2023-2024学年重庆市石柱一中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市石柱一中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了选择题，四象限．，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．π
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．48°B．42°C．138°D．52°
4．反比例函数的图象经过点（﹣1，﹣4），k的值为（ ）
A．B．C．4D．﹣4
5．两个相似三角形的面积比为1：4，那么这两个三角形的周长比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
6．估计的运算结果应在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
7．下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（ ）
A．33B．34C．35D．36
8．已知如图，在▱ABCD中，点E为AD上一点，DE：AE＝1：2，CE交对角线BD于点F，若△CDF的面积为3，则△BCF的面积为（ ）
A．18B．12C．9D．6
9．已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（ ）
A．2αB．45°+αC．D．
10．对于任意实数a和b，定义新运算a#b＝，有下列四个结论，其中正确的结论个数为（ ）
①2#（﹣1）的运算结果为6；
②方程3x#（x﹣2）＝0的解为x1＝0，x2＝﹣1；
③当x＜5时，函数y＝2#（x﹣3）的图象经过第一、二、四象限；
④函数y＝2x#（x﹣1）的图象不经过第二、四象限．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将正确答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．计算：＝ ．
12．2023年10月18日，国家统计局发布数据显示，前三季度我国国内生产总值约913000亿元，按不变价格计算，同比增长约5.2%，数913000用科学记数法表示 ．
13．等腰三角形的一个外角是50°，则这个等腰三角形的底角为 ．
14．星期天，小颖和小桥相约去公园跑步，已知公园有A、B、C三个入口，那么她们从同一个入口进入公园的概率是 ．
15．如图，在正方形ABCD中，对角线，以点B为圆心、AB为半径画弧交BD于点E，以点D为圆心、CD为半径画弧交BD于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E和F是AB上的点，将边AC沿CE翻折，点A落在AB边上的点D处，将BC沿CF翻折，点B落在CD延长线上点B'处，B'F的长为 ．
17．关于x的不等式组有解且最多五个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
18．一个四位自然数N，各个数位上的数字均不等于0且互不相等，当N的十位数字减去个位数字的差等于N的千位数字减去百位数字的差的2倍时，我们称自然数N为“倍差数”；当N的十位数字与个位数字的和等于N的千位数字与百位数字的和的2倍时，我们称自然数N为“倍和数”；则最小的“倍差数”与最大的“倍和数”的和是 ；
将“倍差数”N的千位数字与百位数字交换位置，十位数字与个位数字交换位置后得到的新“倍差数”为N′，且规定F（N）＝，G（N）＝，自然数M既是“倍差数”又是“倍和数”，且F（M）和G（M）均为正整数，则满足条件的数M为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）（a﹣1）2+（a+1）（a﹣1）；
（2）．
20．在学习了全等三角形形判定与性质的相关知识后，小语进行了拓展性研究，她发现全等三角形的对应角平分线与全等三角形的对应边或对应角有类似性质．她的解决思路为通过证明对应线段所在的两个三角形全等即可得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规作∠FEG的角平分线，交FG于点H．（只保留作图痕迹）如图，△ABC≌△EFG，AD平分∠BAC交BC于D，EH平分∠FEG交FG于H．
求证：AD＝EH．
证明：∵△ABC≌△EFG，
∴AB＝EF，
∠BAC＝∠FEG，
① ，
∵AD平分∠BAC，EH平分∠FEG，
∴，，
∴② ，
在△ABD和△EFH中，
，
∴△ABD≌△EFH（③ ），
∴AD＝EH．
小语再进一步探究发现，全等三角形的对应高线或中线均具备此特征．依照题意，对应高线或中线此特征应表述为命题：④ ．
21．近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到2万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校现有学生七年级780名，八年级800名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
22．开学期间，“艾上雪”品牌书包以其样式新颖，寓意美好，价格合理而深受学生喜欢．某文具店主统计了前两周的“艾上雪”学生包的销售情况，发现第一周男生包的销量是100个，女生包销量是120个，总利润是2800元；第二周男生包的销量是180个，女生包的销量是200个，总利润是4800元．
（1）每个男生包和女生包的利润分别是多少元？
（2）在两种书包的进价不变的情况下，第三周店主调整了价格，男生包每个涨价m元，女生包每个降价m元，统计后发现，第三周两种类型书包的销量一样，并且男生包的利润达2400元，女生包的利润达2600元．求出m的值．
23．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣D﹣C向终点C（不与C点重合）运动，若P点运动时间为t（秒），△PCE的面积为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当y≥4时t的值（精确到0.1，误差不超过0.2）．
24．近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形ABCD的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东45°方向上，点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知AB＝100米，CD＝400米．（参考数据：，）
（1）求四边形空地AD边的长；（精确到0.1米）
（2）政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为30元，判断费用是否充足？
25．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+4相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一动点，PD⊥BC于点D，PF⊥x轴于点F，交BC于点E，求△PDE周长的最大值以及点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，将抛物线y＝﹣x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标．
26．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°，AB＝AC，点D是AC上任意一点，点H是射线BC上一点，连接BD，AH．
（1）如图1，当点H在线段BC上时，若AH⊥BD，AB＝6，AH＝3，求HC的长；
（2）如图2，将△ABD绕点D顺时针旋转90°得到△FED，连接CE，连接AF，CE和AF相交于点M．求证：AD＝FM；
（3）如图3，连接DH，将△ADH沿AH翻折得到△AD′H，连接BD′，若点F是BD′的中点，且∠ABD＝30°，AD＝2，当CF取最小值时，求的值．
参考答案
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．π
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
解：∵﹣2＜﹣1＜0＜π，
∴所给的四个数中，最小的数是﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
3．如图，a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．48°B．42°C．138°D．52°
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等解答即可．
解：∵∠1＝∠3＝42°，a∥b，
∴∠2＝∠3＝42°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
4．反比例函数的图象经过点（﹣1，﹣4），k的值为（ ）
A．B．C．4D．﹣4
【分析】把点（﹣1，﹣4）代入函数解析式来求k的值即可．
解：把点（﹣1，﹣4）代入的得到：﹣4＝﹣，
解得k＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式．
5．两个相似三角形的面积比为1：4，那么这两个三角形的周长比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的周长的比等于相似比解答．
解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴它们的相似比是1：2，
∴它们的周长比是1：2．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质并求出两三角形的相似比是解题的关键．
6．估计的运算结果应在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
【分析】将原式计算后进行估算即可．
解：原式＝4+，
∵16＜24＜25，
∴4＜＜5，
∴8＜4+＜9，
即原式的值在8和9之间，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
7．下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（ ）
A．33B．34C．35D．36
【分析】根据已知图形得出第（n+1）个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n+2n+1，据此可得．
解：∵第①个图形中黑色三角形的个数1＝1+2×（1﹣1），
第②个图形中黑色三角形的个数4＝1+2×1+1，
第③个图形中黑色三角形的个数8＝1+2+2×2+1，
第④个图形中黑色三角形的个数13＝1+2+3+2×3+1，
……
∴第⑦个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+6+2×6+1＝34，
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出第（n+1）个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n+2n+1．
8．已知如图，在▱ABCD中，点E为AD上一点，DE：AE＝1：2，CE交对角线BD于点F，若△CDF的面积为3，则△BCF的面积为（ ）
A．18B．12C．9D．6
【分析】首先利用平行线的性质和已知条件可以求出BF：DF，然后利用三角形的面积公式即可求解．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，△EFD∽△CFB，
∴DF：BF＝DE：BC＝DE：AD，
∵DE：AE＝1：2，
∴DE：AD＝1：3，
∴DF：BF＝1：3，
∴＝＝，
∵△CDF的面积为3，
∴△BCF的面积为9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了平行四边形的性质及三角形的面积公式，有一定的综合性．
9．已知如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E，交AC于点F，若∠BAD＝α，则∠DFO一定等于（ ）
A．2αB．45°+αC．D．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，进而利用互余解答即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝，
∴∠DFO+∠FDO＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDO+∠ABO＝90°，
∴∠DFO＝∠ABO，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DFO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣，
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答．
10．对于任意实数a和b，定义新运算a#b＝，有下列四个结论，其中正确的结论个数为（ ）
①2#（﹣1）的运算结果为6；
②方程3x#（x﹣2）＝0的解为x1＝0，x2＝﹣1；
③当x＜5时，函数y＝2#（x﹣3）的图象经过第一、二、四象限；
④函数y＝2x#（x﹣1）的图象不经过第二、四象限．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据定义新运算计算即可判断①；分两种情况讨论得到一元二次方程，解方程即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；利用二次函数的图象即可判断④．
解：①∵2＞﹣1，
∴2#（﹣1）＝22﹣2×（﹣1）＝6，故正确；
②当3x≥x﹣2，即x≥﹣1时，方程为9x2﹣3x（x﹣2）＝0，
整理得6x2+6x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1，
当3x＜x﹣2，即x＜﹣1时，方程为（x﹣2）2﹣3x（x﹣2）＝0，
整理得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝2或x＝﹣1（不合题意，舍去），
∴方程3x#（x﹣2）＝0的解为x1＝0，x2＝﹣1；故正确；
③∵当x＜5时，函数y＝2#（x﹣3）＝4﹣2（x﹣3）＝﹣2x+10，
∴函数y＝2#（x﹣3）的图象经过第一、二、四象限；故正确；
④当2x≥x﹣1，即x≥﹣1时，函数为y＝4x2﹣2x（x﹣1）＝2x2+2x＝2（x+）2﹣，
当2x＜x﹣1，即x＜﹣1时，函数为y＝（x﹣1）2﹣2x（x﹣1）＝﹣x2+1，
画出函数图象如图：
有图象可知函数的图象不经过第二象限．故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握解一元二次方程的方法以及二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将正确答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．计算：＝ ﹣3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
解：原式＝﹣2﹣1
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12．2023年10月18日，国家统计局发布数据显示，前三季度我国国内生产总值约913000亿元，按不变价格计算，同比增长约5.2%，数913000用科学记数法表示 9.13×105 ．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
解：913000＝9.13×105，
故答案为：9.13×105．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
13．等腰三角形的一个外角是50°，则这个等腰三角形的底角为 25° ．
【分析】根据已知可求得与这个外角相邻的内角，因为没有指明这个内角是顶角还是底角，所以分两情况进行分析，从而不难求得其底角的度数．
解：∵等腰三角形的一个外角为50°，
∴与这个外角相邻的角的度数为130°，
∴当130°角是顶角时，其底角为25°；
故答案为：25°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．星期天，小颖和小桥相约去公园跑步，已知公园有A、B、C三个入口，那么她们从同一个入口进入公园的概率是 ．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出她们从同一个入口进入公园的结果数，然后根据概率公式计算．
解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中她们从同一个入口进入公园的结果数为3，
所以她们从同一个入口进入公园的概率＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
15．如图，在正方形ABCD中，对角线，以点B为圆心、AB为半径画弧交BD于点E，以点D为圆心、CD为半径画弧交BD于点F，则图中阴影部分的面积为 16﹣4π ．
【分析】根据正方形中三角形ABD和三角形CBD面积相等，扇形ABE和扇形DCF面积相等，则S阴＝2（S△ABD﹣S扇形ABE）计算即可．
解：∵BD是正方形ABCD的对角线，BD＝4，
∴AB＝CD＝4，
∵三角形ABD和三角形CBD面积相等，扇形ABE和扇形DCF面积相等，
∴S阴＝2（S△ABD﹣S扇形ABE）＝2（×4×4﹣）＝16﹣4π，
故答案为：16﹣4π．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E和F是AB上的点，将边AC沿CE翻折，点A落在AB边上的点D处，将BC沿CF翻折，点B落在CD延长线上点B'处，B'F的长为 ．
【分析】根据翻折的性质可知角ECF为45度，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积即可求解．
解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
根据两次翻折可知：
∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠DCF，CE⊥AD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝∠ECD+∠FCD＝∠ACB＝45°，
∴∠EFC＝45°，
∴EF＝CE，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝，
∴EF＝，
在Rt△CEB中，
BE＝＝＝，
∴BF＝BE﹣EF＝，
∴B′F＝BF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）、等腰直角三角形、等面积法，解决本题的关键是熟练运用等面积法．
17．关于x的不等式组有解且最多五个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 0 ．
【分析】先解二元一次不等式组，求出x的取值范围，根据已知条件求出a是取值范围，再根据一元二次方程解的情况，求出符合条件的所有整数，然后进行解答即可．
解：，
由①得：x≥a，
由②得：x＜1，
∴a≤x＜1，
∵不等式组最多五个整数解，
∴a≥﹣4，
∵，
a+y+1＝2﹣y，
y+y＝2﹣1﹣a
2y＝1﹣a，
，
∵y的分式方程 有非负整数解，
∴且，
解之得：a≤1且a≠﹣3，
∴﹣4≤a≤1且a≠﹣3，
∵y为非负整数，
∴a＝﹣1，1，
∴符合条件的所有整数a的和为：﹣1+1＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了解二元一次不等式组和解分式方程，解题关键是熟练掌握解二元一次不等式组和解分式方程的一般步骤．
18．一个四位自然数N，各个数位上的数字均不等于0且互不相等，当N的十位数字减去个位数字的差等于N的千位数字减去百位数字的差的2倍时，我们称自然数N为“倍差数”；当N的十位数字与个位数字的和等于N的千位数字与百位数字的和的2倍时，我们称自然数N为“倍和数”；则最小的“倍差数”与最大的“倍和数”的和是 7532 ；
将“倍差数”N的千位数字与百位数字交换位置，十位数字与个位数字交换位置后得到的新“倍差数”为N′，且规定F（N）＝，G（N）＝，自然数M既是“倍差数”又是“倍和数”，且F（M）和G（M）均为正整数，则满足条件的数M为 3162 ．
【分析】第一问：要找到最小的“倍差数”，不妨令千位数字为1，百位数字为2，十位数字为3，则可计算出个位数字为5，因此最小的“倍差数”为1235；设最大的“倍和数”为 ，则c+d＝2（a+b），因为c+d是偶数，所以c+d的最大值为16，a+b的最大值为8；因为各个数位上的数字均不等于0且互不相等，令c＝9，d＝7，a＝6，b＝2，因此最大的“倍和数”为6297；则最小的“倍差数”与最大的“倍和数”的和即可求出．第二问：设自然数M＝，因为M既是“倍差数”又是“倍和数”，所以：c+d＝2（a+b），c﹣d＝2（a﹣b），解得c＝2a，d＝2b；将F（M）和G（M）化简整理，得F（M）＝，G（M）＝；因为F（M）和G（M）均为正整数，则a﹣b是2的正整数倍，a+b是4的正整数倍；因为c＝2a，d＝2b，所以a、b的取值只能是：1，2，3，4；于是a＝3，b＝1，c＝6，d＝2，M＝3162．
解：第一问：要找到最小的“倍差数”，不妨令千位数字为1，百位数字为2，十位数字为3，则可计算出个位数字为5，因此最小的“倍差数”为1235；
设最大的“倍和数”为 ，则c+d＝2（a+b），
因为c+d是偶数，所以c+d的最大值为16，a+b的最大值为8；
因为各个数位上的数字均不等于0且互不相等，令c＝9，d＝7，a＝6，b＝2，因此最大的“倍和数”为6297；
则最小的“倍差数”与最大的“倍和数”的和为：1235+6297＝7532．
第二问：设自然数M＝＝1000a+100b+10c+d，
因为M既是“倍差数”又是“倍和数”，所以：c+d＝2（a+b），c﹣d＝2（a﹣b），解得c＝2a，d＝2b；
M'＝＝1000b+100a+10d+c，则M﹣M'＝900a﹣900b+9c﹣9d＝918（a﹣b），M+M'＝1100a+1100b+11c+11d＝1122（a+b）；
整理得：F（M）＝，G（M）＝；
因为F（M）和G（M）均为正整数，则a﹣b是2的正整数倍，a+b是4的正整数倍；
因为c＝2a，d＝2b，所以a、b的取值只能是：1，2，3，4；
于是a＝3，b＝1，c＝6，d＝2，M＝3162．
故答案为：7532；3162．
【点评】本题考查的是新定义问题，涉及到列代数式、因式分解等知识点；第一问的关键在于求最大的倍和数，设其为 ，则c+d＝2（a+b），因为c+d是偶数，所以c+d的最大值为16，a+b的最大值为8，然后推断出这个数为6297；第二问的关键在于根据题意，列出与自然数M有关的计算式，整理化简后，根据F（M）和G（M）均为正整数，即可推断M各个数位的取值．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．计算：
（1）（a﹣1）2+（a+1）（a﹣1）；
（2）．
【分析】（1）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
解：（1）原式＝a2﹣2a+1+a2﹣1
＝2a2﹣2a．
（2）原式＝•+
＝+
＝
＝．
【点评】本题考查整式的混合运算以及分式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式、完全平方公式、分式的加减运算以及分式的乘除运算，本题属于基础题型．
20．在学习了全等三角形形判定与性质的相关知识后，小语进行了拓展性研究，她发现全等三角形的对应角平分线与全等三角形的对应边或对应角有类似性质．她的解决思路为通过证明对应线段所在的两个三角形全等即可得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规作∠FEG的角平分线，交FG于点H．（只保留作图痕迹）如图，△ABC≌△EFG，AD平分∠BAC交BC于D，EH平分∠FEG交FG于H．
求证：AD＝EH．
证明：∵△ABC≌△EFG，
∴AB＝EF，
∠BAC＝∠FEG，
① ∠B＝∠F ，
∵AD平分∠BAC，EH平分∠FEG，
∴，，
∴② ∠BAD＝∠FEH ，
在△ABD和△EFH中，
，
∴△ABD≌△EFH（③ ASA ），
∴AD＝EH．
小语再进一步探究发现，全等三角形的对应高线或中线均具备此特征．依照题意，对应高线或中线此特征应表述为命题：④ 全等三角形对应边上的高（或中线）相等 ．
【分析】作∠FEG的平分线，交FG，再根据全等三角形性质和判定，角平分线定义等填空即可．
解：用直尺和圆规作∠FEG的角平分线，交FG于点H，如图：
证明：∵△ABC≌△EFG，
∴AB＝EF，
∠BAC＝∠FEG，
①∠B＝∠F，
∵AD平分∠BAC，EH平分∠FEG，
∴，，
∴②∠BAD＝∠FEH，
在△ABD和△EFH中，
，
∴△ABD≌△EFH（③ASA），
∴AD＝EH．
对应高线或中线此特征应表述为命题：④全等三角形对应边上的高（或中线）相等．
故答案为：∠B＝∠F，∠BAD＝∠FEH，ASA，全等三角形对应边上的高（或中线）相等．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应的角平分线，高，中线相等．
21．近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到2万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空：a＝ 92.5 ，b＝ 94 ，m＝ 60% ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校现有学生七年级780名，八年级800名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【分析】（1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级C组同学的分数，可得；
（2）可以对比优秀率；
（3）求出七、八年级优秀人数，再相加可得．
解：（1）＝，
∴中位数是第10位、第11位的平均数，
观察条形统计图可得，中位数在C组，
∴a＝＝92.5，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，b＝94，
m＝×100%＝60%，
故答案为：92.5，94，60%；
（2）∵65%＞60%，
∴八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好；
（3）七年级优秀人数＝780×60%＝468（人），
八年级优秀人数＝800×65%＝520（人），
468+520＝988（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为988人．
【点评】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，关键是正确计算．
22．开学期间，“艾上雪”品牌书包以其样式新颖，寓意美好，价格合理而深受学生喜欢．某文具店主统计了前两周的“艾上雪”学生包的销售情况，发现第一周男生包的销量是100个，女生包销量是120个，总利润是2800元；第二周男生包的销量是180个，女生包的销量是200个，总利润是4800元．
（1）每个男生包和女生包的利润分别是多少元？
（2）在两种书包的进价不变的情况下，第三周店主调整了价格，男生包每个涨价m元，女生包每个降价m元，统计后发现，第三周两种类型书包的销量一样，并且男生包的利润达2400元，女生包的利润达2600元．求出m的值．
【分析】（1）根据“第一周男生包的销量是100个，女生包销量是120个，总利润是2800元；第二周男生包的销量是180个，女生包的销量是200个，总利润是4800元”列方程组求解；
（2）根据“第三周两种类型书包的销量一样”列方程求解．
解：（1）设每个男生包利润为x元，每个女生包的利润是y元，
则：，
解得：，
答：每个男生包利润为10元，每个女生包的利润是15元；
（2）由题意得：，
两边同乘以（10+m）（15﹣m）得：
2400（15﹣m）＝2600（10+m），
解得：m＝2，
当m＝2时，（10+m）（15﹣m）≠0，
∴m＝2是原分式方程的解，
∴m的值为2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
23．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣D﹣C向终点C（不与C点重合）运动，若P点运动时间为t（秒），△PCE的面积为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当y≥4时t的值（精确到0.1，误差不超过0.2）．
【分析】（1）当0≤t≤4时，P在AD上，由已知可得：AP＝t，DP＝4﹣t，CD＝AB＝3，AE＝BE＝AB＝，故y＝S梯形AECD﹣S△APE﹣S△PCD＝t+3；当4＜t＜7时，P在CD上（不包括端点），可知CP＝AD+CD﹣t＝4+3﹣t＝7﹣t，故y＝×4（7﹣t）＝﹣2t+14；
（2）当t＝0时，y＝3；当t＝4时，y＝6；当t＝7时，y＝0；描点即可画出函数图象；由图象可写出函数的一条性质；
（3）观察函数图象可得答案．
解：（1）当0≤t≤4时，P在AD上，如图：
根据已知可得：AP＝t，DP＝4﹣t，CD＝AB＝3，AE＝BE＝AB＝，
∴y＝S梯形AECD﹣S△APE﹣S△PCD＝﹣×t﹣×3（4﹣t）＝t+3；
当4＜t＜7时，P在CD上（不包括端点），如图：
根据题意得：CP＝AD+CD﹣t＝4+3﹣t＝7﹣t，
∴y＝×4（7﹣t）＝﹣2t+14；
∴y＝；
（2）当t＝0时，y＝3；当t＝4时，y＝6；当t＝7时，y＝0；画出图象如下：
由图象可知，当0≤t≤4时，y随x的增大而增大，当4＜t＜7时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）在y＝t+3中，令y＝4时，4＝t+3，
解得t＝≈1.3；
在y＝﹣2t+14中，令y＝4时，4＝﹣2t+14，
解得t＝5；
由图象可知，当1.3≤t≤5时，y≥4．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及一次函数及性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．
24．近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形ABCD的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东45°方向上，点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知AB＝100米，CD＝400米．（参考数据：，）
（1）求四边形空地AD边的长；（精确到0.1米）
（2）政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为30元，判断费用是否充足？
【分析】（1）延长BA交SN于点E，过点C作CF⊥SN于点F，在Rt△CDF中，解直角三角形即可求出AD的长；
（2）分别在Rt△CDF中和Rt△ADE中，求出CF，DF，CD，AE，DE，求出四边形ABCD的周长，再求出改造费用与计划费用比较即可作出判断．
解：（1）延长BA交SN于点E，过点C作CF⊥SN于点F，
由题意，知BCFE是矩形，AB＝100米，CD＝400米，∠CDF＝45°，∠ADE＝60°，
∴BE＝CF，
在Rt△CDF中，CF＝CD•sin∠CDF＝400•sin45°＝400（米），
DF＝CD•cs∠CDF＝400•cs45°＝400（米），
∴BE＝CF＝400米，AE＝BE﹣AB＝300（米），
在Rt△ADE中，AD＝＝＝200≈346.4（米）；
答：四边形空地AD边的长约为346.4米；
（2）∵ED＝＝＝100（米），AB＝100米，BC＝EF＝DE+DF＝（100+400）（千米），CD＝400米，AD＝200米，
∴AB+BC+CD+AD＝100+100+400+400+200≈1758.4（米），
需要改造费用1758.4×30＝52752（元），
∵52752＞50000，
∴改造费用不充足．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+4相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一动点，PD⊥BC于点D，PF⊥x轴于点F，交BC于点E，求△PDE周长的最大值以及点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，将抛物线y＝﹣x2+bx+c沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标．
【分析】（1）求出B、C点坐标，再将这两点坐标代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）先判断△PDE为等腰直角三角形，得△PDE的周长为：PE+PD+DE＝PE+PE+PE＝（+1）PE，设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），计算得出PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m+4＝﹣（m﹣2）2+8，根据二次函数的性质可得结论；
（3）先求出平移后点M的坐标，分三种情况：当BP是对角线时，当PM是对角线时，当BM是对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可．
解：（1）直线y＝﹣x+4与坐标轴交于点B和C，
当x＝0时，y＝4，x＝4时，y＝0，
∴点B（4，0），C（0，4），
把B，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c中得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵PF⊥x轴
∴PF∥y轴，
∴∠BEF＝∠BCO＝45°，
∴∠BEF＝∠PED＝45°，
∵PD⊥BC，
∴△PDE为等腰直角三角形，
∴PD＝DE＝PE，
∴△PDE的周长为：PE+PD+DE＝PE+PE+PE＝（+1）PE，
∴当PE取最大值时，△PDE的周长取最大值，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），
∴PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
当m＝2时，PE有最大值为4，此时△PDE的周长为（+1）PE＝4+4，
点P的坐标为（2，6）；
（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移，个单位，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的顶点为（，），
∴平移后抛物线的顶点为M（3，），
当BP是对角线时，
∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，），
∴N（3，）；
当PM是对角线时，
∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，），
∴N（1，）；
当BM是对角线时，
∵点P的坐标为（2，6），B（4，0），M（3，），
∴N（5，﹣）；
综上，点N的坐标为（3，）或（1，）或（5，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等，运用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题的关键．
26．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°，AB＝AC，点D是AC上任意一点，点H是射线BC上一点，连接BD，AH．
（1）如图1，当点H在线段BC上时，若AH⊥BD，AB＝6，AH＝3，求HC的长；
（2）如图2，将△ABD绕点D顺时针旋转90°得到△FED，连接CE，连接AF，CE和AF相交于点M．求证：AD＝FM；
（3）如图3，连接DH，将△ADH沿AH翻折得到△AD′H，连接BD′，若点F是BD′的中点，且∠ABD＝30°，AD＝2，当CF取最小值时，求的值．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求BC＝12，AN＝BN＝CN＝6，由勾股定理可求解；
（2）由“ASA”可证△ACM≌△EMK，可得AM＝MF，由等腰直角三角形的性质可求解；
（3）可以推出当CE取最大值时，且C、E、F共线时，CF的值最小，
【解答】（1）解：如图1，过点A作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AN⊥BC，
∴BC＝12，AN＝BN＝CN＝6，
∴NH＝＝＝3，
∴HC＝NC﹣NH＝3；
（2）证明：∵将△ABD绕点D顺时针旋转90°得到△FED，
∴AD＝DF，EF＝AB，∠BAD＝∠EFD＝90°，∠ADF＝90°，
∴∠ADF+∠EFD＝180°，AB＝AC＝EF，∠DAF＝∠DFA＝45°，
∴AC∥EF，∠EFA＝45°＝∠DAF，
∴∠ACE＝∠CEF，
∴△ACM≌△EMK（ASA），
∴AM＝MF，
∵∠ADF＝90°，AD＝DF，
∴AF＝AD，
∴AM＝AD，
∴AD＝DM；
（3）解：取AB的中点E，连接EF，
∵点F是BD′的中点，
∴EF＝AD′＝AD＝1，
∵CF≥CE+EF，
∴当EF取最小值时，且C、E、F共线时，CF的值最小．
此时如图，
作CM∥AH，交AB于点M，
∴∠CAH＝∠ACM，，
∵∠ABD＝30°，AD＝2，
∴AB＝AC＝2，BC＝2，
∴AE＝，
在Rt△ACM中，CE＝＝＝，
∵E、F分别是AB、BD′的中点，
∴EF∥AD′，
∴∠CAD′＝∠ACE，
由对称性可得，∠CAH＝∠D′AH，
∴∠ACM＝∠ECM，
∴，
∴，
∴EM＝5﹣2，
∴BM＝6﹣2，AM＝2﹣4，
∴＝＝+1．
【点评】本题是四边形综合题，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，角平分线的性质是关键．
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
a
95
m
八
91
93
b
65%
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
a
95
m
八
91
93
b
65%