《高考总复习》数学第八章第7讲空间角的计算[配套课件]

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这是一份《高考总复习》数学第八章第7讲空间角的计算[配套课件]，共45页。PPT课件主要包含了0°90°，二面角，直二面角，题组一，走出误区，题组二，走进教材，答案A，题组三，真题展现等内容，欢迎下载使用。

1.异面直线所成的角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′.那么直线 a′与 b′所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所
成的角(或夹角)，其范围是_______________.
2.直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于 0°.(2) 如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于
(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.
从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做__________.
1.(多选题)下列结论错误的是(
A.两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角B.若两平面的法向量平行，则两平面平行C.直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角D.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角答案：ACD
2.(选修2－1P104第2题改编)平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则平面α的法向量 u 可以是__________.
答案：(0,1，－1)
4.(必修2P117A 组第4 题)如图8-7-1所示，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，则棱长为2 ，则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为________.图 8-7-1
解析：方法一，如图 D82，以 C 为原点建立直角坐标系，
5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为________.
解析：建立空间直角坐标系如图 D83，
设正方体的棱长为2，则D(2,0,0)，A1(0,0,2)，E(0,2,1)，
线面所成角的计算自主练习
解析：方法一，连接A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，所以C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，
方法二，如图 D84，以 A 为原点，AB，AD，AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，图 D84
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则
D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________.
解析：如图 D85，建立空间直角坐标系 D-xyz，则 D1(0,0,1)，
C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，
设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
解析：取 A1C1 的中点为 E，AC 的中点为 F，并连接 EF，则 EB1，EC1，EF 三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图 D86 所示空间直角坐标系，图 D86
设 AB＝2，则 AA1＝2
【题后反思】求直线与平面所成的角，大致有两种基本
(1)传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.
(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.
[例 1](2020 年全国Ⅰ)如图 8-7-2，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE＝AD .ABC 是底面的内
接正三角形，P 为 DO 上一点，PO＝
(1)证明：PA ⊥平面 PBC；(2)求二面角 B-PC-E 的余弦值.图 8-7-2
(2)解：过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO⊥平面ABC，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴，OD 为 z 轴建立如图 8-7-3 所示的空间直角坐标系，
【题后反思】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：
①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法.(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.
(2019年全国Ⅰ)如图874，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值.
⊙利用空间向量求空间角[例 2](2020 年新高考Ⅰ)如图 8-7-5，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面 ABCD.设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l.(1)证明：l⊥平面 PDC；(2)已知 PD＝AD＝1，Q 为 l 上的点，求
PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值.
(1)证明：在正方形 ABCD 中，AD∥BC，因为 AD 平面 PBC，BC⊂平面 PBC，所以 AD∥平面 PBC，
又因为 AD⊂平面 PAD ，平面 PAD ∩平面 PBC＝l，所以 AD∥l，
因为在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，所以
AD⊥DC，∴l⊥DC，
且 PD⊥平面 ABCD，所以 AD⊥PD，∴l⊥PD，因为 CD∩PD＝D，所以 l⊥平面 PDC.
【策略指导】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.