福建省福州市福清市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年福建省福州市福清市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.     许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     如图，已知点A、B、C依次在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.     将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，则所得新抛物线的顶点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     下列一元二次方程没有实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.     如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，边与边OB交于点不在 OB上，则的度数为(    )
    

A.  B.  C.  D.

6.     已知、是抛物线上两点，则、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     如图，AB是半圆O的直径，C、N为半圆上的两点，且，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于M，若，则的度数(    )

A.  B.  C.  D.

8.     《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门
   狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9.     如图，在中，，，，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若抛物线的顶点在x轴上，且不等式的解集为或，则m的值为(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11. 已知为一元二次方程的解，则______.
12. 若点与点关于原点对称，则______ .
13. 如图，正六边形ABCDEF内接于，半径为2，则这个正六边形的边心距OM的长为______ .

14. 一元二次方程两根分别为a、b，则式子的值等于______.
15. 汽车刹车后行驶的距离单位：关于行驶的时间单位：的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了______米．
16. 如图，边长的等边中，点D为BC上一点，且，点E为AB边上的一个动点，点E绕点D顺时针旋转得到点F，则AF的最小值为______.

三．解答题（本大题共10大题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程：
18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，网格中每一格的边长均为一个单位长度，请解答以下问题．
    画出绕点B顺时针旋转得到的；
    写出点A旋转过程中走过的路径长为______结果保留

19. 关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
20. 对于抛物线
    顶点坐标为______；
    在坐标系中利用描点法画出此抛物线

结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是______.

21. 如图，AB为的直径，点C在上，连接AC，BC，过点O作于点D，在OD的延长线上取点E，连接CE，且
    求证：CE是的切线；
    若的半径长为，，求BC的长．

22. 如图，已知，，将绕点A逆时针旋转得到，其中点B与点D对应，点C与点E对应．
    作出尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    若，，求的面积．

23. 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为40元/件，每销售一件需缴纳平台推广费10元，当该款小电器每件售价为60元时，每天销售量为60件；当每件售价涨价1元时，每天销售量减少2件；为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于85元/件．
    若当天价格涨价x元时，可获利600元，求x的值．
    销售经理说：“当天销售量最大，则当天的总利润最大．”你认为对吗？请说明理由．
24. 如图1，在中，AB、CD是直径，弦，垂足为
    求证：；
    如图2，点G在CD上，且
    ①求证：；
    ②若，，求OG的长．

25. 已知抛物线经过点、，与y轴交于点C，点P在抛物线的对称轴上．
    求抛物线解析式；
    连接BP，将线段BP绕着点P逆时针旋转，得到PQ，若点Q落在抛物线上，求点P的坐标；
    若点P的纵坐标为，过点P的直线交抛物线于点M，N，当线段MN被BC平分时，求直线MN的解析式．
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：
 

2.【答案】C 

【解析】解：和都对，

故选：
 

3.【答案】B 

【解析】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得，
顶点坐标为，
故选：
 

4.【答案】D 

【解析】解：，则，解得，所以A选项不符合题意；
B.，则，解得，，所以B选项不符合题意；
C.，则，解得，所以C选项不符合题意；
D.，，方程没有实数解，所以D选项符合题意．
故选：
 

5.【答案】A 

【解析】

解：绕点O顺时针旋转，得到，
，，
，
，
故选  

6.【答案】C 

【解析】解：将代入得，
将代入得，

故选：
 

7.【答案】B 

【解析】解：如图，连接OC，

，
，
为半圆O的切线，
，
，
，
，
故选：

 

8.【答案】A 

【解析】解：若设竿长AC为x尺，则BC为尺，AB为尺，
根据题意得：
故选：
 

9.【答案】D 

【解析】解：连接AD，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：
 

10.【答案】A 

【解析】解：抛物线的顶点在x轴上，
，
，
不等式的解集为或，
或是关于x的方程的解，
，
解得，
的值为4，
故选：
根据抛物线的顶点在x轴上得出，再根据不等式的解集为或可以得出或是关于x的方程的解，然后解方程组即可求出m的值．
本题考查了二次函数与不等式组以及二次函数与一元二次方程的关系，关键是对二次函数性质的掌握．
 

11.【答案】1 

【解析】解：把代入方程得，
解得
故答案为：
把代入原方程得关于a的方程，然后解关于a的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

12.【答案】 

【解析】

解：根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
，
故答案为  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键．
根据正六边形的性质求出，利用余弦的定义计算即可．
【解答】
解：连接OB，
六边形ABCDEF是内接正六边形，
，
，
故答案为：  

14.【答案】13 

【解析】解：一元二次方程两根分别为a、b，
，

故答案为：
15.【答案】 

【解析】解：，
汽车刹车后到停下来前进了米．
故答案为：

16.【答案】 

【解析】解：如图，在AB上截取，连接HD，HF，

是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
点E绕点D顺时针旋转得到点F，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
点F在过点H平行于BC的直线上运动，
当时，AF有最小值，
此时，，
，
，，
，
故答案为：
 

17.【答案】解：，，，
，
，
， 

18.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；

，

故答案为：
 

19.【答案】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得：
故m的取值范围为 

20.【答案】 

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故答案为：
将，1，2，3，4分别代入得，2，1，2，5，
图象如下：

故答案为：5，2，1，2，
由图象可得时，
故答案为：
将二次函数解析式化为顶点式求解．
将，1，2，3，4分别代入求解，通过描点描线作图．
结合图象求解．

 

21.【答案】证明：连接OC，如图所示，

，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的切线．
在中，
，
，，
∽，
，即，
在中，
，
，
 

22.【答案】解：如图，即为所求；

根据题意可知：，，，
过点D作于点F，

，
，
，
的面积 

23.【答案】解：根据题意得：，
整理得：，
解得，，
此时或80，
销售价格不得低于75元/件且不得高于85元/件，
；
对，理由：
设当天的销售量为y件，利润为w元，
根据题意得：，
，
销售价格不得低于75元/件且不得高于85元/件，
，
，
，
当时，w最大，最大值为750，
，
当时，y有最大值，最大值为30，
经销商说的对． 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
①证明：连接AE、CE，如图，
，，
，
，
为直径，
，
，
，，，
，
，，
四边形AECG为平行四边形，
，
，
；
②解：设，则，
，，
为的中位线，
，
四边形AECG为平行四边形，
，
，
在中，，，，
，
整理得，
解得，舍去，
即OG的长为 

25.【答案】解：将、代入得，
，解得
抛物线的解析式为：
由知抛物线的对称轴为直线，
设点P的坐标为，如图，过作对称轴于D，设对称轴与x轴交于点

①当时，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
将代入得：，
解得：，舍去，
此时；
②当时，要使，由图可知点与B点重合，
，
，
，
满足条件的点P的坐标为或
设直线MN的解析式为，点M的坐标为，点N的坐标为，
将P点坐标代入，得，即；
联立抛物线与直线的解析式，
可得：，
消元化简，得，
由根与系数的关系，得：，
，
，，
，，
直线BC的解析式为：
将MN的中点坐标代入直线BC，得，
消元化简，得：，解得或，
直线MN的解析式为或