广东省中山市2022年八年级上学期期末数学试题解析版

 八年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列图形是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

2．在人体血液中，红细胞的直径为0.00077cm，数0.00077用科学记数法表示为（　　）

A．7.7×10﹣4 B．0.77×10﹣5 C．7.7×10﹣5 D．77×10﹣3

3．点（﹣3，﹣2）关于x轴的对称点是（　　）

A．（3，﹣2） B．（﹣3，2）

C．（3，2） D．（﹣2，﹣3）

4．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）  

A．4 B．5 C．6 D．7

5．分式的值为0，则（　　）

A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝±2

6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，若沿图中虚线截去∠A，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．90° B．180° C．270° D．300°

7．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（　　）

A．E为BC中点 B．2BE＝CD

C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE

8．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）

A．＝ B．

C．＝﹣40 D．＝

9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）

A．4 B．6 C．3 D．12

10．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（　　）元．

A．75a B．50a C．a D．150a

二、填空题

11．计算：6m6÷（﹣2m2）3＝　     　．

12．已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是　     　三角形．

13．当a＝4b时，的值是　     　．

14．方程 ＝ +3的解是　     　.  

15．如图，点C，F在BE线段上，∠ABC＝∠DEF，BC＝EF，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，你添加的条件是　                                   　（只需填一个答案即可）．

16．如图，已知线段AB与CD相交于点E，AC＝AD，CE＝ED，则图中全等三角形有　     　对．

17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序号是　     　.

①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH.

三、解答题

18．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．

19．先化简，再求值：，其中x＝2﹣．

20．等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长.

21．如图，已知△ABC．

（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积．

22．如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）．

（1）请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）；

（2）根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．

23．已知，如图，△ABC为等边三角形，延长△ABC的各边，使得AE＝CD＝BF，顺次连接D，E，F，得到△DEF，求证：∠DEF＝60°．

24．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，．假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：＝＝1﹣．根据以上材料，解决下列问题：

（1）分式是　     　（填“真分式”或“假分式”）；

（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式；

（3）当x取什么整数时的值为整数．

25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．

（1）求∠ADB的度数；

（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．

答案解析部分

1．【答案】D

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D．是轴对称图形，故本选项符合题意．

故答案为：D．

【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.

2．【答案】A

【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数

【解析】【解答】解：0.00077＝7.7×10﹣4．

故答案为：A．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.

3．【答案】B

【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征

【解析】【解答】解：点（﹣3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为：（﹣3，2）．

故答案为：B．

【分析】关于x轴的对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答即可.

4．【答案】B

【知识点】多边形内角与外角

【解析】【解答】设这个多边形的边数为n,

∴（n-2）×180°=540°

解得n=5

故答案为：B．

【分析】根据内角和公式即可求解．

5．【答案】B

【知识点】分式的值为零的条件

【解析】【解答】解：由题意得：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，

解得：x＝﹣2，

故答案为：B．

【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.

6．【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角

【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠B+∠C＝180°﹣90°＝90°，

又∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，

∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．

故答案为：C．

【分析】根据三角形的内角和求出∠B+∠C=90°，由四边形的内角和可知∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，从而求解.

7．【答案】D

【知识点】直角三角形全等的判定（HL）

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝∠CED＝90°

在Rt△ABC与Rt△CDE中，，

∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），

∴CB＝DE，CE＝AC，CD＝AB，△ABC≌△CDE，故D符合题意，其他选项不符合题意

故答案为：D．

【分析】根据HL证明Rt△ABC≌Rt△CDE，可得CB＝DE，CE＝AC，CD＝AB，据此逐一判断即可.

8．【答案】D

【知识点】分式方程的实际应用

【解析】【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，

依题意得：．

故答案为：D．

【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据“ 快递公司的快递员人数不变 ”列出方程即可.

9．【答案】B

【知识点】垂线段最短；三角形内角和定理；角平分线的性质

【解析】【解答】解：∵BD⊥CD，

∴∠BDC＝90°，

∴∠C+∠CBD＝90°，

∵∠A＝90°

∴∠ABD+∠ADB＝90°，

∵∠ADB＝∠C，

∴∠ABD＝∠CBD，

当DP⊥BC时，DP的长度最小，

∵AD⊥AB，

∴DP＝AD，

∵AD＝6，

∴DP的最小值是6，

故答案为：B．

【分析】利用余角的性质可得∠ADB＝∠C＝∠CBD，当DP⊥BC时，DP的长度最小，根据角平分线的性质可得DP＝AD=6.

10．【答案】A

【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形

【解析】【解答】解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，

∵∠ABC＝150°，

∴∠DBC＝30°，

∵CD⊥BD，BC＝15米，

∴CD＝7.5米，

∵AB＝10米，

∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），

∵每平方米售价2a元，

∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），

故答案为：A．

【分析】作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=BC=7.5米，由S△ABC＝AB×CD求出三角形的面积，再乘以2a即可得解.

11．【答案】

【知识点】单项式除以单项式；积的乘方

【解析】【解答】解：原式＝6m6÷（﹣8m6），

＝．

故答案为：．

【分析】先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可得解.

12．【答案】等腰

【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：由a2﹣b2＝c（a﹣b），

（a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），

（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，

（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，

∵三角形两边之和大于第三边，即a+b＞c，

∴a+b﹣c≠0，

∴a﹣b＝0，即a＝b，

即△ABC一定是等腰三角形．

故答案为：等腰．

【分析】由a2﹣b2＝c（a﹣b）可得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，根据三角形两边之和大于第三边可得a+b﹣c≠0，即得a=b，根据等腰三角形的判定定理即证.

13．【答案】

【知识点】代数式求值

【解析】【解答】解：因为a≠0，b≠0，把a＝4b代入得，

＝ ，

故答案为：．

【分析】将a=4b代入计算即可。

14．【答案】x＝1

【知识点】解分式方程

【解析】【解答】解：去分母得：6x（1﹣2x）＝1+2x+3（1+2x）（1﹣2x），

整理得：6x﹣12x2＝1+2x+3﹣12x2，

解得：x＝1，

经检验x＝1是分式方程的解.

故答案为：x＝1

【分析】将原方程去分母，去括号、移项、合并同类项、再将未知数系数化为1，求得x的值，最后检验即可.

15．【答案】AB＝DE（或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE）

【知识点】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：添加条件AB＝DE可使得△ABC≌△DEF，

在△ABC与△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

添加条件∠A＝∠D可使得△ABC≌△DEF，

在△ABC与△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF（AAS），

添加条件∠ACB＝∠DFE可使得△ABC≌△DEF，

在△ABC与△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

故答案为：AB＝DE（或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE）．

【分析】利用全等三角形的判定方法求解即可。

16．【答案】3

【知识点】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：在△ACE和△ADE中，

，

∴△ACE≌△ADE（SSS），

∴∠CAE＝∠DAE，

在△CAB和△DAB中，

∴△CAB≌△DAB（SAS），

∴BC＝BD，

在△BCE和△BDE中，

∴△BCE≌△BDE（SSS）．

∴图中全等三角形有3对．

故答案为：3．

【分析】利用三角形全等的判定方法求解即可。

17．【答案】①②③

【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；角平分线的定义

【解析】【解答】解：∵BE是中线，

∴AE=CE，

∴△ABE的面积=△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；

∵CF是角平分线，

∴∠ACF=∠BCF，

∵AD为高，

∴∠ADC=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°，

∴∠ABC=∠CAD，

∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，

∴∠AFG=∠AGF，故②正确；

∵AD为高，

∴∠ADB=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，

∴∠ACB=∠BAD，

∵CF是∠ACB的平分线，

∴∠ACB=2∠ACF，

∴∠BAD=2∠ACF，

即∠FAG=2∠ACF，故③正确；

根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④错误；

故答案为：①②③.

【分析】①根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S△ABE=S△BCE；
②由角平分线的定义可得∠ACF=∠BCF，由同角的余角相等可得∠ABC=∠CAD，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，于是结论∠AFG=∠AGF可得证；
③由同角的余角相等可得∠ACB=∠BAD，由角平分线的定义可得∠ACB=2∠ACF，代入即可得∠BAD=∠FAG=2∠ACF；
④根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH.

18．【答案】解：x3﹣2x2y+xy2，

=x(x2﹣2xy+y2)，

=x(x﹣y)2．

【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可。

19．【答案】解：原式＝﹣

＝﹣+

＝，

当x＝2﹣时，

原式＝﹣＝．

【知识点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。

20．【答案】解：若腰长为6cm，则另一腰的长也为6cm，则底边长为28﹣6﹣6＝16cm，

此时三角形的三边为6cm，6cm，16cm，

∵6+6＜16，不能构成三角形，

∴此情况舍去；

若底边长度为6cm，则两腰的长度为 ＝11（cm），

∴此时其他两边的长度为11cm，11cm.

【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质

【解析】【分析】分6cm为腰长、底边长，结合等腰三角形的性质以及周长求出对应的底边、腰长，然后结合三角形的三边关系进行判断.

21．【答案】（1）解：如图，BG即为所求；

（2）解：如图，∵BG平分∠ABC，

过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，

∴GD＝GE，

∵AB＝8，△ABG的面积为18，

∴

∴GD＝，

∵BC＝12，GE＝GD＝，

∴△CBG的面积为12×＝27．

【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；作图-角的平分线

【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E，根据三角形的面积公式可得，求出GD的长，再求出△CBG的面积即可。

22．【答案】（1）解：①，

②；

（2）解：或．

【知识点】列式表示数量关系

【解析】【分析】（1）用不同的表示方法求出丁的面积即可；
（2）根据（1）的结果可得答案。

23．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，

∴∠EAF＝∠FBD＝∠DCE＝120°，

∵AE＝BF＝CD，

∴AB+BF＝BC+CD＝AC+AE，

即AF＝BD＝CE，

在△AEF、△BFD和△CDE中，

，

∴△AEF≌△BFD≌△CDE（SAS），

∴EF＝FD＝DE，

∴△DEF是等边三角形，

∴∠DEF＝60°．

【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】先利用“SAS”证明△AEF≌△BFD≌△CDE，可得EF＝FD＝DE，证明△DEF是等边三角形，即可得到∠DEF＝60°。

24．【答案】（1）真分式

（2）解：

＝

＝

＝x+2-；

（3）解：

＝

＝

＝

＝

＝

＝﹣2+，

∵x≠±1且x≠0，x≠2，

∴当x＝3时，原式＝﹣2+1＝﹣1．

【知识点】分式的混合运算；定义新运算

【解析】【解答】解：（1）分式是真分式，

故答案为：真分式；

【分析】（1）根据题干中的定义求解即可；
（2）根据题干中的计算方法求解即可；
（3）利用分式的混合运算和题干中的化简方法求解即可。

25．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝30°，

∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，

∵DB＝DC，∠DCB＝30°，

∴∠DBC＝∠DCB＝30°，

∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，

在△ABD和△ACD中，，

∴△ABD≌△ACD （SSS），

∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，

∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，

∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；

（2）解：DE＝AD+CD，

理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，

∵∠ADE＝60°，DM＝AD，

∴△ADM是等边三角形，

∴∠ADB＝∠AME＝120°．

∵AE＝AB，

∴∠ABD＝∠E，

在△ABD和△AEM中，，

∴△ABD≌△AEM（AAS），

∴BD＝ME，

∵BD＝CD，

∴CD＝ME．

∵DE＝DM+ME，

∴DE＝AD+CD．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定

【解析】【分析】（1）先利用“SSS”证明△ABD≌△ACD可得∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，再利用角的运算求出∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；
（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，先利用“AAS”证明△ABD≌△AEM可得BD=ME，再利用线段的和差及等量代换可得DE＝AD+CD。