2023届江西省丰城中学高三上学期第二次月考数学（理）试题含解析

2023届江西省丰城中学高三上学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出集合A，B，再求两集合的并集即可

【详解】因为，

，

因此.

故选：A

2．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数的运算性质即可求解.

【详解】.

故选：B

3．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的增区间.

【详解】对于函数，有，解得或，

故函数的定义域为，

内层函数在上单调递减，在上单调递增，

外层函数为减函数，

由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.

故选：D.

4．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数解析式利用函数奇偶性的定义可判断奇偶性，可排除B、D，再由时的符号，即可确定函数图象.

【详解】由解析式知：定义域为，关于原点对称，

且，

所以为奇函数，排除B、D，

当时，，，可得，可排除C；

故选：A.

5．已知 则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以

故选：B

6．已知函数（且）在上单调递减，则的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由于函数在上单调递增，所以，解得.

【解析】函数的单调性.

7．若是函数的极值点，则的极小值为．

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题可得，

因为，所以，，故，

令，解得或，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的极小值为，故选A．

【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；

（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

8．已知命题，使得；命题：若，，则是成立的充要条件.下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由指数函数和正弦函数的性质可判断为假命题，由充要条件的定义可判断为真命题，再由复合命题的真假即可得答案.

【详解】解：对命题，因为，所以，

又因为，

所以不存在，使得成立，故命题为假命题，为真命题；

对命题，当时，当时，，所以，所以成立；

当，时，，所以成立；

当，时，，因为，所以，所以成立；

当，时，，因为，所以，所以成立；

所以是成立的充分条件；

当时，当时，可得；

当时，可得；

当时，则有，所以有；

当时，则有，即，所以；

所以必要性满足，

所以若，，则是成立的充要条件，故为真命题.

故选：B.

9．已知函数是奇函数，则的值等于

A． B．3 C．或3 D．或3

【答案】C

【详解】函数为奇函数，则：，即：恒成立，

整理可得：，即恒成立，，

当时，函数的解析式为：，，

当时，函数的解析式为：，，

综上可得：的值等于或3.

本题选择C选项.

点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．

10．已知函数，若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用分段函数的定义作出函数的图象，然后可令（a）（b）（c）则可得，，即为函数与的交点的横坐标根据图象可得出，，的范围同时，还满足，即可得答案．

【详解】根据已知画出函数图象：

不妨设，

（a）（b）（c），

，

，

解得，，

．

故选：B

11．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】[方法一]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

[方法二]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】［方法一］：（指对数函数性质）

由可得，而，所以，即，所以.

又，所以，即，

所以.综上，.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

由，可得．

根据的形式构造函数 ，则，

令，解得 ，由 知 .

在 上单调递增，所以 ，即 ，

又因为 ，所以 .

故选：A.

【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．

二、填空题

13．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】的定义域满足三个条件，解出该不等式即可.

【详解】由题意可知 ，

解得，

即，

故定义域为.

故答案为：.

14．已知幂函数，若f(a+1)<f(10−2a)，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义域和单调性解不等式可得答案.

【详解】因为幂函数在定义域上为减函数，

又f(a+1)<f(10−2a)，

∴解得∴3<a<5.

故答案为：.

【点睛】本题考查了幂函数的定义域和单调性，属于基础题.

15．已知函数.若，，且都有.则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】先求导判断在上单调性，将化简为，进而得到在上单调递增，再利用构造函数法即可求得实数的取值范围

【详解】，

则

则在上恒成立

则在上单调递减

不妨设，则

则可化为

即

令，则在上单调递增

则在上恒成立

即在上恒成立

令，则

令，，

则，在上恒成立

则在上单调递减，

又，则在上恒成立

则在上恒成立

则在上单调递增

则，在上恒成立，

则，又，则

故实数的取值范围是

故答案为：

16．已知曲线和，若直线与，都相切，且与的相切于点，则的横坐标为______.

【答案】

【分析】设出点的坐标和与相切的点的坐标，根据公切线的关系，得出两点横坐标的关系并求出与相切的点的横坐标，进而求出的横坐标.

【详解】由题意，，

设与相切于点，

在中， ，，，

在中，，，，

∵直线与，都相切，

∴，即，

在中，函数单调递增，

∴

∵，即

∴，即，

∴解得

∴

故选：C.

【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

三、解答题

17．求下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）将根式化成分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质即可求解；

（2）利用对数的运算性质即可求解.

【详解】（1）原式

；

（2）

.

18．已知命题p：，，命题q：，．

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据，，分和两种情况，利用判断式法求解；

（2）将，，转化为，，再求得的最小值，得到m的范围，然后由 “p或q”为假命题，则命题p与q都为假命题求解.

【详解】（1）命题p：，，时，化为，不成立舍去．

时，可得：，解得：．

若命题p为真命题，则实数m的取值范围是．

（2）命题q：，，则，，

∵，可得：的最小值为：．

∴．

命题“p或q”为假命题，则命题p与q都为假命题，

∴．解得：．

所以实数m的取值范围为．

19．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝

(1)求g[f(1)]的值；

(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；(2).

【详解】试题分析：（1）根据分段函数对应性，先求f(1)，再求g(－3)（2）根据图像得原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，再根据图像确定实数a的取值范围

试题解析：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，

由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.

20．已知函数（其中）

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求函数在上的最大值与最小值.

【答案】（1）答案见解析；（2）最大值是，最小值是.

【分析】（1）求出函数的导数，通过当时，当时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．

（2）首先代入求解，即可求出函数解析式，再判断函数的单调性，然后转化求解函数的最值即可．

【详解】解：（1）因为，定义域为，

所以，

当时，，函数在上单调递增；

当时，由得.

当时，；当时，.

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

综上所述：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）因为，解得.

所以，

由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，

所以在时取得最大值，，

又由于，，而，

所以

所以函数在上的最大值是，最小值是.

21．已知函数，函数．

（1）求函数的值域；

（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．

【答案】（1）[－4，﹢∞)；（2）．

【分析】（1）将原函数转化为二次函数，根据求二次函数最值的方法求解即可．（2）由题意得，求得，然后通过解对数不等式可得所求范围．

【详解】（1）由题意得

，

即的值域为[－4，﹢∞)．                             

（2）由不等式对任意实数恒成立得，

又，

设，则，

∴，

∴当时，=．

∴，即，

整理得，即，

解得，

∴实数x的取值范围为．

【点睛】解答本题时注意一下两点：

（1）解决对数型问题时，可通过换元的方法转化为二次函数的问题处理，解题时注意转化思想方法的运用；

（2）对于函数恒成立的问题，可根据题意转化成求函数的最值的问题处理，特别是对于双变量的问题，解题时要注意分清谁是主变量，谁是参数．

22．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)若在区间内是单调函数，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由得，，，所以在处的切线方程为：，即.

（2）记，则，显然可得 在单调递减.

当 时， ，从而 在上恒成立,故在上单调递增，又因为，所以即在上恒成立，

所以在区间上单调递减，符合题意；

当时，，，

所以，使得，又在上单调递减，

所以在上恒成立，在上恒成立．

所以在上单调递增，在上单调递减．

所以，又．

令，则，所以在上单调递增，

所以，所以，所以．

所以存在，使得，所以在上，在上，

所以在上，在上．

所以在区间上既有减区间，也有增区间，不符合题意．

综上可知，实数的取值范围是．