8.1 成对数据的统计相关性 -(人教A版2019选择性必修第二、三册) (学生版+教师版) 试卷

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成对数据的统计相关性1 相关关系与确定关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.比如 正方形面积与边长，高一定时圆锥的体积与底圆半径等均为确定关系；体重与身高，子女的身高与父亲的身高，空气污染指数与汽车保有量等均为相关关系.2 正相关与负相关如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；从散点图来看，点从左下角往右上角走.如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走.比如脂肪含量与年龄 ,  子女的身高与父亲的身高正相关. 3 线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.4 样本相关系数对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，则我们称为变量和变量的样本相关系数.① 当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关.② 越接近于，两个变量的线性相关性越强；   接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系.③ 样本相关系数也可以推导得到 【题型一】 相关关系与确定关系【典题1】下面哪两个变量间是相关关系(　　)A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．身高与体重 D．铁块的大小与质量【解析】根据题意，依次分析选项：对于，出租车费与行驶的里程之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；对于，房屋面积与房屋价格之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；对于，身高与体重之间的关系是不确定，但在一定范围内，身高越高，体重越大，是相关关系，符合题意；对于，铁块的大小与质量之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；故选：．【点拨】是确定关系还是相关关系，看两变量之间关系是否确定的. 【题型二】正相关与负相关【典题1】有以下五组变量：①某商品的销售价格与销售量；②学生的学籍号与学生的数学成绩；③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；④气温与冷饮销售量；⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．其中两个变量成正相关的是(　　)A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤【解析】对于①，一般情况下，某商品的销售价格与销售量成负相关关系；对于②，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；对于③，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；对于④，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；对于⑤，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．综上所述，其中两个变量成正相关的序号是④⑤．故选：D．【点拨】如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关. 【典题2】在各散点图中，两个变量具有正相关关系的是(　　)A． B． C． D．【解析】根据题意，依次分析选项为：对于A、是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意；对于B、是相关关系，也是正相关关系，符合题意；对于C、是相关关系，是负相关关系，不符合题意；对于D、所示的散点图中，样本点不成带状分布，这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意．故选：B．【点拨】从散点图来看，点从左下角往右上角走是正相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走是负相关. 【题型三】成对数据的统计相关系数【典题1】对某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是(　　)A． B． C． D．【解析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；由题中数据可知：(1)(3)为正相关，为负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，故；又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故，因此，．故选：．【点拨】① 若散点图中数据集中所在的直线斜率为正，则正相关；斜率为负，则负相关.② 数据越集中在一条线附近，说明相关性越强；与该直线的斜率大小无关. 【典题2】如图所示，5个数据，去掉后，下列说法正确的是（　　）A．相关系数变大     B．残差平方和变大 C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变强【解析】由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关，所以相关系数的值变大，相关指数的值变大，残差平方和变小．故选：．【点拨】① 相关系数判断线性的相关性的强弱；而残差平方和与相关指数判断的是模型的拟合效果，残差平方和越小，相关指数越大，模型拟合效果越好；② 本题中点属于“歧义点”，偏离回归直线较远，若剔除少数的“歧义点”，解释变量与预报变量的相关性变强. 巩固练习1(★)下列两个量之间的关系是相关关系的为(　　)A．正方体的体积与棱长的关系 B．学生的成绩和体重 C．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少 D．水的体积和重量【答案】C【解析】A、由正方体的棱长和体积的公式知，V=a3(a>0)，故A不对；B、学生的成绩和体重，没有关系，故B不对；C、路上酒后驾驶的人数会影响交通事故发生的多少，但不是唯一因素，它们之间有相关性，故C对；D、水的体积V和重量x的关系为：V=k•x，是确定的函数关系，故D不对；故选：C．2(★) 下列说法正确的是(　　) A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系  B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系  C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系  D．人的体重与视力成负相关关系【答案】C【解析】对于A，圆的面积与半径之间的关系是确定的关系，是函数关系，所以A错误；对于B，粮食产量与施肥量之间的关系是不是函数关系，是相关关系，所以B错误；对于C，一定范围内，学生的成绩与学习时间是成正相关关系的，所以C正确；对于D，人的体重与视力是没有相关关系的，所以D错误．故选：C．3(★) 变量有观测数据，得散点图(1)；对变量，有观测数据，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断(　　)A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】C【解析】由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选：C．4(★) 判断如图所示的图形中具有相关关系的是(　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，选项A，B中的x与y的对应是确定的，选项C、D是不确定的，而在选项C、D中，C具有相关关系，故选：C．5(★) 对两个变量的几组观测数据统计如表，则这两个相关变量的关系是(　　)1098765233.544.85A．负相关 B．正相关 C．先正后负相关 D．先负后正相关【答案】A【解析】根据两个变量x，y的几组观测数据统计表知，y随x的增大而减小，所以这两个相关变量负相关．故选：A．6(★) 关于相关关系，下列说法不正确的是(　　)A．相关关系是一种非确定关系   B．相关关系r越大，两个变量的相关性越强   C．当两个变量相关且相关系数时，表明两个变量正相关   D．相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强 【答案】B【解析】对于A，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，A正确；对于B，相关关系|r|越大，两个变量的相关性越强，∴B错误；对于C，当两个变量相关且相关系数r>0时，说明两个变量正相关，∴C正确；对于D，相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，D正确．故选：B．7(★)  变量与相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)，变量与相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则(　　)参考公式：线性相关系数rA． B． C． D． 【答案】C【解析】由已知中的数据可知：第一组数据正相关，则相关系数大于零，第二组数据负相关，则相关系数小于零，故选：C．8(★) 【多选题】为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法中错误的有(　　)A．若所有样本点都在直线上，则B．若所有样本点都在直线上，则C．若越大，则变量与的线性相关性越强 D．若越小，则变量与的线性相关性越强【答案】ABD【解析】当所有样本点都在直线y=-2x+1上时，样本点数据完全负相关，其相关系数r=-1，所以A、B都错误；相关系数|r|值越大，则变量x与y的线性相关性越强，C正确；相关系数|r|值越小，则变量x与y的线性相关性越弱，D错误．综上知，以上错误的说法是ABD．故选：ABD．9(★) 对相关系数，下列说法正确的是(　　)A．越大，线性相关程度越大 B．越小，线性相关程度越大 C．越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大 D．且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小【答案】D【解析】两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1，表面两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故选：D．10(★) 下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是(　　)A．①③ B．①④ C．②③ D．①②【答案】B【解析】∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．故选：B．11(★) 已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为，，，，则(　　)A．甲组数据变量间的线性相关程度最强 B．乙组数据变量间的线性相关程度最弱 C．丙组数据变量间的线性相关程度最强 D．丁组数据变量间的线性相关程度最强【答案】C【解析】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为0.46，0.79，，0.85，所以丙组数据的线性相关性最强．故选：C．12(★) 对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是(　　)A．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 B．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强 C．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强 D．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强【答案】C【解析】由线性相关系数r1=0.7859>0知x与y正相关，由线性相关系数r2=-0.9568<0知u，v负相关，又|r1|<|r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选：C．