扬州市扬州中学教育集团树人学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

扬州市扬州中学教育集团树人学校2021-2022学年八年级上学期

期末数学试题

（满分：150分；考试时间：120分钟）

一．选择题（共8题，每题3分，共24分）

1. 新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（　　）

A.  B.

C.  D.

2. 下列实数0，，，π，其中，无理数共有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3. 已知等腰三角形的两边长为4，5，则它的周长为（　　）

A. 13 B. 14 C. 15 D. 13或14

4. 平面直角坐标系中，点（a2+1，2020）所在象限是（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　　）

A. （2，0） B. （0，3） C. （4，0） D. （2，5）

6. 如图，点B，C在线段AD上，AB＝CD，AE∥BF，添加一个条件仍不能判定△AEC≌△BFD的是（　　）

A. AE＝BF B. CE＝DF C. ∠ACE＝∠BDF D. ∠E＝∠F

7. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（　　）

A. ，， B.

C.  D. ，

8. 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　　）

A. 1 B. 3 C.  D.

二．填空题（共10题，每题3分，共30分）

9. 的立方根是__________．

10. 已知一次函数的图像经过点，则________.

11. 如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a，a＋10)，则a＝________．

12. 已知点，都在直线上，则______．（填“<”或“>”或“=”）

13. 如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为_______

14. 若点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围是____________．

15. 如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1=66°，那么∠2=________．

16. 如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 _____．

17. 现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，则水的深度为______m．

18. 已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是_____．

三．解答题（共10小题）

19. （1）计算：﹣(﹣π)0+；

（2）(2x﹣1)3﹣27=0．

20. 已知y﹣3与x+4成正比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣3．求：

（1）y与x之间的函数表达式；

（2）当x＝﹣5时，y的值．

21. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．

（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______；

（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；

（3）已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标．

22. 如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．

（1）求A、C两点之间的距离．

（2）求这张纸片的面积．

23. 沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，////，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，垂足为D．已知米．请根据上述信息求标语AB的长度______.

24. 如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，

（1）求证：△ABE≌△ACF；

（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=______°．

25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y2＝2x相交于点B（m，4）．

（1）求直线l1的表达式；

（2）直线l1与y轴交于点M，求△BOM的面积．

（3）若y2≥y1，直接写出x的取值范围．

26. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．

（1）A，B两城相距 千米；

（2）当1≤t≤4时，求乙车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系式；

（3）乙车出发后     小时追上甲车．

27. 如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．

（1）请直接写出点C的坐标；

（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；

（3）如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．

28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．

（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：

①求点C的坐标；

②求△OAC的面积．

（2）在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．

（3）如图2，作∠AOC的平分线OF，若，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．

答案与解析

一．选择题（共8题，每题3分，共24分）

1. 新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义判定即可解答．

【详解】解：四个图形中是轴对称图形的只有A选项，

故选A．

【点睛】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义并能正确识别轴对称图形是解答本题的关键．

2. 下列实数0，，，π，其中，无理数共有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据无理数的概念可判断出无理数的个数．

【详解】解：无理数有：，.

故选B.

【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．

3. 已知等腰三角形的两边长为4，5，则它的周长为（　　）

A. 13 B. 14 C. 15 D. 13或14

【答案】D

【解析】

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】（1）当4是腰时，符合三角形的三边关系，
周长=4+4+5=13；
（2）当5是腰时，符合三角形的三边关系，
周长=4+5+5=14．
故选D．

【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键是进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．

4. 平面直角坐标系中，点（a2+1，2020）所在象限是（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据点的横纵坐标的正负判断即可．

【详解】解：因为a2+1≥1，

所以点（a2+1，2020）所在象限是第一象限．

故选：A．

【点睛】本题主要考查点所在的象限，掌握每个象限内点的横纵坐标的正负是关键．

5. 若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　　）

A. （2，0） B. （0，3） C. （4，0） D. （2，5）

【答案】A

【解析】

【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝−2x＋b经过点（2，0）．

【详解】解：由方程的解可知：当x＝2时，−2x＋b＝0，

即x＝2，y＝0，
∴直线y＝−2x＋b的图象一定经过点（2，0），
故选：A．

【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．

6. 如图，点B，C在线段AD上，AB＝CD，AE∥BF，添加一个条件仍不能判定△AEC≌△BFD的是（　　）

A. AE＝BF B. CE＝DF C. ∠ACE＝∠BDF D. ∠E＝∠F

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形全等的判定定理逐项分析即可．

【详解】解：∵AE∥BF,

∴∠A＝∠FBD,

∵AB＝CD,

∴AC＝BD,

A.当AE＝BF时，根据SAS可以判定三角形全等，不符合题意；

B.当CE＝DF时，SSA不能判定三角形全等，符合题意；

C.当∠ACE＝∠D时，根据ASA可以判定三角形全等，不符合题意；

D.当∠E＝∠F时，根据AAS可以判定三角形全等，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形的判定定理．

7. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（　　）

A. ，， B.

C.  D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形内角和公式和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．

【详解】解：A、 符合勾股定理的逆定理，故A选项是直角三角形，不符合题意；

B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故B选项是直角三角形，不符合题意；

C、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，故C选项不是直角三角形，符合题意；

D、根据三角形内角和定理，求得各角分别为90°，40°，50°，故D选项是直角三角形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】.本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

8. 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　　）

A. 1 B. 3 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设AD⊥y轴于点D；BF⊥y轴于点F；BG⊥CG于点G，然后求出A、B、C、D、E、F、G各点的坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案．

【详解】解：如图，

由题意可得：A点坐标为（-1，2+m），B点坐标为（1，-2+m），

C点坐标为（2，m-4），D点坐标为（0，2+m），

E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，-2+m），G点坐标为（1，m-4）．

所以，DE=EF=BG=2+m-m=m-（-2+m）=-2+m-（m-4）=2，

又因为AD=BF=GC=1，

所以图中阴影部分的面积和等于．

故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为1，高为2的直角三角形是解题的关键．

二．填空题（共10题，每题3分，共30分）

9. 的立方根是__________．

【答案】-2

【解析】

【分析】根据立方根的定义进行求解即可得．

【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8，

∴﹣8的立方根是﹣2，

故答案﹣2．

【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．

10. 已知一次函数的图像经过点，则________.

【答案】1

【解析】

【分析】直接把点P（-1，0）代入一次函数y=kx+1，求出k的值即可．

【详解】∵一次函数y=kx+1的图象经过点P（-1，0），

∴0=-k+1，解得k=1．

故答案为1．

【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

11. 如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a，a＋10)，则a＝________．

【答案】5

【解析】

【分析】根据作图方法可知点C在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点C到x轴和y轴的距离相等，结合点C在第一象限，可得关于a的方程，求解即可．

【详解】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，

∴点C在∠BOA的角平分线上，

∴点C到x轴和y轴的距离相等，

又∵点C在第一象限，点C的坐标为（3a，a+10），

∴3a=a+10，

∴a=5．

故答案为：5．

【点睛】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．

12. 已知点，都在直线上，则______．（填“<”或“>”或“=”）

【答案】<

【解析】

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质找出结论亦可）．

【详解】解：∵点（-2，y1）、（2，y2）都在直线y=2x-3上，
∴y1= -7，y2= 1．
∵-7＜1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值是解题的关键．

13. 如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为_______

【答案】-1

【解析】

【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示-1，可得M点表示的数．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=1，

∴BC=1，∠ABC=90°，

∴，

则AM=，

∵A点表示-1，

∴M点表示−1，

故答案为：−1．

【点睛】此题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，解题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．

14. 若点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围是____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意易得，然后求解不等式组即可．

【详解】解：∵点关于原点的对称点在第四象限，则点P在第二象限，

∴，解得：；

故答案为．

【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称及不等式组的解法，熟练掌握点的坐标关于原点对称及不等式组的解法是解题的关键．

15. 如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1=66°，那么∠2=________．

【答案】48°

【解析】

【分析】两直线平行，同旁内角互补；另外折叠前后两个角相等．根据这两条性质即可解答．

【详解】解：根据题意知：折叠所重合的两个角相等．再根据两条直线平行，同旁内角互补，得：
2∠1+∠2=180°，

解得：∠2=180°2∠1=48°．
故答案为：48°．

【点睛】注意此类折叠题，所重合的两个角相等，再根据平行线的性质得到∠1和∠2的关系，即可求解．

16. 如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 _____．

【答案】101寸

【解析】

【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到答案．

【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：

由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，

设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，

则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，

∴AE＝OA﹣OE＝（r﹣1）寸，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，

即（r﹣1）2+102＝r2，

解得：r＝50.5，

∴AB＝2r＝101（寸），

故答案为：101寸．

【点睛】本题考查了勾股定理，添加辅助线构造出直角三角形再用勾股定理求解是解题的关键．

17. 现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，则水的深度为______m．

【答案】3.2

【解析】

【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，即可求交点P的坐标，点P的纵坐标即为所求．

【详解】解：设y1为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y1=k1x+b1，

∴，

解得：，

即y1=-x+4 （0≤x≤3），

设y2乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y2=k2x+b2，

∴，

解得，

即y2=2x+2 （0≤x≤3）；

令y1=y2，则-x+4=2x+2，

解得：x=，

y=2×+2=，

∴P（，），

∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则水的深度为米，即3.2米．

故答案为：3.2．

【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．

18. 已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是_____．

【答案】6

【解析】

【分析】由点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上将P点坐标代入计算可得a，b，c之间的关系，再根据的面积是，可求解ab＝9，再结合勾股定理计算可求解．

【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，
∴，
即，
∴，
∴，

∵的面积是，

∴，
∴ab＝9，
∴，
∵，
∴，
解得c＝6（舍去负值），
故答案为：6．

【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的特征，三角形的面积，勾股定理等知识，利用一次函数图象上点的特征，求解a，b，c之间的关系式解题的关键．

三．解答题（共10小题）

19. （1）计算：﹣(﹣π)0+；

（2）(2x﹣1)3﹣27=0．

【答案】（1）10；（2）x=2．

【解析】

【分析】（1）直接利用零指数幂、负整数指数幂的性质、平方根的性质分别化简得出答案．

（2）根据立方根的含义和求法计算即可．

【详解】（1）原式=2﹣1+9

=10；

（2）∵(2x﹣1)3﹣27=0，

∴(2x﹣1)3=27，

∴2x﹣1=3，

解得x=2．

【点睛】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、平方根以及立方根，正确化简各数是解题关键．

20. 已知y﹣3与x+4成正比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣3．求：

（1）y与x之间的函数表达式；

（2）当x＝﹣5时，y的值．

【答案】（1）   

（2）y＝5

【解析】

【分析】（1）设，通过待定系数法求解．
（2）将x＝−5代入解析式求解．

【小问1详解】

解：设，
将x＝−1，y＝−3代入得−3−3＝3k，
解得k＝−2，
∴，即．

【小问2详解】

解：把x＝−5代入y＝−2x−5得

y＝−2×（−5）−5＝5．

【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，由y﹣3与x+4成正比例设．

21. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．

（1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______；

（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；

（3）已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标．

【答案】（1）4    （2）   

（3）P点坐标为或

【解析】

【分析】（1）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；

（2）利用关于y轴对称的点的坐标得出答案；

（3）利用三角形面积得，即可得．

【小问1详解】

解：如图所示：

的面积为：．

【小问2详解】

解：∵点D与点C关于y轴对称，C(4，3)，

∴点D的坐标为：（-4，3），

故答案为：（-4，3）．

【小问3详解】

解：∵P为x轴上一点，的面积为1，

∴，

∴点P的横坐标为：或，

故P点坐标为：或．

【点睛】本题考查了三角形面积和关于y轴对称点的性质，解题的关键是掌握这些知识点

22. 如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．

（1）求A、C两点之间的距离．

（2）求这张纸片的面积．

【答案】（1）A、C两点之间的距离为15cm；   

（2）114（cm2）

【解析】

【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；

（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD=90°，由于四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．

【小问1详解】

解：连接AC，如图．

在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，

∴AC．

即A、C两点之间的距离为15cm；

【小问2详解】

解：∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，

∴∠ACD＝90°，

∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD

=AB•BCAC•CD

=9×1215×8

＝54+60

＝114（cm2）．

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．

23. 沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，////，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，垂足为D．已知米．请根据上述信息求标语AB的长度______.

【答案】16

【解析】

【分析】已知AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP，再由垂直的定义可得∠CDO=，可得PB⊥AB，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB，即可根据ASA定理判定△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米．

【详解】∵AB∥CD，

∴∠ABP=∠CDP，

∵PD⊥CD，

∴∠CDP=，

∴∠ABP=，即PB⊥AB，

∵相邻两平行线间的距离相等，

∴PD=PB，

在△ABP与△CDP中，

，

∴△ABP≌△CDP（ASA），

∴CD=AB=16米．

故答案为：16

【点睛】本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键．

24. 如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，

（1）求证：△ABE≌△ACF；

（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=______°．

【答案】（1）证明见解析；（2）75．

【解析】

【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可；

（2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数．

【详解】证明：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠ACF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS）；

（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，

∴∠CAF=∠BAE=30°，

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD，

∴∠ADC==75°，

故答案为:75

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键．

25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y2＝2x相交于点B（m，4）．

（1）求直线l1的表达式；

（2）直线l1与y轴交于点M，求△BOM的面积．

（3）若y2≥y1，直接写出x的取值范围．

【答案】（1）y=x+3   

（2）3    （3）x≥2

【解析】

【分析】（1）将B（m，4）代入y＝2x可得m＝2，B（2，4），再用待定系数法即可得直线的表达式为；
（2）在中，令x＝0得y＝3，即得OM＝3，故△BOM的面积；
（3）根据图形即可求得．

【小问1详解】

解：将B（m，4）代入得：4＝2m，
解得m＝2，
∴B（2，4），
设直线的表达式为，将（−6，0）、（2，4）代入得：
，解得，
∴直线的表达式为；

【小问2详解】

解：在中，令x＝0得y＝3，
∴M（0，3），
∴OM＝3，
∴；

【小问3详解】

解：观察图像，当x≥2时，，
∴若，x的取值范围是x≥2．

【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．

26. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．

（1）A，B两城相距 千米；

（2）当1≤t≤4时，求乙车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系式；

（3）乙车出发后     小时追上甲车．

【答案】（1）300；（2）乙对应的函数解析式为y=100x-100(1≤t≤4)；（3）1.5．

【解析】

【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；

（2）根据图象中的信息用待定系数法分别求出乙车对应的函数解析式；

（3）根据图象中的信息求出甲车对应的函数解析式，根据题意得方程，解方程即可解答本题．

【详解】解：（1）由图可知，

A、B两城相距300千米；

故答案为：300；

（2）设乙对应的函数解析式为y=mx+n，

，

解得，

即乙对应的函数解析式为y=100x-100(1≤t≤4)；

（2）设甲对应的函数解析式为：y=kx，

300=5k，

解得，k=60，

即甲对应的函数解析式为：y=60x，

令60x=100x-100，解得x=2.5，

2.5-1=1.5（小时），

即乙车出发后1.5小时追上甲车；

故答案为：1.5．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

27. 如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．

（1）请直接写出点C的坐标；

（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；

（3）如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（8，6）   

（2）CF＝3    （3）存在，y＝-3x+26

【解析】

【分析】（1）根据矩形性质和坐标与图形性质可求解；

（2）由折叠性质得，，，利用勾股定理求解、即可；

（3）分两种情况：点P在BC上方和点P在BC下方两种情况，利用全等三角形的判定与性质求得PF=BE，EP=DF即可求解．

【小问1详解】

解：∵四边形OACB是矩形，OA＝8，OB＝6，

∴AC=OB=6，BC=OA=8，∠OAC=90°，

∴点C坐标为（8，6）；

【小问2详解】

解：由折叠性质得：，，，

∵OA＝8，OB＝6，∠AOB=90°，

∴AB==10，则=10-6=4，

在Rt△中，BF=8-CF，由勾股定理得，

解得：CF=3；

【小问3详解】

解：存在，设P（a，2a－4），

当点P在BC上方时，如图，过点P作EFBC交y轴于E，交DC延长线于F，

则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，

∵∠BPE+∠EBP=90°，∠BPE+∠DPF=90°，

∴∠EBP=∠DPF，又BP=PD，

∴△BEP≌△PFD（AAS），

∴BE=PF=2a-4-6=2a-10，DF=PE=a，

∴EF=PE+PF=3a-10=8，解得：a=6，

∴P（6，8），D（8，2），

设直线PD的解析式为y=kx+b，

则，解得：，

∴直线PD的解析式为y=－3x+26；

当点P在BC下方时，如图，过点P作EFBC交y轴于E，交AC于F，

则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，

同理可得△BEP≌△PFD（AAS），

∴BE=6-(2a-4)=10-2a，DF=PE=a，

∴EF=PE+PF=10-a=8，解得：a=2，

∴P（2，0），这与点P在第一象限不符，故舍去，

综上，直线PD的解析式为y=-3x+26．

【点睛】本题考查求一次函数的解析式、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．

28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．

（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：

①求点C的坐标；

②求△OAC的面积．

（2）在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．

（3）如图2，作∠AOC的平分线OF，若，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．

【答案】（1）①（4，4）；②12   

（2）（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）   

（3）不变，

【解析】

【分析】（1）①当−2x＋12＝x时，解方程即可；
②当y＝0时，则−2x＋12＝0，得出点A的坐标，即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出OC的长，再分OC＝OP，CO＝CP，PO＝PC三种情形，进而得出答案；
（3）首先利用ASA证明△AOE≌△COE，得OA＝OC＝4，再利用面积法可得PN＋PM＝AH，再利用勾股定理求出AH的长即可．

【小问1详解】

解：①由题意得−2x＋12＝x，
解得x＝4，
∴y＝4，
∴点C（4，4）；
②当y＝0时，−2x＋12＝0，
∴x＝6，
∴A（6，0），
∴OA＝6，
∴△OAC的面积为；

【小问2详解】

解：∵C（4，4），
∴，
当OC＝OP＝ 时，
点P（，0）或（，0），
当CO＝CP时，点P（8，0），
当PO＝PC时，点P（4，0），
综上：点P（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）；

【小问3详解】

解：PM＋PN的值不变，连接OP，作AH⊥OC于H，

∵OF平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∵OF⊥AB，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（ASA），
∴OA＝OC＝4，
∵，
∴OC×AH＝OC×PN＋OC×PM，
∴PN＋PM＝AH，
∵直线OC的解析式为y＝x，
∴∠AOC＝45°，
∴，

∴．
∴PM＋PN的值不变，为．

【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用全等证明OA＝OC＝4是解题的关键．