苏科版九年级数学上学期期末专题03 圆中最值之一箭穿心与瓜豆原理精选

这是一份苏科版九年级数学上学期期末专题03 圆中最值之一箭穿心与瓜豆原理精选，共23页。试卷主要包含了模型，模型结论，模型的五种常考图等内容，欢迎下载使用。
专题03 圆中最值之一箭穿心与瓜豆原理精选
一箭穿心得最值
圆外一定点A到圆上一动点P的距离最值，分两种情况：（核心---AP所在直线过圆心）

瓜豆原理之圆
一、模型：A为圆外一定点，当点P在圆O上运动时，则AP中点M（如上图）的运动轨迹为：以AO中点O’为圆心，O‘M为半径的圆。

二、模型结论：
1.轨迹：点M的轨迹是个圆。
2.圆心：O'是AO的中点。
3.O’M=12OP。
三、模型的五种常考图


典例分析：
典例1
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为　5−1≤PC≤5+1　．

解题思路：据条件可知线段AB是定值且AB所对的张角∠APB是定值，根据直径所对圆周角为直角可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上（不与A、B重合），（隐圆）连接CO并延长交圆O分别为P1、P2，PC的在P1C最小，P2C最大，（一箭穿心）
答案详解：解：∵PA⊥PB，即∠APB＝90°，AB＝BC＝2，
∴点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的⊙O上，

如图，连接CO交⊙O于点P1，并延长CO交⊙O于点P2，
∵BO=12AB＝1、BC＝2，∠ABC＝90°，
∴CO=BC2+BO2=22+12=5，
当点P位于点P1时，PC的长度最小，此时PC＝OC﹣OP=5−1；
当点P位于点P2时，PC的长度最大．此时PC＝OC+OP=5+1；
∴5−1≤PC≤5+1，
所以答案是：5−1≤PC≤5+1．
典例2
如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 　（2+22，2+22）　．

试题分析：根据BC=2(隐圆)可知：点C在半径为2的⊙B上，根据三角形的中位线定理可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而即可求得M的坐标．
答案详解：解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝4，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=12CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝42，
∴CD＝42+2，
作CE⊥x轴于E，
∵CE∥OB，
∴OBCE=ODDE=BDCD，即4CE=4DE=4242+2，
∴CE＝DE＝4+2，
∴OE＝DE﹣OD=2，
∴C（2，4+2），
∵M是AC的中点，
∴M（2+22，2+22），
所以答案是：（2+22，2+22）．
实战训练
一．圆中最值之 一箭穿心
1．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画⊙A，E是圆⊙A上一动点，P是BC上一动点，则PE+PD最小值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．23
2．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（　　）

A．23 B．3+1 C．27−2 D．3
3．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 　 　．

二．瓜豆原理
4．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，点C为平面内一动点，且BC＝2，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为　 　．

5．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是　 　．

6．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为　 　．

7．如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为　 　．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是　 　．

9．如图，直线y=34x+3与坐标轴交于A、B两点，⊙O的半径为2，点P是⊙O上动点，△ABP面积的最大值为　 　cm2．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　 　．

11．如图，在四边形ABCD中，连接BD，AD＝BD＝CD＝4，∠BDC＝120°，E为AB的中点，则线段CE的最大值为 　 　．

12．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（　　）

A．43+4 B．4 C．43+8 D．6
13．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（−2，3）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是　 　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，平面上有一点P，连接AP，CP，且CP＝2，取AP的中点M．连接BM，则BM的最小值为（　　）

A．10 B．655 C．13−1 D．23

一．圆中最值之 一箭穿心
1．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画⊙A，E是圆⊙A上一动点，P是BC上一动点，则PE+PD最小值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．23
试题分析：以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；根据勾股定理求得A′D的长，即可求得PE+PD最小值．
答案详解：解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；

∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，
∴A′D′＝BC＝3，DD′＝2DC＝4，AE′＝1，
∴A′D＝5，
∴DE′＝5﹣1＝4
∴PE+PD＝PE′+PD＝DE′＝4，
所以选：C．
2．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（　　）

A．23 B．3+1 C．27−2 D．3
试题分析：根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
答案详解：解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MH⊥DC于点H，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝4，∠HDM＝60°，
∴∠HMD＝30°，
∴HD=12MD＝1，
∴HM＝DM×cos30°=3，
∴MC=CH2+MH2=27，
∴A′C＝MC﹣MA′＝27−2；
所以选：C．

3．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 　18　．

试题分析：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
答案详解：解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
所以答案是：18．

二．瓜豆原理
4．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，点C为平面内一动点，且BC＝2，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为　22−1≤AM≤22+1　．

试题分析：连接BD，取BD的中点N，连接AN．MN，先根据三角形中位线定理可得MN＝1，再根据勾股定理、直角三角形的性质可得AN＝22，然后分三种情况，根据三角形的三边关系线段的和差即可得．
答案详解：解：如图1，连接BD，取BD的中点N，连接AN．MN，

∵点M为线段CD中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN=12BC=12×2＝1，
∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝4．
∴BD=AB2+AD2=42，
又∵点N为BD的中点，
∴AN=12BD＝22，
（1）如图1，当点A，N，M不共线时，
由三角形的三边关系得：AN﹣MN＜AM＜AN+MN即22−1＜AM＜22+1；
（2）如图2，当点A，N，M共线，且点N位于点A，M中间时，

则AM＝AN+MN＝22+1；
（3）如图3，当点A，N，M共线，且点M位于点A，N中间时，

则AM＝AN﹣MN＝22−1；
综上，线段AM的取值范围为22−1≤AM≤22+1，
解法二：倍长DA到F，得到AM等于二分之一CF，点C的运动轨迹是以点B为圆心，BC＝2为半径的圆，同时当FC经过圆心B的时候，FC1是最大，也就是AM最大，FC2最小也就是AM最小，

∵点M为线段CD中点，AF＝AD，
∴AM=12FC，AF＝AD＝AB＝4，
∵∠BAD＝90°，
∴BF＝42，
当FC经过圆心B的时候，FC1是最大为42+2，也就是AM最大，AM＝22+1，
FC2最小也就是AM最小为42−2，也就是AM最小，AM＝22−1，
∴线段AM的取值范围为22−1≤AM≤22+1，
所以答案是：22−1≤AM≤22+1．
5．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是　32≤OP≤72　．

试题分析：如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，由勾股定理可求B'A＝5，由三角形中位线定理可求B'C＝2OP，当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，即可求解．
答案详解：解：如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，

∵点B（0，3），B'（0，﹣3），点A（4，0），
∴OB＝OB'＝3，OA＝4，
∴B'A=OA2+B'O2=9+16=5，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝PC，
∵OB＝OB'，BP＝PC，
∴B'C＝2OP，
当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，
当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，
∴32≤OP≤72，
所以答案是32≤OP≤72．
6．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为　23　．

试题分析：延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．首先确定DT的取值范围，再利用三角形的中位线定理解决问题即可．
答案详解：解：延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．

∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，
∴∠CAT＝90°，
∴AT＝CT•sin60°＝23，
∵AD＝1，
∴23−1≤DT≤23+1，
∵CB＝BT，CE＝DE，
∴BE=12DT，
∴23−12≤BE≤23+12，
∴线段BE的最大值与最小值之和为23，
所以答案是23．
7．如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为　5+132　．

试题分析：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以EC=12DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．
答案详解：解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．

由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB=32+42=5，
∴BA′=32+22=13，
∵AC＝CA′，DE＝EA，
∴EC=12DA′，
∵DA′≤BD+BA′，
∴DA′≤5+13，
∴DA′的最大值为5+13，
∴EC的最大值为5+132，
所以答案是5+132．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是　72　．

试题分析：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
答案详解：解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．

∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC=32+42=5，
∵AN＝NC，
∴BN=12AC=52，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN=12AD＝1，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤1+52，
∴BM≤72，
∴BM的最大值为72．
9．如图，直线y=34x+3与坐标轴交于A、B两点，⊙O的半径为2，点P是⊙O上动点，△ABP面积的最大值为　11　cm2．

试题分析：先求出OA，OB，进而求出AB，再判断出△PAB的AB边上的高最大时必过⊙O的圆心O，最后利用面积求出OC即可得出CP即可．
答案详解：解：如图，
∵直线y=34x+3与坐标轴交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB＝5，
∵△PAB中，AB＝5是定值，
∴要使△PAB的面积最大，即⊙O上的点到AB的距离最大，
∴过点O作OC⊥AB于C，CO的延长线交⊙O于P，此时S△PAB的面积最大，
∴S△AOB=12OA•OB=12AB•OC，
∴OC=OA⋅OBAB=4×35=125，
∵⊙O的半径为2，
∴CP＝OC+OP=225，
∴S△PAB=12AB•CP=12×5×225=11．
所以答案是11．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　2　．

试题分析：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．
答案详解：解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．

∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC=12OB＝1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE=OE2+OD2=32+42=5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴MNOE=DMDE，
∴MN3=35，
∴MN=95，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值=12×5×（95−1）＝2，
所以答案是2．
11．如图，在四边形ABCD中，连接BD，AD＝BD＝CD＝4，∠BDC＝120°，E为AB的中点，则线段CE的最大值为 　2+27　．

试题分析：连接EF，FC，由三角形中位线定理得出EF=12AD＝2，推出DH＝2，HC＝23，FH＝4，在Rt△HFC中，由勾股定理求出FC＝27，根据 CE≤EF+FC＝2+27，得出CE的最大值为 2+27，
答案详解：解：如图，点F为BD中点，连接EF，FC．
∵AD＝BD＝CD＝4，
∴EF=12AD＝2，
在Rt△HDC中，
DC＝4，
∠CDH＝180﹣∠HDC＝60°，
∴DH＝2，HC＝23，FH＝4，
在Rt△HFC中，
FC=FH2+HC2=42+(23)2=27，
∴CE≤EF+FC＝2+27，
∴CE的最大值为 2+27，
所以答案是2+27，

12．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（　　）

A．43+4 B．4 C．43+8 D．6
试题分析：以BC为边作等边△BCM，连接DM，则△DCM≌△CAB，根据全等三角形的性质得到DM＝AB＝2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，CB边上的高取最大值为23+2，根据三角形的面积即可得到结论．
答案详解：解：以BC为边作等边△BCM，连接DM．
∵∠DCA＝∠MCB＝60°，
∴∠DCM＝∠ACB，
∵DC＝AC，MC＝BC
∴△DCM≌△CAB（SAS），
∴DM＝AB＝2为定值，
即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，
当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，
CB边上的高取最大值为23+2，
此时面积为43+4．
所以选：A．

13．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（−2，3）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是　14﹣45　．

试题分析：设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．
答案详解：解：设P（x，y），
∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，
∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，
∵OP2＝x2+y2，
∴PA2+PB2＝2OP2+2，
当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，
∴OP的最小值为CO﹣CP=5−1，
∴PA2+PB2最小值为14﹣45．
所以答案是：14﹣45．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，平面上有一点P，连接AP，CP，且CP＝2，取AP的中点M．连接BM，则BM的最小值为（　　）

A．10 B．655 C．13−1 D．23
试题分析：取AC的中点N，连接MN，BN．求出BN，MN，根据BM≥BN﹣MN求解即可解决问题．
答案详解：解：取AC的中点N，连接MN，BN．

∵AN＝CN=12AC＝2，
∵∠BAN＝90°，AB＝3，
∴BN=AB2+AN2=32+22=13，
∵AM＝MP，AN＝NC，
∴MN=12PC＝1，
∵BM≥BN﹣MN，
∴BM≥13−1，
∴BM的最小值为13−1，
所以选：C．