　 　．
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　 　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

12．对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝　 　．
13．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是　 　．

三、解答题（共13小题，解答应写出过程）
14．用配方法解方程：x2﹣4x+1＝0
15．已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，求代数式1+6m﹣2m2的值．
16．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，∠DBC＝30°，求AC的长和矩形ABCD的面积．

17．先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x值是方程x2+2x﹣3＝0的解．
18．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长．

19．x取何值时，多项式x2﹣6x﹣16的值与4+2x的值互为相反数？
20．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD上，且△BEF是等边三角形．求证：DE＝DF．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2k2＝0．
（1）若x＝1是方程的一个根，求k的值；
（2）求证：不论k取何值，方程总有两个实数根．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．
（1）求∠B的度数：
（2）求证：BC＝3CE．

23．若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
24．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．
（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．
①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长．

26．如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，且DE⊥AF交于点G．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝8，BF＝3，求DE的长．

参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）
1．已知x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一个根，则下列等式正确的是（　　）
A．a+b+c＝0 B．﹣a+b+c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．﹣a﹣b+c＝0
【分析】把x＝﹣1代入方程得到a、b、c的关系，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一个根，
∴a﹣b+c＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠1的度数是（　　）

A．35° B．45° C．50° D．55°
【分析】由菱形的性质得AD∥AB，AC平分∠BAD，再由平行线的性质得∠BAD＝180°﹣∠D＝70°，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥AB，AC平分∠BAD，
∴∠BAD＝180°﹣∠D＝180°﹣110°＝70°，
∴∠1＝∠BAD＝35°．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质以及平行线的性质，熟记菱形的性质是解题的关键．
3．将方程x2﹣6x+6＝0变形为（x+m）2＝n的形式，结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝﹣3 C．（x﹣3）2＝0 D．（x﹣3）2＝3
【分析】利用配方法求解．
【解答】解：x2﹣6x+6＝0，
x2﹣6x+9﹣3＝0，
（x﹣3）2＝3，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．
4．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得出即可．
【解答】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．
5．一元二次方程4x2+1＝﹣4x的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据一元二次方程根的判别式来判断根的情况即可．
【解答】解：一元二次方程4x2+1＝﹣4x变形为4x2+4x+1＝0，
Δ＝16﹣4×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
6．为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2021年3月份该工厂的口罩产量为400万个，5月份产量为600万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．400（1+2x）＝600 B．400（1+x2）＝600
C．400（1+x）2＝600 D．400（1﹣x）2＝600
【分析】根据“2021年3月份该工厂的口罩产量为400万个，5月份产量为600万个”列一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意，得400（1+x）2＝600，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC，则BE的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】首先根据矩形的性质和角平分线的性质得到EA＝DA，从而求得BE，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，
∴∠CED＝∠ADE，
∵ED平分∠AEC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠EDA＝∠AED，
∴AD＝AE＝5，
∴BE＝＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，了解矩形的性质是解答本题的关键，难度不大
8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是2，则BD的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．4
【分析】利用正方形的性质得到OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，利用等角的余角相等可证得∠CON＝∠DOM，则可判断△OCN≌△ODM，所以S△OCN＝S△ODM，从而得到S△ODC＝S四边形MOND＝2，然后利用等腰三角形的面积计算出OD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∵∠CON+∠DON＝90°，∠DOM+∠DON＝90°，
∴∠CON＝∠DOM，
在△OCN和△ODM中，
，
∴△OCN≌△ODM（ASA），
∴S△OCN＝S△ODM，
∴S△OCN+S△DON+S△ODM+S△DON，
即S△ODC＝S四边形MOND＝2，
∵OD•OC＝2，
而OD＝OC，
∴OD＝2，
∴BD＝2OD＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．证明△OCN≌△ODM是解决问题的关键．
二、填空题（共5小题）
9．方程x（x﹣5）＝0的根是　x1＝0，x2＝5　．
【分析】根据x（x﹣5）＝0，推出x＝0，x﹣5＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣5）＝0，
x＝0，x﹣5＝0，
解得：x1＝0，x2＝5，
故答案为：x1＝0，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．
10．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　k≥且k≠2　．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
故答案为：k≥且k≠2．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　AB⊥BC　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

【分析】证DF、EF都是△ABC的中位线，得DF∥BC，EF∥AB，则四边形BEFD为平行四边形，当AB⊥BC时，∠B＝90°，即可得出结论．
【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
当AB⊥BC时，∠B＝90°，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故答案为：AB⊥BC．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形BEFD为平行四边形是解题的关键．
12．对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝　2或4　．
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出x的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：＝x2﹣6（x﹣2）＝4，
即x2﹣6x+8＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得：x＝4或2．
故答案为：2或4．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
13．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是　　．

【分析】将△ABD绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD＝AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．
【解答】解：将△ABD绕点D顺时针旋转90°，得△MCD，如图：

由旋转不变性可得：CM＝AB＝4，AD＝MD，
且∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝AM，
AD最大，只需AM最大，而在△ACM中，AM＜AC+CM，
∴当且仅当A、C、M在一条直线上，即不能构成△ACM时，AM最大，且最大值为AC+CM＝AC+AB＝7，
此时AD＝AM＝，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共13小题，解答应写出过程）
14．用配方法解方程：x2﹣4x+1＝0
【分析】首先把方程移项变形为x2﹣4x＝﹣1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解答】解：移项，得：x2﹣4x＝﹣1，
配方，得：x2﹣4x+（﹣2）2＝﹣1+（﹣2）2，
即（x﹣2）2＝3，
解这个方程，得：x﹣2＝±；
即x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
15．已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，求代数式1+6m﹣2m2的值．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣3m＝2，再把1+6m﹣2m2变形为1﹣2（m2﹣3m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，
∴m2﹣3m﹣2＝0，
∴m2﹣3m＝2，
∴1+6m﹣2m2＝1﹣2（m2﹣3m）＝1﹣2×2＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，∠DBC＝30°，求AC的长和矩形ABCD的面积．

【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，求出OA＝OB＝OC，∠ABO＝60°，根据等边三角形的判定定理得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AO＝BO＝AB＝4，求出AC，根据勾股定理求出BC，再求出矩形ABCD的面积即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OC，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABO＝90°﹣30°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO＝AB＝4，
∴AC＝AO+CO＝2AO＝8，
由勾股定理得：BC＝＝＝4，
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝4×4＝16．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点，能熟记矩形的对角线相等且平分是解此题的关键．
17．先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x值是方程x2+2x﹣3＝0的解．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式＝﹣x2+x，然后解一元二次方程，再根据分式有意义的条件得到x＝﹣3，最后把x＝﹣3代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝﹣x（x﹣1）
＝﹣x2+x，
解方程x2+2x﹣3＝0得x1＝﹣3，x2＝1，
∵要使分式有意义，x﹣1≠0且x﹣2≠0，
∴x的值为﹣3，
当x＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）2+（﹣3）＝﹣12．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了分式的化简求值．
18．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长．

【分析】设正方形的边长为xcm，根据题意知：底面的边长为：（10﹣2x）cm、（6﹣x）cm，根据该底面的面积是24cm2，列出方程并解答即可．
【解答】解：设正方形的边长为xcm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝9（舍去），
答：剪去的正方形的边长为2cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程．
19．x取何值时，多项式x2﹣6x﹣16的值与4+2x的值互为相反数？
【分析】由题意得（x2﹣6x﹣16）+（4+2x）＝0，解方程求出x的值即可．
【解答】解：由题意得：（x2﹣6x﹣16）+（4+2x）＝0，
整理得，x2﹣4x﹣12＝0，
因式分解得，（x+2）（x﹣6）＝0，
则x＝﹣2或x﹣6＝0，
∴x＝﹣2或x＝6．
∴当x取﹣2或6时，多项式x2﹣6x﹣16的值与4+2x的值互为相反数．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD上，且△BEF是等边三角形．求证：DE＝DF．

【分析】证明Rt△ABF≌Rt△CBE，得到AF＝CE，进而得到DE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C＝90°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF，
在Rt△ABF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CBE（HL），
∴AF＝CE，
∴CD﹣CE＝AD﹣AF，
∴DE＝DF．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，根据全等三角形判定证得Rt△ABF≌Rt△CBE是解决问题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2k2＝0．
（1）若x＝1是方程的一个根，求k的值；
（2）求证：不论k取何值，方程总有两个实数根．
【分析】（1）将x＝1代入原方程，解之即可求出k的值；
（2）根据方程的系数结合Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝9k2，结合偶次方的非负性可得出Δ≥0，进而可证出不论k取何值，方程总有两个实数根．
【解答】（1）解：将x＝1代入原方程得1﹣k﹣2k2＝0，
解得：k1＝，k2＝﹣1，
∴若x＝1是方程的一个根，则k的值为或﹣1．
（2）证明：∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2k2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣2k2）＝9k2，
又∵k2≥0，
∴9k2≥0，即Δ≥0，
∴不论k取何值，方程总有两个实数根．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）代入x＝1求出k值；（2）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．
（1）求∠B的度数：
（2）求证：BC＝3CE．

【分析】（1）根据余角的性质得到∠ECF＝∠CAF，求得∠CAD＝2∠DCB，由CD是斜边AB上的中线，得到CD＝BD，推出∠CAB＝2∠B，于是得到结论；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AE⊥CD，
∴∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，
∴∠ECF＝∠CAF，
∵∠EAD＝∠DCB，
∴∠CAD＝2∠DCB，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠B+∠CAB＝90°，
∴∠B＝30°；
（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴AE＝BE，CE＝AE，
∴BC＝3CE．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
23．若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
【分析】分两种情况讨论：①当b＝c时，x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0有两个相等的实数根，此时m＝5，可求b＝c＝4；②当a＝c或b＝c时，x＝5是方程的一个解，此时m＝6，可求三角形的另一条边为4，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，
∴b＝c或a＝b或a＝c，
①当b＝c时，x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0有两个相等的实数根，
∴（m+3）2﹣4（4m﹣4），
解得m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得x＝4，
∴b＝c＝4，
∴△ABC的周长为13；
②当a＝c或b＝c时，x＝5是方程的一个解，
∴m＝6，
∴方程为x2﹣9x+20＝0，
解得x＝4或x＝5，
∴三角形的周长为14；
综上所述：△ABC的周长为13或14．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
24．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．
（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．
①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2018年及2020年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低x元，则每天可售出（200+45x）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为y，
依题意，得：100（1+y）2＝256，
解得：y1＝0.6＝60%，y2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．

（2）①设售价应降低x元，则每天可售出（200+45x）千克；
②依题意，得：（20﹣10﹣x）（200+45x）＝2125，
整理，得：9x2﹣50x+25＝0，
解得：x1＝5，x2＝．
∵要尽量减少库存，
∴x＝5．
答：售价应降低5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长．

【分析】（1）证∠ADB＝∠ABD，则AD＝AB，再由AB＝BC，得AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形，然后由AB＝BC，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OB＝OD，根据DE⊥BC，由直角三角形斜边上的中线性质可得OE＝BD，然后根据勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵DE⊥BC，
∴OE＝BD，
∴BD＝2OE＝6，
在Rt△BED中，BE＝5，由勾股定理得：DE＝＝．
∴线段DE的长为．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
26．如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，且DE⊥AF交于点G．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝8，BF＝3，求DE的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD＝AB，即可得四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等边三角形，则AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代换可得DE＝AH＝8．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）解：延长CB到点H，使BH＝AE＝8，连接AH，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠BAD，
在△DAE和△ABH中，
，
∴△DAE≌△ABH（SAS），
∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，
∵DE＝AF，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝8+3＝11，
∴DE＝11．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．