2022-2023学年河南省三门峡市渑池县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省三门峡市渑池县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.方程x2+x=5x+6的两个实数根的和与积分别是( )
A. −5，6B. −4，6C. 4，−6D. −1，6
2.若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只(摘B先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是( )
A. 13
B. 12
C. 23
D. 14
3.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，点B为切点，BD与线段AC的延长线相交于点D，若∠ABC=65°，则∠D等于( )
A. 65°
B. 55°
C. 45°
D. 35°
4.已知反比例函数y=3x，下列结论中不正确的是( )
A. 其图像经过点(−1,−3)B. 其图像分别位于第一、第三象限
C. 当x<0时，y随x的增大而增大D. 当x>1时，05.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的半径为( )
A. 6cm
B. 5cm
C. 4cm
D. 3cm
6.如图为反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在同一坐标系的图象，则k1，k2，k3的大小关系为( )
A. k1>k2>k3
B. k2>k1>k3
C. k3>k1>k2
D. k3>k2>k1
7.一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．( )
A. 60B. 65C. 70D. 75
8.如图，扇形AOB圆心角为直角，OA=10，点C在AB上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE=8，则图中两块阴影部分的面积和为( )
A. 10π−8
B. 5π−8
C. 25π−64
D. 50π−64
9.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为BC上一点，连接BE，若∠CBE=15°，BE=5，则正方形ABCD的边长为( )
A. 7
B. 5 2
C. 10
D. 2 5
10.如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，BB′的长是( )
A. 2 33π
B. 4 33π
C. 8 39π
D. 10 39π
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知二次函数y=x2+3x+m−4的图象经过原点，那么m=______．
12.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为______ ．
13.为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A，B两条体温快速检测通道，该校两名互不相识的同学王明和李强，随机进入学校，二人恰好均从A通道入校的概率是______．
14.反比例函数y=2x和y=3x在第一象限的图象如图所示，点A在函数y=3x的图象上，点B在函数y=2x的图象上，点C是y轴上一个动点，若AB/​/y轴，则ABC的面积是______ ．
15.若二次函数y=ax2+2ax+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+2ax+c=0的实数根是______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
关于x的方程2x2+(m+2)x+m=0．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根．
17.(本小题8分)
为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．
(1)若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为______；
(2)若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生中恰好是1男1女的概率．
18.(本小题8分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA/​/CD．
(1)若∠ABC=70°，求∠BAD的度数；
(2)求证：AB=AD．
19.(本小题8分)
如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N，阻力臂长为0.5m.设动力为y(N)，动力臂长为x(m).(杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计.)
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？
(3)小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．
(1)求证：DF⊥BC；
(2)已知DE=4，BE=2，求⊙O的半径．
21.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象y1=ax+1与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象交于A(2,3)、B两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式并在平面直角坐标系中作出两个函数的图象．
(2)请你写出反比例函数y2=kx(k≠0)的性质．(写两条)
①______；
②______；
(3)当y1≥y2时，请直接写出符合条件的x的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于E．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若AB=10，AD=6，求DE的长；
(3)直接写出CD的长为______．
23.(本小题8分)
如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x刻画．若小球到达的最高的点坐标为(4,8)，解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式：
(2)在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为3.5，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(3)求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：方程x2+x=5x+6整理得：x2−4x−6=0
设x1，x2是一元二次方程x2−4x−6=0的两根，
则x1+x2=4，x1⋅x2=−6．
故选：C．
利用根与系数的关系求解即可．
本题主要考查了根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
2.【答案】C
【解析】解：由摘取的顺序有ACB，CAB，CBA三种等可能的结果，
∴最后一只摘到B的概率是23，
故选：C．
由摘取的顺序有ACB，CAB，CBA三种等可能的结果，即可求解．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；找出所有的等可能性是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵BD是⊙O的切线，点B为切点，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠D=∠ABC=65°．
故选：A．
根据切线的性质得到AB⊥BD，则∠ABD=90°，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据等角的余角相等得到∠D=∠ABC．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
4.【答案】C
【解析】解：将(−1,−3)代入解析式，得−3=−3，故A正确，不符合题意；
由于k=3>0，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、C错误，符合题意；
∵x=1时，y=3，且当x>0时y随x的增大而减小
∴当x>1时，0故选：C．
根据反比例函数的性质直接解答即可．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
5.【答案】B
【解析】解：连接AB、OC交于点D，
由题意得，OC⊥AB，
则AD=DB=12AB=4cm，
设圆的半径为Rcm，则OD=(R−2)cm，
在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即R2=42+(R−2)2，
解得，R=5，
则该铁球的半径为5cm，
故选：B．
连接AB、CD交于点D，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理计算即可．
本题考查了垂径定理定理的应用、勾股定理，掌握垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由图知，y=k1x的图象在第二象限，y=k2x，y=k3x的图象在第一象限，
∴k1<0，k2>0，k3>0，
又当x=1时，有k2∴k3>k2>k1．
故选：D．
先根据函数图象所在的象限判断出k1、k2、k3的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．
本题考查了反比例函数的图象的性质．k<0时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；k>0时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
7.【答案】C
【解析】解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w=(80−x−50)(200+20x)=−20(x−10)2+8000，
∴当x=10时，w取得最大值，此时80−x=70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
8.【答案】C
【解析】解：连接OC．
∵四边形OACD是平行四边形，
∴OA/​/CD，
∴∠OEC+∠EOA=180°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OEC=90°，
∴EC= OC2−OE2= 102−82=6，
∴S阴=S扇形AOB−S梯形OECA=90π×102360−12×(6+10)×8=25π−64．
故选：C．
连接OC.利用勾股定理求出EC，根据S阴=S扇形AOB−S梯形AOEC，计算即可．
本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．
9.【答案】B
【解析】解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA=OB=OE，∠AOB=360°4=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OAB=∠OBA=12(180°−∠AOB)=45°，
∴∠OBC=∠ABC−∠OBA=45°，
∵∠CBE=15°，
∴∠OBE=∠OBC+∠CBE=60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB=BE=5，
∴OA=5，
∴AB= OA2+OB2=5 2，
∴正方形ABCD的边长为5 2．
故选：B．
连接OA，OB，OE，由圆内接四边形的性质可得到OA=OB=OE，∠AOB=90°，AB=BC，∠ABC=90°，进而证得△OBE是等边三角形，得到OB=BE=5，根据勾股定理求出AB，即可得到BC．
本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，证得△OBE是等边三角形是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．
先根据等腰三角形的性质推出∠AB′D=30°，进而得到α=30°，再在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AB的长度，最后根据弧长公式即可得出答案．
【解答】
解：∵CA=CB，CD⊥AB，
∴AD=12AB=12B′A，
∴在Rt△B′AD中，∠AB′D=30°，
∴∠B′AD=60°，
∴2α=60°，
∴α=30°，
∵AC=CB=4，
∴在Rt△ACD中，CD=2，AD=2 3，
∴AB=4 3，
∴BB′的长度l=nπr180=60×π×4 3180=4 33π.
故选：B．
11.【答案】4
【解析】解：将(0,0)代入y=x2+3x+m−4得0=m−4，
解得m=4，
故答案为：4．
将(0,0)代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
12.【答案】x(x−1)=1980
【解析】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出(x−1)张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x−1)=1980．
故答案为：x(x−1)=1980．
如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x−1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x(x−1)张，即可列出方程．
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
13.【答案】14
【解析】解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有4种可能出现的结果，其中二人恰好均从A通道入校的有1种，
所以二人恰好均从A通道入校的概率是14，
故答案为：14．
利用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
14.【答案】12
【解析】解：连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图，
∵AB/​/y轴，
∴AD⊥x轴，OC/​/AB，
∴S△OAB=S△ABC，
而S△OAD=12×3=32，S△OBD=12×2=1，
∴S△OAB=S△OAD−S△OBD=12，
∴S△ABC=12，
故答案为：12．
连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△ABC，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAD=32，S△OBD=1，即可求得S△OAB=S△OAD−S△OBD=12．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15.【答案】1、−3
【解析】解：∵二次函数y=ax2+2ax+c的图象与x轴交于(−3,0)，则一元二次方程ax2+2ax+c=0的一个解x1=−3，
∵x1+x2=−2，即−3+x2=−2，
解得x2=1．
故答案为：1、−3．
根据一元二次方程的根与系数的关系来求方程ax2+2ax+c=0的另一根即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，解决本题的关键是根与系数的关系．
16.【答案】(1)证明：Δ=(m+2)2−4×2×m=(m−2)2，
无论m取任何实数，(m−2)2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
(2)解：∵方程有两个相等的实数根，
∵Δ=(m−2)2=0，
解得m1=m2=2，
当m=2时，方程为2x2+4x+2=0．
解得x1=x2=−1．
【解析】(1)先求出判别式Δ的值，再根据“Δ”的意义证明即可；
(2)根据方程有两个相等的实数根，得Δ=(m−2)2=0，即可求出m的值和方程的根．
本题考查了根的判别式的应用和解一元二次方程，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．
17.【答案】(1)12
(2)画树状图如下：
由图可知，共有12种可能的结果，其中恰为1男1女的结果出现8次，
则选取的2名学生恰为1男1女的概率为812=23．
【解析】解：(1)从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为24=12，
故答案为：12；
(2)见答案．
(1)直接根据概率公式用男生人数除以总人数即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的2人恰好是1男1女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】(1)解：∵OA=OB，∠ABC=70°，
∴∠ABO=∠BAO=70°，
∴∠BOA=40°，
∵OA/​/CD，
∴∠C=∠BOA=40°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠BAD=180°，
∴∠BAD=140°；
(2)证明：连接OD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵OA/​/CD，
∴∠AOD=∠ODC，∠AOB=∠OCD，
∴∠AOB=∠AOD，
∴AB=AD．
【解析】(1)根据OA=OB，∠ABC=70°可得∠ABO=∠BAO=70°，根据三角形的内角和定理得出∠BOA=40°，根据平行线的性质求出∠C=∠BOA=40°，根据圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数即可；
(2)连接OD，根据OC=OD，可得∠ODC=∠OCD，根据平行线的性质可得∠AOB=∠AOD，从而证得结论．
本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关定理并灵活运用．
19.【答案】解：(1)由题意可得：xy=1600×0.5，
则y=800x，
即y关于x的函数表达式为y=800x；
(2)∵y=800x，
∴当x=2时，y=8002=400，
故当动力臂长为2动石头至少需要400N的力；
(3)他不能撬动这块石头，理由如下：
∵y=800x，
∴x=800y，
∵0∴0<800y≤2.5，
∴y=320，
∵320>300，
∴不能撬动这块石头．
【解析】(1)根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式；
(2)将x=2入(1)中所求解析式，即可得出y的值；
(3)根据0此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键．
20.【答案】(1)证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠ODA=∠C，
∴OD//BC，
∴DF⊥BC；
(2)解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ODE中，OD2+DE2=OE2，即r2+42=(r+2)2，
解得：r=3，即⊙O的半径为3．
【解析】(1)连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD/​/BC，根据平行线的性质得到DF⊥BC；
(2)根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是切线的性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
21.【答案】函数图象与坐标轴没有交点 函数图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小
【解析】解：(1)∵一次函数的图象y1=ax+1与反比例函数y2=kx(k≠0)的图象交于点A(2,3)，
∴3=2a+1，3=k2，
解得a=1，k=6，
∴一次函数的解析式为y1=x+1，反比例函数解析式为y2=6x；
在平面直角坐标系中画出一次函数的图象如图：
；
(2)反比例函数y2=kx(k≠0)的性质：
①函数图象与坐标轴没有交点；
②函数图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小；
故答案为：函数图象与坐标轴没有交点；函数图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小；
(3)观察图象，当y1≥y2时，x的取值范围−3≤x<0或x≥2．
(1)根据待定系数法，可得函数解析式；
(2)观察图象即可求解；
(3)根据图象可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
22.【答案】6
【解析】(1)证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD/​/BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
(2)解：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，DH⊥AB，
∴DH=DE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=10，AD=6，
∴BD= AB2−AD2= 102−62=8，
∵12AB⋅DH=12AD⋅AB，
∴DH=6×810=245，
∴DE=DH=245；
(3)解：∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD，
∴CD=AD=6，
故答案为：6．
(1)连接OD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠ODB=∠CBD，证明OD//BE，根据平行线的性质得到OD⊥DE，根据切线的判断定理证明结论；
(2)过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH=DE，根据三角形的面积公式求出DH，进而得出DE；
(3)根据圆周角定理得到AD=CD，得到CD=AD，得到答案．
本题考查的是切线的判定、角平分线的性质、勾股定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设该抛物线的表达式为y=a(x−4)2+8，
∵点(0,0)在该函数图象上，
∴0=a(0−4)2+8，
解得a=−12，
∴抛物线的表达式为y=−12(x−4)2+8：
(2)小球M能否飞过这棵树，
理由：将x=2代入y=−12(x−4)2+8，得：y=−12(2−4)2+8=6，
将x=2代入y=12x，得：y=12×2=1，
∵6−1=5>3.5，
∴小球M能否飞过这棵树；
(3)设小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度为h，
则h=−12(x−4)2+8−12x=−12(x−72)2+498，
∴当x=72时，h取得最大值498，
答：小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度是498．
【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以设抛物线的顶点式，然后将(0,0)代入计算即可；
(2)将x=2代入(1)中的抛物线表达式和直线y=12x，求出相应的y的值，然后作差与3.5比较即可；
(3)设小球M在飞行的过程中离斜坡OA的为h，然后即可得到h关于x的二次函数关系式，再化为顶点式，即可得到h的最大值．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．