河南省三门峡市灵宝市2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年河南省三门峡市灵宝市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列函数是二次函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 配方法解方程，则方程可化为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知的半径为，点在内，则的长不可能为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列抛物线中，与轴有两个交点的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，、是上的两个点，是直径，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉样物礼品，上线第一天个分钟售罄，后两天紧急加工上线个．若后一天较前一天的增长率均为，则可列方程正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；，其中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 关于的方程是一元二次方程，则的值是______．
12. 若与关于原点对称，则的值为______．
13. 如图，中，，，则的内切圆半径 ______ ．

14. 如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则等于          ．
     

15. 二次函数的部分对应值如下表：

抛物线的顶点坐标为；
与轴的交点坐标为；
与轴的交点坐标为和；
当时，对应的函数值为以上结论正确的是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 解下列一元二次方程：
    ，
    ．
17. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及的值．
18. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为，求小路的宽．

19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
    画出向下平移个单位所得到的；
    画出将绕原点逆时针方向旋转后的，并写出点的对应点的坐标．

20. 已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为．
    
    求出，的值，并写出此二次函数的解析式；
    根据图象，直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
21. 中，以为圆心，为半径的交斜边于，为上一点使得．
    证明：为的切线；
    若、，求线段的长．

22. “一人一盔安全守规，一人一带平安常在”某商店销售一批头盔，售价为每顶元，每月可卖出顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月要多卖出件；已知头盔的进价为每顶元，求每顶头盔的售价定为多少元时，该商店每月可获得最大利润，最大利润是多少？
23. 随着教育教学改革不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来分析，不外乎就是三个环节：观察猜想、探究证明、拓展延伸．下面请同学们从这三个方面试着解决下列问题：
    如图，有公共直角顶点的两个不全等的等腰直角三角形叠放在一起，点在上，点在上．
    观察猜想
    在图中，你发现线段，的数量关系是______，直线，的位置关系是______．
    探究证明
    将图中的绕点逆时针旋转一个锐角得到图，这时中的两个结论是否仍然成立？作出判断并证明．
    拓展延伸
    将图中，若只把“有公共直角顶点的两个不全等的等腰直角三角形”改为“有公共顶角为锐角的两个不全等的等腰三角形”，绕点逆时针旋转任意一个锐角得到图，这时中的两个结论仍然成立吗？作出判断，并说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，符合二次函数的定义，故本选项正确；
B、的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；
C、属于一次函数，故本选项错误；
D、的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；
故选：．
根据二次函数的定义判定即可．
本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程，
去括号，得，
整理，得，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，，
故选B．
要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，是常数且特别要注意的条件，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
方程常数项移到右边，两边加上变形即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键．
【解答】
解：方程移项得：，
配方得：，即．
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：的半径为，点在内，
，
即的长不可能为．
故选：．
根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

5.【答案】 

【解析】解：分别令、、、四个选项中，则
A、，抛物线与轴有无交点，故本选项错误；
B、，抛物线与轴有一个交点，故本选项错误；
C、，抛物线与轴有两个交点，故本选项正确；
D、，抛物线与轴有一个交点，故本选项错误．
故选：．
抛物线与轴有两个交点时，令函数值为，则这个一元二次方程的判别式大于即可．
本题是一道基础题，比较简单，考查了抛物线与轴的交点问题．注：令函数值为，一元二次方程的判别式时，抛物线与轴有两个交点；时，抛物线与轴有一个交点；时，抛物线与轴有无交点．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线向左平移个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移个单位为：，即．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的倍，所以，而中，，所以，而，所以．
本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系．规律总结：解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标．
【解答】
解：当时，二次函数顶点在轴负半轴，开口向上，一次函数经过一、二、四象限；
当时，二次函数顶点在轴正半轴，开口向上，一次函数经过一、二、三象限．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据“后两天紧急加工上线个”列一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用题之增长率问题，理解题意并根据题意找到等量关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由抛物线的开口可知：，
由抛物线的对称轴可知：，
，故错误；
由抛物线与轴的交点可知：，
，
，故错误；
由于抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
令，此时，
即，故错误；
令，此时，
即，
，
，故正确；
故选：．
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：；；
解得；；
．
是一元二次方程，那么的指数为，系数不为，列式求值即可．
用到的知识点为：一元二次方程未知数的最高次数是，并且二次项系数不为．
 

12.【答案】 

【解析】解：与关于原点对称，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
根据关于原点对称点的性质可得，，解出的值，然后可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，
在，，，；
根据勾股定理；
四边形中，，；
四边形是正方形；
由切线长定理，得：，，；
；
即：．
设、、与的切点分别为、、；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出的长．
此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平行线的性质得到，根据旋转变换的性质计算即可．
本题考查的是旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
【解答】、
解：，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，
抛物线的顶点坐标为；
与轴的交点坐标为；
与轴的交点坐标为和；
当时，对应的函数值为．
故答案为：．
由上表得与轴的交点坐标为；与轴的一个交点坐标为；函数图象有最低点；由抛物线的对称性可得出可得出与轴的另一个交点坐标为；当时，对应的函数值为从而可得出答案．
本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，锻炼了学生数形结合的思想方法．
 

16.【答案】解：，
将方程变形，得，
即或，
解得：，；
，
将方程变形，得，
则或，
解得，． 

【解析】等式左边可提取公因式，转化为求解；
根据十字相乘法可将方程变形为，由此可得同解方程或，据此求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，关键是会利用因式分解法求解一元二次方程．
 

17.【答案】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，，
解得，，
即方程的另一个根为，的值为． 

【解析】设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后先求出，再计算出的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

18.【答案】解：设小路的宽度为，
那么草坪的总长度和总宽度分别为，．
根据题意即可得出方程为：，
解得，．
，
不符合题意，舍去，
．
答：小路的宽为． 

【解析】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度分别为，；再根据题意得出方程，求解即可．
 

19.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标为．
 

【解析】利用点的平移规律写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、，从而得到点的坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

20.【答案】解：将点、代入，
，解得：，
抛物线的解析式为；
当时，，
解得：或，
所以抛物线与轴的交点坐标为和，
结合函数图象知，当或时，． 

【解析】本题考查了二次函数的图象与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质，通常利用数形结合解决此类问题．
将和两点代入二次函数，求得和，从而得出抛物线的解析式；
令，得出此二次函数的图象与轴的交点的坐标，结合函数图象直接回答问题．
 

21.【答案】证明：连，得，
，而．
所以即．
所以为切线．

解：，，
．
在中，，
中． 

【解析】连，通过角度代换和三角形的内角和定理求得即可．
先得到，在中通过勾股定理可得到，再在中通过勾股定理求得．
熟练掌握证明圆的切线方法，一般把证明圆的切线问题转化为证明线段垂直的问题．熟练利用勾股定理进行几何计算．
 

22.【答案】解：每顶头盔降价元，利润为元，
由题意可得，，
当时，取得最大值，此时，
即当售价定为元时，该商店每月获得最大利润为元． 

【解析】根据题意，可以先设出每顶头盔降价元，利润为元，然后根据题意可以得到与的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
 

23.【答案】   

【解析】解：和都是等腰直角三角形，且叠放在一起，
，，，
，，
，；
故答案为：，；
图中的绕点逆时针旋转一个锐角得到图，这时中的两个结论，仍然成立，
证明：旋转一个锐角后，，，
，
在和中，
，
≌，
，

如图，延长交于，交于，
≌，
，
，
，
；
若只把“有公共直角顶点的两个不全等的等腰直角三角形”改为“有公共顶角为锐角的两个不全等的等腰三角形”，
绕点逆时针旋转任意一个锐角得到图，这时中的结论成立，不成立，
理由如下：

同得≌，
．
如图，不成立．
由和都是等腰直角三角形，即可判断出，直线、相交成角的度数是，进而可以得结论；
由证明≌，即可证明两个结论仍然成立；
同可得≌，即可证明成立，不成立．
本题是三角形综合题目，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．