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辽宁省阜新市太平区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)
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这是一份辽宁省阜新市太平区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年辽宁省阜新市太平区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）
1．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
4．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
5．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
6．（3分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣2，4）
C．（﹣，1）或（，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
8．（3分）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝50米，∠PCA＝44°，则小河宽PA为（ ）米．
A．50sin44° B．50cos44° C．50tan44° D．50tan46°
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有（ ）个等腰直角三角形．
A．2 B．4 C．8 D．16
10．（3分）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）把一元二次方程x（3x+4）＝（2x+1）2化为一般式为 ．
12．（3分）若△ABC∽△DEF，且AB：DE＝2：3，△DEF的面积为9；则△ABC的面积为 ．
13．（3分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是 ．
14．（3分）如图，点M是反比例函数图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P在x轴上，△MNP的面积为2，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标是 ．
16．（3分）如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是 投影．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程：3x2+4x﹣4＝0．
19．（6分）如图，等边△ABC中，边长为8，点D是BC边上的动点，点E、F分别在边AB、AC上，且始终满足∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD＝1，FC＝1.5时，求BE的长．
20．（8分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高．
21．（10分）2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．
（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶贫工程”多少万元？
22．（10分）北京将于2022年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林匹克运动会的国家小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这四张邮票依次分别用字母A，B，C，D表示）
23．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E，OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出使y1＞y2的x取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEP？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
2021-2022学年辽宁省阜新市太平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）
1．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】利用比例线段的定理得到3：2＝6：d，然后利用比例的性质求d即可．
【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d，
所以d＝＝4（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，可得图形：
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．（3分）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
4．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意，利用概率公式即可得方程：＝，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝4．
经检验，x＝4是分式方程的解．
故选：D．
【点评】此题考查了概率公式的应用．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．
【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，
tan∠ACB＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣2，4）
C．（﹣，1）或（，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
【分析】直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，
∴点C对应点C′的坐标为：（﹣2，4）或（2，﹣4）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形，正确掌握对应点变化规律是解题关键．
8．（3分）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝50米，∠PCA＝44°，则小河宽PA为（ ）米．
A．50sin44° B．50cos44° C．50tan44° D．50tan46°
【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APC＝90°，
∵PC＝50米，∠PCA＝44°，
∴tan44°＝，
∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝50•tan44°（米）．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有（ ）个等腰直角三角形．
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD＝OC＝OB，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABC，△BCD，△ADC，△DAB是等腰直角三角形，
故选：C．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定解答．
10．（3分）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【分析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝（m常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．
【解答】解：设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝，
把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：＝，
解得：m＝，
∴反比例函数的解析式是y＝．
当y＝1时，代入上式得t＝，
把t＝时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k＝，
∴正比例函数解析式是y＝t，
A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；
B．药物释放过程中，y与t成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；
C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，
解得：t1＝和t2＝3，
∴t2﹣t1＝，
∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；
D、由题意得＜0.25，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）把一元二次方程x（3x+4）＝（2x+1）2化为一般式为 x2+1＝0 ．
【分析】分别利用去括号法则以及完全平方公式化简后，再移项，合并同类项即可．
【解答】解：x（3x+4）＝（2x+1）2，
3x2+4x＝4x2+4x+1，
3x2﹣4x2+4x﹣4x﹣1＝0，
﹣x2﹣1＝0，
x2+1＝0．
故答案为：x2+1＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
12．（3分）若△ABC∽△DEF，且AB：DE＝2：3，△DEF的面积为9；则△ABC的面积为 4 ．
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝2：3，
∴S△ABC：S△DEF＝4：9．
∵△DEF的面积为9，
∴△ABC的面积＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
13．（3分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，
∴同时转动两个转盘可配成紫色的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，点M是反比例函数图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P在x轴上，△MNP的面积为2，则k的值为 4 ．
【分析】连接OA，由于AB⊥y轴，根据三角形面积公式得到S△OMN＝S△PMN＝2，再根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△OMN＝|k|，所以|k|＝2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OM，如图，
∵MN⊥y轴，即MN∥x轴，
∴S△OMN＝S△PMN＝2，
∵S△OMN＝|k|，
∴|k|＝2，
而k＞0，
∴k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标是 （6，2） ．
【分析】过点B作BD⊥OA于D，由菱形的性质和直角三角形的性质可求AD，BD，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（4，0），
∴OA＝AB＝4，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝60°，
∵BD⊥OA，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，
∴DO＝6，
∴点D坐标为（6，2），
故答案为：（6，2）．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，求出AD，BD的长是解题的关键．
16．（3分）如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是 中心 投影．
【分析】根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影．
【解答】解：因为影子的顶点和大树的顶点的连线不平行，
所以它们的光线应该是灯光的光线．所以是中心投影．
故答案为：中心．
【点评】本题考查了中心投影和平行投影的知识，解题的关键是看光线有没有交点．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算乘方、特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
＝4×+×﹣2×1
＝4×+1﹣2
＝3+1﹣2
＝2．
（2）
＝|1﹣2×|+2﹣（﹣2）﹣1
＝|1﹣|+2+2﹣1
＝﹣1+2+2﹣1
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
18．（6分）解方程：3x2+4x﹣4＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程3x2+4x﹣4＝0，
分解因式得：（3x﹣2）（x+2）＝0，
可得3x﹣2＝0或x+2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（6分）如图，等边△ABC中，边长为8，点D是BC边上的动点，点E、F分别在边AB、AC上，且始终满足∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD＝1，FC＝1.5时，求BE的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质证明∠BED＝∠CDF，进而可得结论；
（2）由（1）△BDE∽△CFD，可得＝，代入值即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠EDF＝60°．
∴∠BDE+∠CDF＝∠BED+∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；
（2）解：∵BD＝1，AB＝BC＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝7，
∵△BDE∽△CFD，
∴＝，
∴＝，
解得：BE＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是得到△BDE∽△CFD．
20．（8分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高．
【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
【解答】解：（1）连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
而∠ABF＝∠CDE＝90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴AB＝8（m）．
答：旗杆AB的高为8m．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
21．（10分）2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．
（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶贫工程”多少万元？
【分析】（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，利用2021年该县计划投入“扶贫工程”的资金＝2019年该县投入“扶贫工程”的资金×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）利用2022年该县将投入“扶贫工程”的资金＝2021年该县投入“扶贫工程”的资金×（1+增长率），即可求出2022年该县将投入“扶贫工程”的资金．
【解答】解：（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%．
（2）144×（1+20%）＝144×1.2＝172.8（万元）．
答：预计2022年该县将投入“扶贫工程”172.8万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）北京将于2022年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林匹克运动会的国家小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这四张邮票依次分别用字母A，B，C，D表示）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的结果有2种，
∴抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E，OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出使y1＞y2的x取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEP？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，再用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设点P的坐标为（0，t），则S△CEP＝CE×OE＝×2×3＝3，而S△ABP＝BP×OA＝|2﹣t|×4＝2|2﹣t|＝3，即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，
故点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，2），
将点A、B的坐标代入直线的表达式，
得，
解得，
故直线AB的表达式为y＝x+2①，
当x＝2时，y＝x+2＝3，故点C（2，3），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，解得m＝6，
故反比例函数的解析式y2＝②；
（2）联立①②并整理得：x2+4x﹣12＝0，解得x＝2或﹣6，
故点D（﹣6，﹣1），
观察函数图象知，y1＞y2的x取值范围是x＞2或﹣6＜x＜0；
（3）设点P的坐标为（0，t），
则S△CEP＝CE×OE＝×2×3＝3，
而S△ABP＝BP×OA＝|2﹣t|×4＝2|2﹣t|＝3，
解得t＝或，
故点P的坐标为（0，）或（0，）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定PB的长度，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2021-2022学年辽宁省阜新市太平区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）
1．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
4．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
5．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
6．（3分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣2，4）
C．（﹣，1）或（，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
8．（3分）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝50米，∠PCA＝44°，则小河宽PA为（ ）米．
A．50sin44° B．50cos44° C．50tan44° D．50tan46°
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有（ ）个等腰直角三角形．
A．2 B．4 C．8 D．16
10．（3分）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）把一元二次方程x（3x+4）＝（2x+1）2化为一般式为 ．
12．（3分）若△ABC∽△DEF，且AB：DE＝2：3，△DEF的面积为9；则△ABC的面积为 ．
13．（3分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是 ．
14．（3分）如图，点M是反比例函数图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P在x轴上，△MNP的面积为2，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标是 ．
16．（3分）如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是 投影．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程：3x2+4x﹣4＝0．
19．（6分）如图，等边△ABC中，边长为8，点D是BC边上的动点，点E、F分别在边AB、AC上，且始终满足∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD＝1，FC＝1.5时，求BE的长．
20．（8分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高．
21．（10分）2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．
（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶贫工程”多少万元？
22．（10分）北京将于2022年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林匹克运动会的国家小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这四张邮票依次分别用字母A，B，C，D表示）
23．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E，OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出使y1＞y2的x取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEP？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
2021-2022学年辽宁省阜新市太平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共30分）
1．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】利用比例线段的定理得到3：2＝6：d，然后利用比例的性质求d即可．
【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d，
所以d＝＝4（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2．（3分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，可得图形：
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．（3分）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
4．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意，利用概率公式即可得方程：＝，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝4．
经检验，x＝4是分式方程的解．
故选：D．
【点评】此题考查了概率公式的应用．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．
【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，
tan∠ACB＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．
7．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C′的坐标为（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣2，4）
C．（﹣，1）或（，﹣1） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
【分析】直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，
∴点C对应点C′的坐标为：（﹣2，4）或（2，﹣4）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形，正确掌握对应点变化规律是解题关键．
8．（3分）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝50米，∠PCA＝44°，则小河宽PA为（ ）米．
A．50sin44° B．50cos44° C．50tan44° D．50tan46°
【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APC＝90°，
∵PC＝50米，∠PCA＝44°，
∴tan44°＝，
∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝50•tan44°（米）．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有（ ）个等腰直角三角形．
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OD＝OC＝OB，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABC，△BCD，△ADC，△DAB是等腰直角三角形，
故选：C．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定解答．
10．（3分）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【分析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝（m常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．
【解答】解：设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝，
把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：＝，
解得：m＝，
∴反比例函数的解析式是y＝．
当y＝1时，代入上式得t＝，
把t＝时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k＝，
∴正比例函数解析式是y＝t，
A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；
B．药物释放过程中，y与t成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；
C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，
解得：t1＝和t2＝3，
∴t2﹣t1＝，
∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；
D、由题意得＜0.25，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）把一元二次方程x（3x+4）＝（2x+1）2化为一般式为 x2+1＝0 ．
【分析】分别利用去括号法则以及完全平方公式化简后，再移项，合并同类项即可．
【解答】解：x（3x+4）＝（2x+1）2，
3x2+4x＝4x2+4x+1，
3x2﹣4x2+4x﹣4x﹣1＝0，
﹣x2﹣1＝0，
x2+1＝0．
故答案为：x2+1＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
12．（3分）若△ABC∽△DEF，且AB：DE＝2：3，△DEF的面积为9；则△ABC的面积为 4 ．
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝2：3，
∴S△ABC：S△DEF＝4：9．
∵△DEF的面积为9，
∴△ABC的面积＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
13．（3分）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏．同时转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，同时转动两个转盘可配成紫色的结果有5种，
∴同时转动两个转盘可配成紫色的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，点M是反比例函数图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P在x轴上，△MNP的面积为2，则k的值为 4 ．
【分析】连接OA，由于AB⊥y轴，根据三角形面积公式得到S△OMN＝S△PMN＝2，再根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△OMN＝|k|，所以|k|＝2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OM，如图，
∵MN⊥y轴，即MN∥x轴，
∴S△OMN＝S△PMN＝2，
∵S△OMN＝|k|，
∴|k|＝2，
而k＞0，
∴k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标是 （6，2） ．
【分析】过点B作BD⊥OA于D，由菱形的性质和直角三角形的性质可求AD，BD，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（4，0），
∴OA＝AB＝4，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝60°，
∵BD⊥OA，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，
∴DO＝6，
∴点D坐标为（6，2），
故答案为：（6，2）．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，求出AD，BD的长是解题的关键．
16．（3分）如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是 中心 投影．
【分析】根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影．
【解答】解：因为影子的顶点和大树的顶点的连线不平行，
所以它们的光线应该是灯光的光线．所以是中心投影．
故答案为：中心．
【点评】本题考查了中心投影和平行投影的知识，解题的关键是看光线有没有交点．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算乘方、特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
＝4×+×﹣2×1
＝4×+1﹣2
＝3+1﹣2
＝2．
（2）
＝|1﹣2×|+2﹣（﹣2）﹣1
＝|1﹣|+2+2﹣1
＝﹣1+2+2﹣1
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
18．（6分）解方程：3x2+4x﹣4＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程3x2+4x﹣4＝0，
分解因式得：（3x﹣2）（x+2）＝0，
可得3x﹣2＝0或x+2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（6分）如图，等边△ABC中，边长为8，点D是BC边上的动点，点E、F分别在边AB、AC上，且始终满足∠EDF＝60°．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD＝1，FC＝1.5时，求BE的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质证明∠BED＝∠CDF，进而可得结论；
（2）由（1）△BDE∽△CFD，可得＝，代入值即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠EDF＝60°．
∴∠BDE+∠CDF＝∠BED+∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；
（2）解：∵BD＝1，AB＝BC＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝7，
∵△BDE∽△CFD，
∴＝，
∴＝，
解得：BE＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是得到△BDE∽△CFD．
20．（8分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高．
【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
【解答】解：（1）连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
而∠ABF＝∠CDE＝90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴AB＝8（m）．
答：旗杆AB的高为8m．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
21．（10分）2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．
（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶贫工程”多少万元？
【分析】（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，利用2021年该县计划投入“扶贫工程”的资金＝2019年该县投入“扶贫工程”的资金×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
（2）利用2022年该县将投入“扶贫工程”的资金＝2021年该县投入“扶贫工程”的资金×（1+增长率），即可求出2022年该县将投入“扶贫工程”的资金．
【解答】解：（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%．
（2）144×（1+20%）＝144×1.2＝172.8（万元）．
答：预计2022年该县将投入“扶贫工程”172.8万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）北京将于2022年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林匹克运动会的国家小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这四张邮票依次分别用字母A，B，C，D表示）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的结果有2种，
∴抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（12分）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E，OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出使y1＞y2的x取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEP？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，再用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设点P的坐标为（0，t），则S△CEP＝CE×OE＝×2×3＝3，而S△ABP＝BP×OA＝|2﹣t|×4＝2|2﹣t|＝3，即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，
故点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，2），
将点A、B的坐标代入直线的表达式，
得，
解得，
故直线AB的表达式为y＝x+2①，
当x＝2时，y＝x+2＝3，故点C（2，3），
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，解得m＝6，
故反比例函数的解析式y2＝②；
（2）联立①②并整理得：x2+4x﹣12＝0，解得x＝2或﹣6，
故点D（﹣6，﹣1），
观察函数图象知，y1＞y2的x取值范围是x＞2或﹣6＜x＜0；
（3）设点P的坐标为（0，t），
则S△CEP＝CE×OE＝×2×3＝3，
而S△ABP＝BP×OA＝|2﹣t|×4＝2|2﹣t|＝3，
解得t＝或，
故点P的坐标为（0，）或（0，）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定PB的长度，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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