2021-2022学年四川省乐山市井研县八年级（上）期末数学试卷-（含解析）

2021-2022学年四川省乐山市井研县八年级（上）期末数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 下列实数中，是无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算结果正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 某校对名女生的身高进行了测量，身高在单位：这一小组的频率为，则该组的人数为

A.  B.  C.  D.

4. 估计的值在

A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间

5. 下列命题是假命题的是

A. 等底等高的两三角形面积相等
B. 两个全等三角形的面积相等
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 等腰三角形的顶角角平分线与底边上的高线互相重合

6. 在下列四组数中，不是勾股数的一组数是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7. ，则括号内应填的代数式是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，的垂直平分线交于点若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知点、、、在同一直线上，，，添加下列条件后，仍不能判断的是

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于、的恒等式为

A.
B.
C.
D.
 

11. 已知：，则是位正整数．

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

13. 的算术平方根是______．
14. 某人身份证号码是，则他出生于______月．
15. 若，，则______．
16. 如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为米，问船向岸边移动了______米．
17. 如图，与全等，点和点是对应点，，，则的长等于______．
    
    
     

18. 动手操作：在长方形纸片中，，如图所示，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动．若限定点、分别在、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为______．

三．解答题（本题共10小题，共96分）

19. 计算：．
20. 因式分解：
    ；
    ．
21. 先化简再求值：已知，求的值．
22. 如图，已知，点为上一点．
    画，垂足为；
    画的平分线，交于；
    过点画，交于点注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹
23. 为了了解届某校男生报考中考体育测试项目的意向，某校课题研究小组从毕业年段各班男生随机抽取若干人组成调查样本，根据收集整理到的数据绘制成以下不完全统计图．根据以上信息，解答下列问题：
    该小组采用的调查方式是______，被调查的样本容量学生人数是______，在扇形统计图中，类所在扇形的圆心角为______度；
    请补充完整图中的条形统计图和扇形统计图请标上百分率；
    该校共有名初三男生，请估计报考类的男生人数．

24. 已知：的立方根是，的算术平方根是，求：
    、的值；
    的平方根．
25. 如图：正方形网格中每个小方格的边长为，且点、、均为格点．
    求的面积；
    通过计算判断的形状；
    求边上的高．
    
     

26. 如图，在中，，点为的中点，且平分，的延长线交于点．
    求证：．

27. 请看下面的问题：把分解因式．
    分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
    世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得
    人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解．
    ；
    ．
28. 如图，和都是等边三角形，连接与，延长交于点．
    证明：；
    求的度数；
    连接，求证：平分．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】

【解析】解：根据题意知，该组的人数为人．
故选：．
利用总数乘以对应频率即可得．
此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率频数总数．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，
，
故选：．
先确定的范围，再根据不等式的性质确定的范围，即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小和不等式的性质，关键是确定的范围．
 

5.【答案】

【解析】解：、等底等高的两三角形面积相等，是真命题；
B、两个全等三角形的面积相等，是真命题；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
D、等腰三角形的顶角角平分线与底边上的高线互相重合，是真命题；
故选：．
利用全等三角形和等腰三角形的性质分别判断即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形和等腰三角形的性质，难度不大．
 

6.【答案】

【解析】解：、，是勾股数，不符合题意；
B、，是勾股数，不符合题意；
C、，是勾股数，不符合题意；
D、，不是勾股数，符合题意．
故选：．
欲判断三个数是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

7.【答案】

【解析】解：根据分析，式子可转换为，
故选：．
本题可对式子进行转换，转换为，进行求解即可．
本题考查整式除法的应用，弄清被除式、除式与商三者之间的关系是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形外角的性质得到，根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质证得是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、 注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据等式的性质可得 ，然后利用 、 、 、 进行分析即可．
【解答】
解： ，
，
，
A. 添加 可利用 定理判定 ≌ ，故此选项不合题意；
B. 添加 可利用 定理判定 ≌ ，故此选项不合题意；
C. 添加 可证出 ，可利用 定理判定 ≌ ，故此选项不合题意；
D. 添加 不能判定 ≌ ，故此选项符合题意；
故选 D ．   

10.【答案】

【解析】解：方法一阴影部分的面积为：，
方法二阴影部分的面积为：，
所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于、的恒等式为．
故选：．
用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关系，即可直观地得到一个关于、的恒等式．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是用两种方法正确的表示出阴影部分的面积．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故是位正整数．
故选：．
利用积的乘方的法则进行求解即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与灵活运用．
 

12.【答案】

【解析】解：连接，如图，
四边形是正方形，
，．
又，
≌．
．

所以最小值等于最小值．
作点关于的对称点点，如图，
连接，则、、三点共线，
连接，与的交点即为所求的点．
根据对称性可知，
所以．

在中，
最小值为．
故选：．
连接，利用≌转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
 

13.【答案】

【解析】解：，
的算术平方根是．
故答案为：．
本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
算术平方根的概念易与平方根的概念混淆．弄清概念是解决本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意，分析可得身份证的第到位这个数字为该人的出生、生日信息，
身份证号码是，其至位为，
他出生于月．
故答案为：．
身份证前六位为所在地的编号，接下来四位是出生年份，后边两位为出生的月份，据此可以得到答案．
本题考查了用数字表示事件，解答时可联系生活实际根据身份证号码的信息去解．
 

15.【答案】

【解析】解：当，时，
．
故答案为：．
利用同底数幂的除法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则并灵活运用．
 

16.【答案】

【解析】解：在中：
，米，米，
米，
米，
米，
米，
答：船向岸边移动了米，
故答案为：．
在中，利用勾股定理计算出长，再结合长利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

17.【答案】

【解析】解：≌，，，
，，
，
故答案为：．
根据全等三角形的对应边相等得到，，结合图形计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：当与重合时，，
，
当与重合时，，
由勾股定理，得，
最远是，最近是，点在边上可移动的最大距离为，
故答案为．
根据翻折的性质，可得与的关系，根据线段的和差，可得，根据勾股定理，可得，根据线段的和差，可得答案．
本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．
 

19.【答案】解：原式

．

【解析】根据积的乘方、整式的乘除即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：

；


．

【解析】先提公因式，再利用平方差公式，继续分解即可解答；
先提公因式，再利用完全平方公式，继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

21.【答案】解：

，
当时，原式


．

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】利用过直线外一点作直线的垂线画于；
根据基本作图作已知角的平分线作平分；
作可得到．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

23.【答案】抽样调查   

【解析】解：该小组采用的调查方式是：抽样调查，
被调查的样本容量是：人，
类所在扇形的圆心角为：．
故答案为：抽样调查，，；
如图所示：
类人数：人，
类所占百分比：，
类所占百分比：，

估计报考类的男生人数约为：人．
根据类的人数人占总体的进行计算样本总人数；
根据中所求数据，即可得出类人数，以及各类在扇形统计图中所占的百分比；
根据中的数据即可估计名初三男生中报考类的男生人数．
本题考查了条形图与扇形图综合应用，培养学生从统计图中获取信息的能力，绘图的技能，本试题突出考查学生在学习数学和运用数学解决问题过程中最为重要的也是必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能．强化对数学通性通法的考查．
 

24.【答案】解：依题意
，
解得：；
，的平方根是．
即的平方根是．

【解析】利用立方根，算术平方根的定义求出与的值即可；
把与的值代入原式，求出平方根即可．
本题主要考查的是算术平方根、平方根、立方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
 

25.【答案】解：的面积；
由勾股定理得：，
，
，
，
是直角三角形，，
是直角三角形；
，，是直角三角形，
边上的高．

【解析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；
由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；
由三角形的面积即可得出结果．
 

26.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】证明≌，即可得出结论．
本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

27.【答案】解：原式；
原式．

【解析】原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；
原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

28.【答案】证明：如图，和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
．
解：如图，由得≌，
，
，
，
．
证明：如图，作于点，交的延长线于点，则，
由≌得，
在和中，
，
≌，
，
点在的平分线上，
平分．

【解析】由和都是等边三角形得，，，所以，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得；
由≌得，因为，所以，所以；
作于点，交的延长线于点，则，即可证明≌，则，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”即可证明平分．
此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上等知识，证明三角形全等是解题的关键．