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【解析版】武汉市江夏区2022年八年级下期中数学试卷
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这是一份【解析版】武汉市江夏区2022年八年级下期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
湖北省武汉市江夏区2022学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的代号填在答卷指定位置．
1．（3分）下列根式中，化简后能与进行合并的是（）
A． B． C． D．
2．（3分）如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（）
A． 只有①和②相等 B． 只有③和④相等
C． 只有①和④相等 D． ①和②，③和④分别相等
3．（3分）在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB度数为（）
A． 15° B． 17° C． 16° D． 32°
4．（3分）有游客m人，如果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A． 6步 B． 5步 C． 4步 D． 2步
6．（3分）若+=，0＜x＜1，则﹣=（）
A． ﹣ B． ﹣2 C． ±2 D． ±
7．（3分）如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）
A． B． 3 C． 4 D． 3
8．（3分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（）
A． B． C． D．
9．（3分）矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（）
A． 5 B． C． 6 D．
10．（3分）如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．
11．（3分）①代数式在实数范围里有意义，则x的取值范围是；
②化简的结果是；
③在实数范围里因式分解x2﹣3=．
12．（3分）成立的条件是
．
13．（3分）已知x=2﹣，代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是．
14．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABE=90°，AB∥CD，AB=BC=6，点E为BC边上一点，且∠EAD=45°，ED=5，则△ADE的面积为．
三、解答题（共8小题72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．（8分）①（+）+（﹣）
②（2﹣3）÷．
18．（8分）先简化，再求值：，其中x=．
19．（8分）已知P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，求证：PB=PD．
20．（8分）如图在8×8的正方形网格中，△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=，BC=．
（2）若点A在网格所在的坐标平面里的坐标为（1，﹣2），请你在图中找出一点D，并作出以A、B、C、D四个点为顶点的平行四边形，求出满足条件的D点的坐标．
21．（8分）水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．
23．（10分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
24．（12分）已知：如图，在△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a、b、c满足b=，BD⊥AC于D，交y轴于E．
（1）如图1，求E点的坐标；
（2）如图2，过A点作AG⊥BC于G，若∠BCO=30°，求证：AG+GC=CB+BO；
（3）如图3，P为第一象限任意一点，连接PA作PQ⊥PA交y轴于Q点，在射线PQ上截取PH=PA，连接CH，F为CH的中点，连接OP，当P点运动时（PQ不过点C），∠OPF的大小是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．
湖北省武汉市江夏区2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的代号填在答卷指定位置．
1．（3分）下列根式中，化简后能与进行合并的是（）
A． B． C． D．
考点： 同类二次根式．
分析： 先根据二次根式的性质把每个根式化成最简二次根式，再判断是否与是同类二次根式即可．
解答： 解：A、=2，与不能进行合并，故本选项错误；
B、=3，与不能进行合并，故本选项错误；
C、=，与不能进行合并，故本选项错误；
D、=2，与能进行合并，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了二次根式的性质和二次根式的定义的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
2．（3分）如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（）
A． 只有①和②相等 B． 只有③和④相等
C． 只有①和④相等 D． ①和②，③和④分别相等
考点： 三角形的面积．
专题： 压轴题．
分析： 根据三角形的面积公式来计算即可．
解答： 解：小矩形的长为a，宽为b，
则①中的阴影部分为两个底边长为a，高为b的三角形，
∴S=×a•b×2=ab；
②中的阴影部分为一个底边长为a，高为2b的三角形，
∴S=×a•2b=ab；
③中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，
∴S=×a•b=ab；
④中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，
∴S=×a•b=ab．
∴①和②，③和④分别相等．
故选D．
点评： 此题主要考查三角形面积公式的综合应用，关键是如何确定三角形的底边和高的长度．
3．（3分）在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB度数为（）
A． 15° B． 17° C． 16° D． 32°
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 首先连接AC，根据AM⊥CD，AN⊥BC，判断出四边形AMCN是圆内接四边形，进而求出∠BCD=106°；然后判断出∠ABD=∠ADB，根据∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=106°，求出∠ADB的度数是多少即可．
解答： 解：如图，连接AC，，
∵AM⊥CD，AN⊥BC，
∴四边形AMCN是圆内接四边形，
∴∠MAN+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣∠MAN=180°﹣74°=106°，
∴∠BDC=180°﹣41°﹣106°=33°，
∵M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，
∴AB=AC=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，∠ADC=∠ACD，
∴∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=106°，
∵∠ABD=∠ADB，∠DBC=41°，∠BDC=33°，
∴∠ADB=（106°﹣41°﹣33°）÷2
=32°÷2
=16°
即∠ADB度数为16°．
故选：C．
点评： （1）此题主要考查了线段垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要判断出：∠ABD=∠ADB，∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=106°．
（2）此题还考查了等腰三角形的边角的关系，要熟练掌握．
4．（3分）有游客m人，如果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（）
A． B． C． D．
考点： 列代数式（分式）．
专题： 应用题．
分析： 房间数=住进房间人数÷每个房间能住的人数；一人无房住，那么住进房间的人数为：m﹣1．
解答： 解：住进房间的人数为：m﹣1，
依题意得，客房的间数为，故选A．
点评： 解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
5．（3分）如图，花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A． 6步 B． 5步 C． 4步 D． 2步
考点： 勾股定理的应用．
分析： 少走的距离是AC+BC﹣AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．
解答： 解：在直角△ABC中，AB2=AC2+BC2
AB===5m．
则少走的距离是AC+BC﹣AB=3+4﹣5=2m=4步．
故选C．
点评： 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．（3分）若+=，0＜x＜1，则﹣=（）
A． ﹣ B． ﹣2 C． ±2 D． ±
考点： 二次根式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 把已知条件两边平方得到（+）2=6，再根据完全平方公式得到（﹣）2+4=6，则利用二次根式的性质得|﹣|=，然后根据0＜x＜1，去绝对值即可．
解答： 解：∵+=，
∴（+）2=6，
∴（﹣）2+4=6，
∴|﹣|=，
∵0＜x＜1，
∴﹣=﹣．
故选A．
点评： 本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
7．（3分）如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）
A． B． 3 C． 4 D． 3
考点： 勾股定理；三角形的面积．
专题： 压轴题；网格型．
分析： 根据勾股定理计算出BC的长，再根据三角形的面积为3，即可求出点A到边BC的距离．
解答： 解：S△ABC：S大正方形=（4﹣1﹣1﹣0.5）：4=1.5：4=3：8，
∵S△ABC=3，
∴小正方形的面积为2，BC=2，
点A到边BC的距离为6÷2=3，
故选D．
点评： 此题考查了三角形的面积勾股定理的运用，关键是根据图形列出求三角形面积的算式．
8．（3分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（）
A． B． C． D．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．
分析： 分两种情况探讨：（1）当正方形A1B1C1O边与正方形ABCD的对角线重合时；（2）当转到一般位置时，由题求证△AEO≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积，得出结论．
解答： 解：（1）当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到其边OA1，OC1分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时，
显然S两个正方形重叠部分=S正方形ABCD，
（2）当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到如图位置时．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB
BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四边形A′B′C′O为正方形，
∴∠A′OC′=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF，
又S△AOE=S△BOF，
∴S两个正方形重叠部分=S△ABO=S正方形ABCD．
综上所知，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．
故选C．
点评： 此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的识别图形是解题的关键．
9．（3分）矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（）
A． 5 B． C． 6 D．
考点： 勾股定理；矩形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 过E作EG⊥CD于G，利用矩形的判定可得，四边形AEGD是矩形，则AE=DG，EG=AD，于是可求MG=DG﹣DM=1，在Rt△EMG中，利用勾股定理可求EM．
解答： 解：过E作EG⊥CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵EG⊥CD，
∴∠EGD=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴AE=DG，EG=AD，
∴EG=AD=BC=7，MG=DG﹣DM=3﹣2=1，
∵EF⊥FM，
∴△EFM为直角三角形，
∴在Rt△EGM中，EM====5．
故选B．
点评： 本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识，是基础知识要熟练掌握．
10．（3分）如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质．
分析： 过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=CD，再利用勾股定理列式求出CE，根据正方形的性质求出OC=OD=a，然后利用四边形OCED的面积列出方程求出a2，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
解答： 解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵∠DCE=30°，∠CED=90°
∴DE=a，CE=a，
设DN=x，x+DE=CE﹣x，解得：x=，
∴NE=x+a=，
∵OE=NE，
∴=•，
∴a=1，
∴S正方形ABCD=4
故选B．
点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．
11．（3分）①代数式在实数范围里有意义，则x的取值范围是x≥1；
②化简的结果是2a；
③在实数范围里因式分解x2﹣3=（x+）（x﹣）．
考点： 二次根式有意义的条件；实数范围内分解因式；二次根式的性质与化简．
分析： ①根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；
②根据二次根式的性质化简即可；
③利用平方差公式分解因式即可．
解答： 解：①由x﹣1≥解得，x≥1；
②=2a；
③x2﹣3=（x+）（x﹣）．
故答案为：x≥1；2a；（x+）（x﹣）．
点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简以及实数范围内的因式分解，二次根式的被开方数是非负数．
12．（3分）成立的条件是
x≥1．
考点： 二次根式的乘除法．
分析： 根据二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0）的条件，列不等式组求解．
解答： 解：若成立，
那么，
解之得，x≥﹣1，x≥1，所以x≥1．
点评： 此题的隐含条件是：被开方数是非负数．
13．（3分）已知x=2﹣，代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是2+．
考点： 二次根式的化简求值．
分析： 首先不所求的式子化成（2+）2x2+（2+）x+的形式，然后把x的值代入求解．
解答： 解：原式=（2+）2x2+（2+）x+
=【（2+）x】2+（2+）（2﹣）+
=【（2+）（2﹣）】2+（2+）（2﹣）+
=1+1+
=2+．
点评： 本题考查了二次根式的化简求值，正确对二次根式进行变形是关键．
14．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为2．
考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
解答： 解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故答案为：2．
点评： 此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
考点： 矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
专题： 动点型．
分析： 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．
解答： 解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，
∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP=OD=5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
点评： 本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABE=90°，AB∥CD，AB=BC=6，点E为BC边上一点，且∠EAD=45°，ED=5，则△ADE的面积为15．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．
分析： 过A作AF⊥CD于F，在四边形ABCF是正方形，延长CB到G，使BG=DF，先证得△AGB≌△ADF得出AG=AD，∠EAD=∠GAE=45°，然后再证得△ADE≌△AGE，得出EG=ED=5，最后根据全等三角形的面积相等即可求得；
解答： 解：过A作AF⊥CD于F，在四边形ABCF是正方形，延长CB到G，使BG=DF，
在△AGB与△ADF中，
，
∴△AGB≌△ADF（SAS），
∴AG=AD，∠GAB=∠DAF，
∴∠GAD=90°
∵∠EAD=45°，
∴∠GAE=45°，
在△ADE与△AGE中，
，
∴△ADE≌△AGE（SAS），
∴EG=ED=5，
∴S△ADE=S△AGE=EG•AB=×5×6=15，
故答案为15．
点评： 本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（共8小题72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．（8分）①（+）+（﹣）
②（2﹣3）÷．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： ①先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；
②先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
解答： 解：①原式=4+2+2﹣
=6+；
②原式=（8﹣9）÷
=﹣÷
=﹣．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18．（8分）先简化，再求值：，其中x=．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=•
=，
当x=+1时，原式==．
点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
19．（8分）已知P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，求证：PB=PD．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： 由四边形ABCD是正方形得到AB=AD，∠BAC=∠DAC，证得△BAP≌△DAP，得到PB=PD．．
解答： 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△BAP和△DAP中，
，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD．
点评： 本题主要考查了正方形，全等三角形的判定，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．
20．（8分）如图在8×8的正方形网格中，△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=135°，BC=2．
（2）若点A在网格所在的坐标平面里的坐标为（1，﹣2），请你在图中找出一点D，并作出以A、B、C、D四个点为顶点的平行四边形，求出满足条件的D点的坐标．
考点： 平行四边形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．
分析： （1）直接利用网格得出：∠ABC的度数，再利用勾股定理得出BC的长；
（2）利用平行四边形的性质得出D点位置即可．
解答： 解：（1）由图形可得：∠ABC=45°+90°=135°，BC==；
故答案为：135°，2；
（2）满足条件的D点共有3个，
以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为：平行四边形分别是▱ABCD1、▱ABD2C 和▱AD3BC．
其中第四个顶点的坐标为：D1（3，﹣4）或D2（7，﹣4）或D3（﹣1，0）．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，注意不要漏解．
21．（8分）水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
考点： 勾股定理的应用．
分析： 找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
解答： 解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
点评： 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．
考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解答： 解：（1）GF=GC．
理由如下：连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C=90°，
∴∠EFG=90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF=GC；
（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，
在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，
解得x=．
点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．
23．（10分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形．
专题： 压轴题．
分析： （1）①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；
②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；
（2）连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．
解答： （1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠F=∠BEF，
∴BF=BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF=BE，∠FBC=90°，
∴∠F=∠BEF=45°，
∵G是EF的中点，
∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，
∵∠FAD=90°，
∴AF=AD，
又∵AD=BC，
∴AF=BC，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∴∠FAG=∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，
即∠GAC+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG=BG，∠FBG=60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠AFG=∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠FDC，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°，
∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，
∴△AGC是等边三角形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（12分）已知：如图，在△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a、b、c满足b=，BD⊥AC于D，交y轴于E．
（1）如图1，求E点的坐标；
（2）如图2，过A点作AG⊥BC于G，若∠BCO=30°，求证：AG+GC=CB+BO；
（3）如图3，P为第一象限任意一点，连接PA作PQ⊥PA交y轴于Q点，在射线PQ上截取PH=PA，连接CH，F为CH的中点，连接OP，当P点运动时（PQ不过点C），∠OPF的大小是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．
考点： 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理．
分析： （1）由b=就可以得出a=c，就可以b的值为2及∠CAB=45°，再由BD⊥AC就可以求出∠DBA=45°，进而求出BO=OE就可以求出点E的坐标；
（2）根据三角形的面积公式可以表示出AG=，由∠BCO=30°，∠BOC=90°由勾股定理就可以求出AG，GC，CB，BO的值就可以求出结论；
（3）延长PF到M，使MF=PF，连接MC，MO就可以得出△MFC≌△PFH，就有MC=PH，∠CMF=∠HPF，进而就可以得出△MCO≌△PAO，从而得出OM=OP，∠MOC=∠POA，从而可以得出结论．
解答： 解：（1）如图1，∵b=
∴a﹣c≥0，c﹣a≥0
∴a=c，b=﹣2，B（﹣2，0）
∴OA=OC，∠AOC=90°
∴∠OAC=∠OCA=45°
∵BD⊥AC
∴∠BDA=90°，∠DBA=45°
∵∠BOE=∠BEO=45°，
∴OB=OE=2
∴E（0，2）
（2）证明：如图2，∵AG⊥BC，CO⊥AB
∴S△ABC=OC•AB=BC•AG
∴AG=
∵∠BCO=30°，∠BOC=90°
∴BC=2BO=4，CO==2
∴OA=OC=2，AB=2+2
∴AG===3+
∵在Rt△AGB中，∠GBA=60°，∠GAB=30°
∴BG=AB=1+，CG=BC﹣BG=4﹣1﹣=3﹣
∴AG+GC=3++3﹣=6，
∵BC+BO=4+2=6
∴AG+GC=BC+BO
（3）∠OPF=45°，大小保持不变．
理由：如图3，延长PF到M，使MF=PF，连接MC，MO，
∵F为CH的中点，
∴FH=FC．
在△MFC和△PFH中
，
∴△MFC≌△PFH（SAS），
∴MC=PH，∠CMF=∠HPF
∵PH=PA
∴MC=PA，MC∥PQ，
∴∠MCO=∠CQP．
∵∠CQP+∠PQO=180°，∠PAO+∠OQP=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠MCO=∠PAO．
在△MCO和△PAO中
，
∴△MCO≌△PAO（SAS）
∴OM=OP，∠MOC=∠POA．
∵∠POA+∠POC=90°，
∴∠MOP=∠MOC+∠COP=90°，
∴∠OPF=45°．
点评： 本题考查了二次根式的性质的运用，坐标与图形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，平行线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
湖北省武汉市江夏区2022学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的代号填在答卷指定位置．
1．（3分）下列根式中，化简后能与进行合并的是（）
A． B． C． D．
2．（3分）如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（）
A． 只有①和②相等 B． 只有③和④相等
C． 只有①和④相等 D． ①和②，③和④分别相等
3．（3分）在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB度数为（）
A． 15° B． 17° C． 16° D． 32°
4．（3分）有游客m人，如果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A． 6步 B． 5步 C． 4步 D． 2步
6．（3分）若+=，0＜x＜1，则﹣=（）
A． ﹣ B． ﹣2 C． ±2 D． ±
7．（3分）如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）
A． B． 3 C． 4 D． 3
8．（3分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（）
A． B． C． D．
9．（3分）矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（）
A． 5 B． C． 6 D．
10．（3分）如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．
11．（3分）①代数式在实数范围里有意义，则x的取值范围是；
②化简的结果是；
③在实数范围里因式分解x2﹣3=．
12．（3分）成立的条件是
．
13．（3分）已知x=2﹣，代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是．
14．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABE=90°，AB∥CD，AB=BC=6，点E为BC边上一点，且∠EAD=45°，ED=5，则△ADE的面积为．
三、解答题（共8小题72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．（8分）①（+）+（﹣）
②（2﹣3）÷．
18．（8分）先简化，再求值：，其中x=．
19．（8分）已知P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，求证：PB=PD．
20．（8分）如图在8×8的正方形网格中，△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=，BC=．
（2）若点A在网格所在的坐标平面里的坐标为（1，﹣2），请你在图中找出一点D，并作出以A、B、C、D四个点为顶点的平行四边形，求出满足条件的D点的坐标．
21．（8分）水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．
23．（10分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
24．（12分）已知：如图，在△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a、b、c满足b=，BD⊥AC于D，交y轴于E．
（1）如图1，求E点的坐标；
（2）如图2，过A点作AG⊥BC于G，若∠BCO=30°，求证：AG+GC=CB+BO；
（3）如图3，P为第一象限任意一点，连接PA作PQ⊥PA交y轴于Q点，在射线PQ上截取PH=PA，连接CH，F为CH的中点，连接OP，当P点运动时（PQ不过点C），∠OPF的大小是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．
湖北省武汉市江夏区2022学年八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的代号填在答卷指定位置．
1．（3分）下列根式中，化简后能与进行合并的是（）
A． B． C． D．
考点： 同类二次根式．
分析： 先根据二次根式的性质把每个根式化成最简二次根式，再判断是否与是同类二次根式即可．
解答： 解：A、=2，与不能进行合并，故本选项错误；
B、=3，与不能进行合并，故本选项错误；
C、=，与不能进行合并，故本选项错误；
D、=2，与能进行合并，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了二次根式的性质和二次根式的定义的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
2．（3分）如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（）
A． 只有①和②相等 B． 只有③和④相等
C． 只有①和④相等 D． ①和②，③和④分别相等
考点： 三角形的面积．
专题： 压轴题．
分析： 根据三角形的面积公式来计算即可．
解答： 解：小矩形的长为a，宽为b，
则①中的阴影部分为两个底边长为a，高为b的三角形，
∴S=×a•b×2=ab；
②中的阴影部分为一个底边长为a，高为2b的三角形，
∴S=×a•2b=ab；
③中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，
∴S=×a•b=ab；
④中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，
∴S=×a•b=ab．
∴①和②，③和④分别相等．
故选D．
点评： 此题主要考查三角形面积公式的综合应用，关键是如何确定三角形的底边和高的长度．
3．（3分）在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB度数为（）
A． 15° B． 17° C． 16° D． 32°
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 首先连接AC，根据AM⊥CD，AN⊥BC，判断出四边形AMCN是圆内接四边形，进而求出∠BCD=106°；然后判断出∠ABD=∠ADB，根据∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=106°，求出∠ADB的度数是多少即可．
解答： 解：如图，连接AC，，
∵AM⊥CD，AN⊥BC，
∴四边形AMCN是圆内接四边形，
∴∠MAN+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣∠MAN=180°﹣74°=106°，
∴∠BDC=180°﹣41°﹣106°=33°，
∵M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，
∴AB=AC=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，∠ADC=∠ACD，
∴∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=106°，
∵∠ABD=∠ADB，∠DBC=41°，∠BDC=33°，
∴∠ADB=（106°﹣41°﹣33°）÷2
=32°÷2
=16°
即∠ADB度数为16°．
故选：C．
点评： （1）此题主要考查了线段垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要判断出：∠ABD=∠ADB，∠ABC+∠ADC=∠ACB+∠ACD=106°．
（2）此题还考查了等腰三角形的边角的关系，要熟练掌握．
4．（3分）有游客m人，如果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（）
A． B． C． D．
考点： 列代数式（分式）．
专题： 应用题．
分析： 房间数=住进房间人数÷每个房间能住的人数；一人无房住，那么住进房间的人数为：m﹣1．
解答： 解：住进房间的人数为：m﹣1，
依题意得，客房的间数为，故选A．
点评： 解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
5．（3分）如图，花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A． 6步 B． 5步 C． 4步 D． 2步
考点： 勾股定理的应用．
分析： 少走的距离是AC+BC﹣AB，在直角△ABC中根据勾股定理求得AB的长即可．
解答： 解：在直角△ABC中，AB2=AC2+BC2
AB===5m．
则少走的距离是AC+BC﹣AB=3+4﹣5=2m=4步．
故选C．
点评： 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．（3分）若+=，0＜x＜1，则﹣=（）
A． ﹣ B． ﹣2 C． ±2 D． ±
考点： 二次根式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 把已知条件两边平方得到（+）2=6，再根据完全平方公式得到（﹣）2+4=6，则利用二次根式的性质得|﹣|=，然后根据0＜x＜1，去绝对值即可．
解答： 解：∵+=，
∴（+）2=6，
∴（﹣）2+4=6，
∴|﹣|=，
∵0＜x＜1，
∴﹣=﹣．
故选A．
点评： 本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
7．（3分）如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）
A． B． 3 C． 4 D． 3
考点： 勾股定理；三角形的面积．
专题： 压轴题；网格型．
分析： 根据勾股定理计算出BC的长，再根据三角形的面积为3，即可求出点A到边BC的距离．
解答： 解：S△ABC：S大正方形=（4﹣1﹣1﹣0.5）：4=1.5：4=3：8，
∵S△ABC=3，
∴小正方形的面积为2，BC=2，
点A到边BC的距离为6÷2=3，
故选D．
点评： 此题考查了三角形的面积勾股定理的运用，关键是根据图形列出求三角形面积的算式．
8．（3分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（）
A． B． C． D．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．
分析： 分两种情况探讨：（1）当正方形A1B1C1O边与正方形ABCD的对角线重合时；（2）当转到一般位置时，由题求证△AEO≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积，得出结论．
解答： 解：（1）当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到其边OA1，OC1分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时，
显然S两个正方形重叠部分=S正方形ABCD，
（2）当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到如图位置时．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB
BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四边形A′B′C′O为正方形，
∴∠A′OC′=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF，
又S△AOE=S△BOF，
∴S两个正方形重叠部分=S△ABO=S正方形ABCD．
综上所知，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．
故选C．
点评： 此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的识别图形是解题的关键．
9．（3分）矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（）
A． 5 B． C． 6 D．
考点： 勾股定理；矩形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 过E作EG⊥CD于G，利用矩形的判定可得，四边形AEGD是矩形，则AE=DG，EG=AD，于是可求MG=DG﹣DM=1，在Rt△EMG中，利用勾股定理可求EM．
解答： 解：过E作EG⊥CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵EG⊥CD，
∴∠EGD=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴AE=DG，EG=AD，
∴EG=AD=BC=7，MG=DG﹣DM=3﹣2=1，
∵EF⊥FM，
∴△EFM为直角三角形，
∴在Rt△EGM中，EM====5．
故选B．
点评： 本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识，是基础知识要熟练掌握．
10．（3分）如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质．
分析： 过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=CD，再利用勾股定理列式求出CE，根据正方形的性质求出OC=OD=a，然后利用四边形OCED的面积列出方程求出a2，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
解答： 解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵∠DCE=30°，∠CED=90°
∴DE=a，CE=a，
设DN=x，x+DE=CE﹣x，解得：x=，
∴NE=x+a=，
∵OE=NE，
∴=•，
∴a=1，
∴S正方形ABCD=4
故选B．
点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．
11．（3分）①代数式在实数范围里有意义，则x的取值范围是x≥1；
②化简的结果是2a；
③在实数范围里因式分解x2﹣3=（x+）（x﹣）．
考点： 二次根式有意义的条件；实数范围内分解因式；二次根式的性质与化简．
分析： ①根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；
②根据二次根式的性质化简即可；
③利用平方差公式分解因式即可．
解答： 解：①由x﹣1≥解得，x≥1；
②=2a；
③x2﹣3=（x+）（x﹣）．
故答案为：x≥1；2a；（x+）（x﹣）．
点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简以及实数范围内的因式分解，二次根式的被开方数是非负数．
12．（3分）成立的条件是
x≥1．
考点： 二次根式的乘除法．
分析： 根据二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0）的条件，列不等式组求解．
解答： 解：若成立，
那么，
解之得，x≥﹣1，x≥1，所以x≥1．
点评： 此题的隐含条件是：被开方数是非负数．
13．（3分）已知x=2﹣，代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是2+．
考点： 二次根式的化简求值．
分析： 首先不所求的式子化成（2+）2x2+（2+）x+的形式，然后把x的值代入求解．
解答： 解：原式=（2+）2x2+（2+）x+
=【（2+）x】2+（2+）（2﹣）+
=【（2+）（2﹣）】2+（2+）（2﹣）+
=1+1+
=2+．
点评： 本题考查了二次根式的化简求值，正确对二次根式进行变形是关键．
14．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为2．
考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
解答： 解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故答案为：2．
点评： 此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
考点： 矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
专题： 动点型．
分析： 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．
解答： 解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，
∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP=OD=5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
点评： 本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABE=90°，AB∥CD，AB=BC=6，点E为BC边上一点，且∠EAD=45°，ED=5，则△ADE的面积为15．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．
分析： 过A作AF⊥CD于F，在四边形ABCF是正方形，延长CB到G，使BG=DF，先证得△AGB≌△ADF得出AG=AD，∠EAD=∠GAE=45°，然后再证得△ADE≌△AGE，得出EG=ED=5，最后根据全等三角形的面积相等即可求得；
解答： 解：过A作AF⊥CD于F，在四边形ABCF是正方形，延长CB到G，使BG=DF，
在△AGB与△ADF中，
，
∴△AGB≌△ADF（SAS），
∴AG=AD，∠GAB=∠DAF，
∴∠GAD=90°
∵∠EAD=45°，
∴∠GAE=45°，
在△ADE与△AGE中，
，
∴△ADE≌△AGE（SAS），
∴EG=ED=5，
∴S△ADE=S△AGE=EG•AB=×5×6=15，
故答案为15．
点评： 本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（共8小题72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．（8分）①（+）+（﹣）
②（2﹣3）÷．
考点： 二次根式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： ①先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；
②先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
解答： 解：①原式=4+2+2﹣
=6+；
②原式=（8﹣9）÷
=﹣÷
=﹣．
点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18．（8分）先简化，再求值：，其中x=．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=•
=，
当x=+1时，原式==．
点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
19．（8分）已知P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，求证：PB=PD．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： 由四边形ABCD是正方形得到AB=AD，∠BAC=∠DAC，证得△BAP≌△DAP，得到PB=PD．．
解答： 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△BAP和△DAP中，
，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD．
点评： 本题主要考查了正方形，全等三角形的判定，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．
20．（8分）如图在8×8的正方形网格中，△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=135°，BC=2．
（2）若点A在网格所在的坐标平面里的坐标为（1，﹣2），请你在图中找出一点D，并作出以A、B、C、D四个点为顶点的平行四边形，求出满足条件的D点的坐标．
考点： 平行四边形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．
分析： （1）直接利用网格得出：∠ABC的度数，再利用勾股定理得出BC的长；
（2）利用平行四边形的性质得出D点位置即可．
解答： 解：（1）由图形可得：∠ABC=45°+90°=135°，BC==；
故答案为：135°，2；
（2）满足条件的D点共有3个，
以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为：平行四边形分别是▱ABCD1、▱ABD2C 和▱AD3BC．
其中第四个顶点的坐标为：D1（3，﹣4）或D2（7，﹣4）或D3（﹣1，0）．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，注意不要漏解．
21．（8分）水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
考点： 勾股定理的应用．
分析： 找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
解答： 解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺．
点评： 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；
（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．
考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解答： 解：（1）GF=GC．
理由如下：连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C=90°，
∴∠EFG=90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF=GC；
（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，
在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，
解得x=．
点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．
23．（10分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形．
专题： 压轴题．
分析： （1）①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；
②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；
（2）连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．
解答： （1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠F=∠BEF，
∴BF=BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF=BE，∠FBC=90°，
∴∠F=∠BEF=45°，
∵G是EF的中点，
∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，
∵∠FAD=90°，
∴AF=AD，
又∵AD=BC，
∴AF=BC，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∴∠FAG=∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，
即∠GAC+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG=BG，∠FBG=60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠AFG=∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠FDC，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°，
∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，
∴△AGC是等边三角形．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（12分）已知：如图，在△ABC中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a、b、c满足b=，BD⊥AC于D，交y轴于E．
（1）如图1，求E点的坐标；
（2）如图2，过A点作AG⊥BC于G，若∠BCO=30°，求证：AG+GC=CB+BO；
（3）如图3，P为第一象限任意一点，连接PA作PQ⊥PA交y轴于Q点，在射线PQ上截取PH=PA，连接CH，F为CH的中点，连接OP，当P点运动时（PQ不过点C），∠OPF的大小是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．
考点： 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理．
分析： （1）由b=就可以得出a=c，就可以b的值为2及∠CAB=45°，再由BD⊥AC就可以求出∠DBA=45°，进而求出BO=OE就可以求出点E的坐标；
（2）根据三角形的面积公式可以表示出AG=，由∠BCO=30°，∠BOC=90°由勾股定理就可以求出AG，GC，CB，BO的值就可以求出结论；
（3）延长PF到M，使MF=PF，连接MC，MO就可以得出△MFC≌△PFH，就有MC=PH，∠CMF=∠HPF，进而就可以得出△MCO≌△PAO，从而得出OM=OP，∠MOC=∠POA，从而可以得出结论．
解答： 解：（1）如图1，∵b=
∴a﹣c≥0，c﹣a≥0
∴a=c，b=﹣2，B（﹣2，0）
∴OA=OC，∠AOC=90°
∴∠OAC=∠OCA=45°
∵BD⊥AC
∴∠BDA=90°，∠DBA=45°
∵∠BOE=∠BEO=45°，
∴OB=OE=2
∴E（0，2）
（2）证明：如图2，∵AG⊥BC，CO⊥AB
∴S△ABC=OC•AB=BC•AG
∴AG=
∵∠BCO=30°，∠BOC=90°
∴BC=2BO=4，CO==2
∴OA=OC=2，AB=2+2
∴AG===3+
∵在Rt△AGB中，∠GBA=60°，∠GAB=30°
∴BG=AB=1+，CG=BC﹣BG=4﹣1﹣=3﹣
∴AG+GC=3++3﹣=6，
∵BC+BO=4+2=6
∴AG+GC=BC+BO
（3）∠OPF=45°，大小保持不变．
理由：如图3，延长PF到M，使MF=PF，连接MC，MO，
∵F为CH的中点，
∴FH=FC．
在△MFC和△PFH中
，
∴△MFC≌△PFH（SAS），
∴MC=PH，∠CMF=∠HPF
∵PH=PA
∴MC=PA，MC∥PQ，
∴∠MCO=∠CQP．
∵∠CQP+∠PQO=180°，∠PAO+∠OQP=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠MCO=∠PAO．
在△MCO和△PAO中
，
∴△MCO≌△PAO（SAS）
∴OM=OP，∠MOC=∠POA．
∵∠POA+∠POC=90°，
∴∠MOP=∠MOC+∠COP=90°，
∴∠OPF=45°．
点评： 本题考查了二次根式的性质的运用，坐标与图形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，平行线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
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