2022-2023学年湖北省恩施州恩施市四校联考九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年湖北省恩施州恩施市四校联考九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 一元二次方程的根的情况为(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根

3. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

4. 若一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一根，则这个三角形的周长为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

5. 二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴为直线
C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小

6. 若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或

10. 用配方法解一元二次方程时可配方得(    )

A.  B.  C.  D.

11. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格六月底是元升，八月底是元升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：；；若，则或；其中正确的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 二元一次方程的二次项系数是______，一次项系数是______常数项是______．
14. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为______．
15. 二次函数顶点为部分图象如图所示，则：
    二次函数的顶点为______；
    不等式的解集是______．

16. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于若我们规定一个新数，使其满足即方程有一个根为，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数，我们可以得到，同理可得，，，那么的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
     
18. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    若该方程有两个实数根，求的取值范围；
    若方程的两个实数根为，，且，求的值．
19. 本小题分
    已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点、左右，与轴交于点．
    请画出抛物线的大致图象，并直接写出、、、四点的坐标；
    当时，的取值范围是______直接写出结果．

20. 本小题分
    已知、、分别是中、、所对的边，且关于的方程有两个相等的实数根，试判断的形状．
21. 本小题分
    某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形土地做养鸡场．如图所示，养鸡场一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门不包括篱笆求这个养鸡场的长和宽．

22. 本小题分
    如图所示，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．如果点，同时出发秒后的面积为．
    求与的函数关系式，并写出的取值范围；
    几秒时，的面积为？

23. 本小题分
    某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系，部分数据如下表：

求出与之间的函数表达式；不需要求自变量的取值范围
该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

24. 本小题分
    如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点，点坐标为，，，点为抛物线的顶点．
    求抛物线的解析式；
    在直线的上方抛物线上是否存在一点，使得面积最大，若存在，求点的坐标．不存在，说明理由．
    为坐标平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
    若抛物线上有且仅有三个点、、使得、、的面积均为定值，求出定值及、、这三个点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，含有两个未知数，故不是一元二次方程；
B、，是一元二次方程，故此选项正确；
C、，当时，是一元二次方程，故C错误；
D、，是分式方程，故D错误．
故选：．
根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
利用一元二次方程根的判别式，得出时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．确定住，，的值，代入公式判断出的符号．
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的应用在中考中是热点问题，特别注意运算的正确性．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是．
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于，得到的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以不为．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且
且，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：由方程可得，
或，
当时，、、构不成三角形，舍去；
当时，三角形的周长为；
故选：．
解方程求得根之后，由三角形三边间的关系可得答案．
本题主要考查解方程的能力和三角形三边间的关系，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：二次函数，
，该函数的图象开口向下，故选项A正确；
对称轴是直线，故选项B错误；
顶点坐标为，故选项C错误；
当时，随的增大而增大，故选项D错误；
故选：．
根据二次函数和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
对称轴为直线；
，
在对称轴的左侧，随的增大而减小．
关于对称轴的对称点为，且，
．
故选：．
由，两点的纵坐标相同，可得，两点关于对称轴对称，可求对称轴为直线，根据二次函数的对称性和增减性即可判断．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，利用了二次函数的对称性和增减性．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据“左加右减，上加下减”的平移规律知：将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线的解析式为．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

8.【答案】 

【解析】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于，与轴交于点，由二次函数可知，抛物线与轴交于和，顶点为，
、、不可能，
选项B中，由直线经过一、三、四象限可知，由抛物线可知开口向下，顶点在的正半轴，则，故B有可能；
故选：．
根据二次函数的图象和一次函数与轴，与轴的交点可得相关图象进行判断．
本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，函数图象与坐标轴的交点，以及函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是抛物线与轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
根据和两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．
【解答】

解：当时，函数解析式为：是一次函数，图象与轴有且只有一个交点，
当时，函数为二次函数，
函数的图象与轴有且只有一个交点，
，
解得，或．

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选B．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把常数项移项、二次项系数化，然后左右两边加上一次项系数一半的平方．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意得，
故选：．
利用该地号汽油八月底的价格该地号汽油六月底的价格该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，对称轴在轴左边，与轴交于负半轴，
，，，
，
故结论错误；
二次函数的图象与轴交于，顶点是，
抛物线与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，
当时，，
故结论正确；
由题意可知对称轴为：直线，
，
，
把，代入得：
，
，
解得或，
当，则或，
故结论正确；
把，代入得：
，，，
，
，
，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，
故选：．
由抛物线的开口方向、对称轴以及与轴的交点，可得、、的符号，进而可得的符号，结论错误；
由抛物线与轴交于，顶点是，可判断出抛物线与轴的另一个交点为，当时，，结论正确；
由题意可知对称轴为：直线，即，得，把，代入并化简得：，解得或，可判断出结论正确；
把，代入并计算可得，由对称轴可得，，由可得，再计算的值，可判断错误．
本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，观察函数图像结合二次函数图形与系数关系，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 

13.【答案】     

【解析】解：方程整理得：，
二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
故答案为：；；．
方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

14.【答案】 

【解析】解：是方程的根，
，
，
，
，是方程的两个实数根，
，
．
故答案为．
先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

15.【答案】  或 

【解析】解：二次函数顶点为，
二次函数的对称轴直线为，
二次函数的图象与轴交点为，
二次函数的图象与轴另一交点为，
设二次函数的解析式为，
二次函数的图象与轴相较于，
，
，
二次函数的解析式为，
顶点坐标为，
故答案为：；
由函数图象可知，不等式的解集是或，
故答案为：或．
根据抛物线的对称轴和抛物线过点求出抛物线与轴的另一交点坐标，然后把抛物线设成交点式，再把代入解析式即可求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标；
根据函数的图象以及图象与轴的交点即可得出结论．
本题考查二次函数的性质以及二次函数与不等书组，关键是求出二次函数的解析式．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意有，，，，
，
原式．
故答案为：．
根据，，，，，进而得出进而求出即可．
此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，；
，
，
，
或，
，；
，
，
，，，
，
，
，；
，
，，，
，
原方程没有实数根． 

【解析】根据配方法解一元二次方程即可；
根据因式分解法解一元二次方程即可；
根据公式法解一元二次方程即可；
根据公式法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：该方程有两个实数根，
，
；

方程的两个实数根为，，
，，
，
解得或，
，
． 

【解析】由方程有实数根即可得出，解之即可得出的取值范围；
根据根与系数的关系可得出、，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再由中的取值范围即可确定的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；由根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
 

19.【答案】． 

【解析】解：当时，，则，
，
顶点的坐标为，
当时，，解得，，
，，
如图，

当时，；当时，，
而时，有最小值，
所以当时，的取值范围是．
故答案为：．
先计算得到，则点坐标为，再把一般式配成顶点式得到顶点的坐标为，接着解方程得，，然后利用描点法画出函数图象；
先计算出和对应的函数值，然后结合函数图象写出当时对应的取值范围．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

20.【答案】解：的方程有两个相等的实数根，
，且，即．
，
则，
，
或，
，或．
此三角形为等腰三角形． 

【解析】根据题意可知，即可推出，通过整理可推出，且，即可推出、，此三角形为等腰三角形．
本题主要考查根的判别式，关键在于根据题意推出，然后进行正确的整理．
 

21.【答案】解：设，则．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：这个养鸡场的长是，宽是． 

【解析】设，则，利用矩形的面积计算公式，结合养鸡场的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙长，即可确定养鸡场的长和宽．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：当运动时间为秒时，，，
．
又，
，
．
与的函数关系式为．
依题意，得：，
即，
解得：，．
答：秒或秒时，的面积为． 

【解析】当运动时间为秒时，，，利用三角形面积的计算公式，即可找出与的函数关系式，再结合，即可得出的取值范围；
由的结论结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出与的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
，
解得，，
即与之间的函数表达式是；
，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为元；
由题意可得，
，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：售价定为元可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据题意和表格中的数据可以得到与之间的函数表达式；
根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
根据题意，可以得到与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
 

24.【答案】解：由，，得到，，
设抛物线解析式为，
把代入得：，即，
则抛物线解析式为；
存在，理由如下：如图，过点作轴交于点，

点是抛物线的顶点，
，
，
直线的解析式为：．
设点的横坐标为，
，，
，
．
，
当时，的最大值为，此时．
抛物线，
，
当四边形是平行四边形时，由，，
，，
即，，
，，
；
当四边形是平行四边形时，由，，得到；
，，
即，，
，，
；
当四边形是平行四边形时，由，，得到；
，，
即，，
，，
；
综上，符合题意的点的坐标为：或或；
设直线解析式为，
把，代入得：，
解得：，
，
设与直线平行的解析式为，
联立得：，
消去得：，
当直线与抛物线只有一个公共点时，，
解得：，即，
此时交点坐标为；
设该直线与轴交于点，则；
，
将直线向下平移个单位，得出另一条直线的解析式为：，
令，
解得或，
，，
此时． 

【解析】由与的长，确定出与的坐标，再由坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；
设点的横坐标为，过点作轴交于点，根据三角形的面积公式进行求解，再利用二次函数的性质可得出结论；
分三种情况讨论：当四边形是平行四边形；当四边形是平行四边形；四边形是平行四边形时，利用平移规律确定出坐标即可；
由与坐标确定出直线解析式，求出与直线平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线解析式，进而确定出另一条与直线平行且与距离相等的直线解析式，确定出所求坐标，且求出定值的值即可．
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．