北师大版 初中数学 九年级上册 第二章 一元二次方程【专项训练】

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第二章  一元二次方程   压轴题型专项训练（时间：90分钟     分值：100分 ）一、单选题1．多项式的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C2．一个容器盛满纯药液千克，第一次倒出一部分药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满水，此时容器内的纯药液利下千克，那么每次倒出的药液是（   ）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克【答案】B3．若a使得关于x的分式方程 有正整数解，且方程有解,则满足条件的所有整数a的个数为(    )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D4．如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（  ）A．3 B．4 C．2或 4 D．2或3【答案】D5．若a≠b，且则的值为（    ）A． B．1 C．.4 D．3【答案】B6．若，是方程的两个实数根，则的值为   A．2015 B． C．2016 D．2019【答案】C7．对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（ ）A．， B．， C．， D．，【答案】C8．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如下图1，2，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（    ） A．289 B．1225 C．1024 D．1378【答案】B9．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（  ）A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2【答案】A10．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D二、填空题11．已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为______．【答案】0或1或12．在中，，厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为厘米．【答案】13．若，边是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________．【答案】202414．如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形．图中，，，表示折痕，折后的对应点分别是．若，，，则纸片折叠时的长应取________．解：如图，作BP⊥AD，交DA延长线于P，作BQ∥FH，交AD于Q．由题意得，AE=EM=BE=AB=4cm，DG=NG=CG==CD=4cm，AH=MH，BF=MF，∵四边形为矩形，∴EF=HG，EF∥HG∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠EBF=∠GDH=60°∵EF∥HG∴∠EFM=∠GHN，又∵∠EFM=∠EFB，∠GHD =∠GHN，∴∠EFB=∠GHD，∴△BEF≌△DGH,∴DH=BF，∴FH=FM+HM=BF+AH=10cm，∵BQ∥FH，BF∥QH，∴BQ=HF=10cm，∵PD∥BC，∴∠PAB=∠ABC=60°，∴在Rt△ABP中，∠ABP=30°，∴AP=AB=4cm，∴BP=cm，设AH=xcm，则HD=（10-x）cm，∴PQ=14-2（10-x）=（2x-6）cm，在Rt△BPQ中，根据勾股定理得解得（不合题意，舍去）故答案为：15．观察下列图形，第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈，…，第_____个图形中一共有54个小圆圈……按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数是___________．【答案】6        16．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，则；③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，则必有．【答案】②③④17．如图，长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为秒，当________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形．解：如图1，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在RtPQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t＝．如图2，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm．∵DQ＝6﹣t，∴DE＝．∴2t＝，解得：t＝；如图5，当PD＝QD时，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．在RtAPD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1＝，t2＝（舍去）．综上所述：t＝，，，．故答案为：，，，． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为_____．【答案】或1或或．三、解答题19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围．（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得：∵，∴，∴的取值范围是且；（2）∵的取值范围是且，∴的最大整数值为4，当时，原方程可化为：，，或，解得，．20．如图，平行四边形位于直角坐标系中，为坐标原点，点，点交轴于点 动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度终点运动，同时动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为 t（秒）．  （1）用t的代数式表示： ________， ________    （2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．    （3）当恰好是等腰三角形时，求t的值．【解】（1）如图根据题意，可得点B的坐标为(−5，4)，点，∴BD=BC-CD=8-3=5，BE=BD-DE=5－t；OF＝2t故答案为BE=5-t，OF=2t．(2)解：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，，  即，解得，②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，，即，解得；(3)解：当恰好是等腰三角形时，过点B作BJ⊥x轴于J，过点E作EK⊥x轴于K，BE=5-t，EF=，BF=，有以下三种情况：①当时，有=，，解得；②当时，有，△=100-4×3×16=-92＜0，故方程无解；③当时，有，解得；所以，当或时，恰好是等腰三角形．21．返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了瓶免洗抑菌洗手液．（1）当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗衣手液的价格为______元（用含的式子表示）；（2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？解：（1）∵80＜100，∴每瓶洗手液的价格是8元；当x＝150时，每瓶洗手液的价格是：8﹣1＝7（元），当时，每瓶洗手液的价格是：（元），故答案为：8，7，；（2）①0≤x≤100时，8×100＝800＜1250（舍去）；②∵最低价格不能低于每瓶5元，∴，解得，x≤250，∴当100＜x≤250时，．解得，x1＝x2＝250，答：一共购买了250瓶洗手液．22．设m是不小于的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根后．（1）若，求m值；（2）令，求T的取值范围．解：方程由两个不相等的实数根，所以△，所以，又是不小于的实数，．，；（1），，即．整理，得．解得；，所以．（2）．当时，方程为，解得或．此时没有意义．当时，，所以．即且．23．如图，在直角坐标系中，的边，，，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为．（1）求点，的坐标；（2）当为何值时，？此时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．（3）当为何值时，的面积是面积的？解：（1）过点C作CD⊥OA，垂足为D，∵∠AOC=45°，∴△OCD为等腰直角三角形，∵OC=，在△OCD中，，∴OD=CD==8，∴点C坐标为（8，8），∵OA=18，即点A坐标为（18，0），四边形OABC为平行四边形，∴点B坐标为（26，8）；（2）若AP⊥BC，则点P坐标为（18，8），∴CP=18-8=10，∴此时t=10÷2=5s，此时OQ=，同（1）可知点Q此时的坐标为（5，5），∵为顶点的四边形是平行四边形，∴点M的坐标为（5，13）或（5，-3）或（31，3）；（3）由题意可得：OQ=，CP=2t，同（1）可得：点Q的坐标为（t，t），点P的坐标为（8+2t，8），∴△APQ的面积=四边形OABC的面积-△AOQ的面积-△PQC的面积-△ABP的面积==，∵的面积是□OABC面积的，∴，解得：t=3或6，∴当t为3秒或6秒时，的面积是□OABC面积的．24．如图，在矩形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点在坐标轴上，点P在边上，直线，直线．（1）分别求直线与x轴，直线与的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线上的点，若是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）已知矩形的顶点N在直线上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请求出x的取值范围．解：（1）将y=0代入直线l1：当y=0时，2x+1=0，则直线l1与x轴交点坐标为（，0），直线l2：当y=1时，2x-1=1，即x=1，则直线l2与AB的交点坐标为（1，1）；（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴点M不存在；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，∵∠APM=∠APB+∠MPN=90°，∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠MPN，又AP=PM，∠ABP=∠MNP=90°，∴Rt△ABP≌Rt△PNM（AAS），∴AB=PN=2，MN=BP，设M（x，2x-1），则MN=x-2，∴2x-1=2+1-（x-2），∴x=2，∴M（ 2，3）；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，设M1（x，2x-1），过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，同②可得：Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，∴AG1=M1H1=1-（2x-1），∴x+1-（2x-1）=2，解得，x=0，∴M1（0，-1）（不合题意舍去）；设M2（x，2x-1），同理可得x+2x-1-1=2，∴x=，∴M2（，）；综上所述，点M的坐标为（2，3）或（，）；（3）当点N在直线l2上时，∵点N的横坐标为x，∴N（x，2x-1），当点P和点B重合时，P（2，1），∴AP的中点G坐标为（1，1），∵四边形ANPQ是矩形，∴∠ANB=90°，∴NG=AP=1，∴（x-1）2+（2x-1-1）2=1，∴x=（点N在AB上方的横坐标）或x=（点N在AB下方的横坐标），当点P和点C重合时，P（2，0），AP的中点G'坐标为（1，），同理：NG'=AP=，∴（x-1）2+（2x-1-）2=，∴x=（和点N在AB上方构成的四边形是矩形的横坐标）或x=（和点N在AB下方构成的四边形是矩形的横坐标），∴≤x≤或≤x≤．25．数学课本中的作业题作为基础题，在许多题目的解题过程中会用到．如下是一个案例，请完成解答：（1）（课本原题）如图1，在△ABC中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交BC于点D，则△ABD的周长=        ．（2）（条件探究）如图2，正方形ABCD的边长为1，点M在AB边上，点N在BC边的延长线上，且AM=CN，记MN与AC的交点为O，连结DO．①求的值；②试判断DO与MN的位置关系，并说明理由．（3）（讨论应用）将第（2）小题中“点M是AB边上的一个动点”，改为点M是射线AB上的一个动点，其余条件不变，并记MN与射线AC的交点为O，直线DO与射线BC的交点为P，连结MP当CP=AM时，求△BPM的周长．解：（1）∵AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD=DC，∵AB=3，BC=5，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=8，故答案为：8．（2）①如下图，过M作MH//BC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ACB=45°，∵MH//BC，∴∠AHM=∠ACB=45°，∠MHC=∠NCH，∴∠BAC=∠AHM=45°，∴AM=MH，∵AM=CN，∴MH=CN，在△MHO和△NCO中∵,∴△MHO≌△NCO（AAS），∴MO=NO，即；②DO⊥MN，理由如下：如下图，连接DM和DN，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=CD，∠DAM=∠ADC=∠BCD=∠DCN=90°，在△AMD和△CND中∵，∴△AMD≌△CND（SAS）,∴MD=DN，即D在MN的垂直平分线上， 由①得MO=NO，即O在MN的垂直平分线上，∴DO垂直平分MN，即DO⊥MN；（3）当M在线段AB上时，连接MP，由（2）得OD为线段MN的垂直平分线，∴MP=NP,∴△BPM的周长=MB+BP+MP=MB+BP+PN=MB+BC+CN=MB+BC+AM=BC+AB=2；当M在AB的延长线上时，连接MP，由（2）得OD为线段MN的垂直平分线，∴MP=NP,设CP=x，则BP=1+x，∵CP=AM，AM=CN，∴AM=CN=6x，BM=6x-1，BP=PN=6x-x=5x，在Rt△BPM中，根据勾股定理，即，解得，，∵△BPM的周长=BM+BP+MP=6x-1+x+1+5x=12x,∴△BPM的周长为6或4；综上所述△BPM的周长2或4或6．