2023届贵州省贵阳第一中学高三高考适应性月考（二）数学（文）试题含解析

2023届贵州省贵阳第一中学高三高考适应性月考（二）数学（文）试题

一、单选题

1．复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】求出即得解.

【详解】由得，

在复平面内所对应的点为，在第一象限，

故选：A．

2．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，因此，.

故选：C.

3．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．

【详解】解：对于A：若，则或，故A错误；

对于B：若，，，则或，故B错误；

对于C：若，，，则或或与相交（不垂直），故C错误；

对于D：由线面垂直的性质定理可知，若，，则，故D正确；

故选：D．

4．在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为（    ）

A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺

【答案】A

【分析】利用等差数列的定义即可求解.

【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，

则夏至到处暑增加4d，立夏到夏至减少3d，夏至的晷长为x，

则，解得，

故选:A．

5．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】根据约束条件得可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.

【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，作出直线，可知z要取最小值，即直线经过点A，解方程组得，所以，

故选：C．

6．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ）

A． B．5 C． D．7

【答案】D

【分析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，所以，，，分别表示出，，再由向量的模长公式代入即可得出答案.

【详解】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，

设，，因为，，

所以，，，所以，，

，所以，

所以，

所以当，即时，的最小值为7，

故选：D．

7．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先把已知的等式平方得到，再化简代入即得解.

【详解】由，

所以，

∴，

所以.

故选：A．

8．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出直线与圆相交时的取值范围，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】因为圆的圆心为，半径，

直线与圆相交，

所以圆心到直线的距离，解得，

所以，直线与圆相交的概率为，

故选：C．

9．已知函数在时取得最小值，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将函数的解析式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件可求得的值.

【详解】因为，则，

所以，

，

当且仅当时，即当时，等号成立，故，解得.

故选：C.

10．设函数，有4个不同的零点，则正实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得当时函数有一个零点，然后根据三角函数的图象和性质即得.

【详解】当时，单调递增，且，，故有一个零点，

所以当时，函数有3个零点，

令，即，，解得，

由题可得区间内的3个零点分别是，1，2取得，

所以即在和之间，即，

解得.

故选：A．

11．已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案.

【详解】如图，因为，所以，则，为梯形的两条底边，

作于点P，则，因为梯形的高为c，所以，

在中，，则即．

设，则，在，

即，

解得，同理，

又，所以，即，

所以.

故选：A．

12．在给出的①；②；③三个不等式中，正确的个数为（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【分析】构造函数，分析其单调性可判断①和②，构造函数，分析其单调性可判断③.

【详解】令，则，

当时，，当时，,

即在上单调递增，在上单调递减,

可得，即，故①正确；

因为，所以，即，

所以，即，故②错误；

再令，则，

当时，，即在上单调递增，

所以，则，即．

又，，所以，即，即，

所以，即，所以，即，故③错误，

故选：B．

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

二、填空题

13．双曲线的焦点坐标为______.

【答案】与

【分析】由双曲线的几何性质即可得解.

【详解】由得：，

双曲线焦点在轴上，

，，所以，

所以，焦点坐标为与.

故答案为：与.

14．已知数列的前n项和为，若，，则___________．

【答案】94

【分析】由，可得当时，，两式相减可证得数列是以为首项，公比为2的等比数列，可求出的通项公式，即可求出.

【详解】由已知，，①，

当时，，

当时，②，

①－②得：，整理得：，即，

所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，

所以，

所以，，

所以．

故答案为：94.

15．已知向量，，若与的夹角为60°，则___________．

【答案】

【分析】根据向量数量积的坐标运算，根据夹角公式即可求解.

【详解】由题意得，故，解得，由于或，故不合题意，舍去，故．

故答案为：

16．如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，则四边形ABCD面积的最大值为___________．

【答案】45

【分析】根据圆中的弦长公式可得,，结合以及二次函数的性质即可求解最值.

【详解】由题设，则圆心，半径，,

若圆心到直线AC，BD的距离则，且，则,，

而，所以，

令，则

，当，即时，

四边形ABCD面积的最大值．

故答案为：

三、解答题

17．已知中的三个内角，，所对的边分别为，，，

(1)求角的大小；

(2)若点在边上，满足，且，，求边的长.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）直接利用余弦定理化简已知即得解；

（2）求出，再平方化简计算即得解.

【详解】（1）由已知，

可得，所以.

由于是三角形的内角，所以.

（2）由题意得．

∵，

∴．

∴．

∵，，

∴．

∴，

则，

∴.

18．如图，在直三棱柱中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，，点D，E分别为棱BC，上的中点．

(1)求证：AD//平面；

(2)若二面角的大小为，求实数t的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，根据线面平行的判定定理即可求证，

（2）根据面面垂直得线面垂直，进而根据几何法可得二面角的平面角，进而根据直角三角形的边角关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，根据空间向求解二面角.

【详解】（1）点D，E分别为BC，的中点，在直三棱柱中，，，所以四边形为平行四边形，连接DE，则，，

所以，，

所以四边形是平行四边形，所以．

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）方法一：

在平面ABC内，过点C作AD的垂线，

由ABC为等腰直角三角形知垂足为D，

由于平面平面,且交线为,由于平面,

所以平面,平面,故,

又,则为二面角的平面角，即，

在等腰直角三角形ABC中，不妨设，，则，

在中，，

∴，

∴．

方法二：

平面ABC，又，

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

设，，则，

则，，，

所以，．

设平面的一个法向量为，

由，取，得，

又平面ADC的一个法向量为，

因为二面角的大小为，

所以．

即，

，∴，

∴．

19．某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱贵阳，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间中）作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出如图甲所示的频率分布直方图，并作出如图乙的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）.

(1)求样本容量和频率分布直方图中，的值；

(2)在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的2组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到观山湖公园参加环保知识宣传活动，求抽到的2名学生成绩均在的概率（将样本频率视为概率）.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图和茎叶图中的数据即可求出;

（2）由古典概型列出事件的所有情况即可求得概率.

【详解】（1）由直方图可知，分数在中的频率为，

根据茎叶图可知，分数在中的频数为3，所以样本容量，

根据茎叶图可知，分数在中的频数为1，

所以分数在中的频率为，

所以，所以，

由，得，

综上所述：，，．

（2）由题意，本次竞赛成绩样本中分数在中的学生有名，

分数在中的学生有名．

抽取分数在中的学生有名，

抽取分数在中的学生有名．

设成绩在分的学生为，，成绩在的学生为，，．

从成绩在80分以上的学生中随机抽取两名学生，

共有，，，，，，，，，共10种情况，

其中2名同学均在共有，，共3种情况，

设抽到的2名学生成绩均在为事件，

所以.

20．已知椭圆：的离心率为，为椭圆的右焦点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若圆：的切线与椭圆交于，两点，求面积的最大值

【答案】(1)；

(2)4.

【分析】（1）根据离心率求出的值即得解；

（2）先讨论直线的斜率不存在，；再讨论直线的斜率存在，设的方程为，求出，换元求出函数的取值范围即得解.

【详解】（1）椭圆的离心率，

得，故椭圆的方程为．

（2）由（1）点，若直线的斜率不存在，不能过点，

则的方程只能为，

∴，；

若直线的斜率存在，设的方程为：，，，

由直线与圆相切得，化简得，

则，．

由得，

则，，

，

又到直线的距离，

所以

设，则，

综上，面积的最大值为4．

21．已知函数，

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)的减区间为，增区间为

(2)

【分析】（1）根据导数与单调性的关系即可求解；

（2）将不等式转化为恒成立，即求的最小值，利用导数可知，从而可求得的取值范围.

【详解】（1）解：时，，

，

由，得，

当时，，时，，

所以，当时，的减区间为，增区间为.

（2）解：由可转化为，

令，，

令，，

令，得，

时，，时，，

所以在上递增，在上单调递减，

且，，，

所以时，在内存在唯一零点，

当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

故．

因为，所以，

所以，所以，即.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是．

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若点A的坐标为（1，0），直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）移项再平方相加即得曲线C的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式即可得直线l的直角坐标方程；

（2）由直线参数方程中的几何意义，结合韦达定理即可求得.

【详解】（1）由，可得，

将上式分别平方，然后相加可得，

由，可得，

即，即．

（2）由（1）可知直线l的斜率为，则其倾斜角为，

且点在直线l上，

所以直线l的参数方程为： （t为参数），

即（t为参数），

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得．

设点P，Q对应的参数分别为，，则，，

则．

23．已知函数的最小值为．

(1)求；

(2)已知为正数，且，求的最小值．

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）方法一：由题知，进而分类讨论求解即可；

方法二：根据绝对值三角不等式求解即可；

（2）结合（1）得，进根据基本不等式求解即可.

【详解】（1）解：方法一：

依题意得：，

当时，，

当时，，

当时，，

综上，当时，取得最小值1，即的最小值．

方法二：

根据绝对值三角不等式可得：，

当且仅当，即时等号成立，

所以，的最小值．

（2）解：由（1）知，，

（当且仅当时等号成立），

∴，

当且仅当，即，时等号成立，

∴的最小值为12．