23版新高考一轮分层练案(二十八)　数列的概念与简单表示

这是一份23版新高考一轮分层练案(二十八)　数列的概念与简单表示，共6页。试卷主要包含了记Sn为数列{an}的前n项和，已知数列{an}等内容，欢迎下载使用。
一轮分层练案(二十八)　数列的概念与简单表示 A级——基础达标 1．若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　)A．     B．C．     D．【答案】A　由于数列的前4项分别是，－，，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于，故此数列的一个通项公式为.故选A.2．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an＞0”是“{Sn}是递增数列”的(　　)A．充分不必要条件    B．必要不充分条件C．充要条件    D．既不充分也不必要条件【答案】A　∵“an＞0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．如数列{an}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an＞0”．∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．3．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝n     B．an＝n2C．an＝     D．an＝【答案】B　由题意得＝－＝n(n≥2)，又＝1也符合上式，所以＝n(n≥1)，an＝n2 ，故选B.4．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2 020＝(　　)A．     B．C．     D．【答案】D　由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2 020＝××…×＝.5．(多选)已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝，则下列各数是{an}的项的有(　　)A．－2     B．C．     D．3【答案】BD　∵数列{an}满足a1＝－，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝－＝a1，∴数列{an}是周期为3的数列，且前3项为－，，3，故选B、D.6．(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是(　　)A．此数列的第20项是200B．此数列的第19项是182C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2D．此数列的前n项和为Sn＝n(n－1)【答案】AC　观察此数列，偶数项通项公式为a2n＝2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，A正确，C正确；a19＝a20－20＝180，B错误；Sn＝n(n－1)＝n2－n是一个等差数列的前n项，而题中数列不是等差数列，不可能有Sn＝n(n－1)，D错误．故选A、C.7．(多选)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，设数列{bn}的前n项和Sn，则(　　)A．an＝     B．an＝nC．Sn＝     D．Sn＝【答案】AC　由题意得an＝＋＋…＋＝＝，∴bn＝＝＝4，∴数列{bn}的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝4＝4＝.故选A、C.8．已知数列{an}的通项为an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．解析：因为an＝，数列{an}的最小项必为an<0，即<0，3n－16<0，从而n<，又因为n∈N*，且数列{an}的前5项递减，所以n＝5时an的值最小．【答案】59．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则a2＝______，通项公式an＝________．解析：由已知，a2＝a1＋＝3＋＝.因为an＋1－an＝＝－，所以a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…an－an－1＝－，以上(n－1)个式子累加可得，an－a1＝1－，因为a1＝3，所以an＝4－.【答案】　4－10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因为n∈N*，所以n＝2，3，所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.因为an＝n2－5n＋4＝－，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.所以实数k的取值范围为(－3，＋∞).B级——综合应用11．已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 020＝(　　)A．22 020－1     B．32 020－6C．－     D．－【答案】A　由题意可得，3Sn＝2an－3n，3Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式作差可得3an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝－2an－3，an＋1＋1＝－2(an＋1)，结合3S1＝2a1－3＝3a1，可得a1＝－3，a1＋1＝－2，则数列{an＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，据此有a2 020＋1＝(－2)×(－2)2 019＝22 020，∴a2 020＝22 020－1.故选A.12．已知正项数列{an}单调递增，则使得不等式(1－λai)2<1对任意ai(i＝1，2，…，k)都成立的λ的取值范围是(　　)A.     B．C．     D．【答案】D　由(1－λai)2<1，得－1<1－λai<1，即0<λai<2，∵ai>0，∴0<λ<，∵{an}是单调递增数列，∴是单调递减数列，∴对任意i＝1，2，…，k，有≤，∴λ的取值范围为.13．(多选)数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　)A．S5＝F7－1     B．S5＝S6－1C．S2 019＝F2 021－1     D．S2 019＝F2 020－1【答案】AC　根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 019＝F2 021－1.14．数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________．解析：因为数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，所以当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋2＋a2k＝6k－1(k∈N*)，所以(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＋(a14＋a16)＝5＋17＋29＋41＝92.当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋1－a2k－1＝6k－4(k∈N*)，所以当k≥2时，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝a1＋2＋8＋14＋…＋[6(k－1)－4]＝a1＋＝a1＋(3k－4)(k－1)，当k＝1时上式也成立，所以a2k－1＝a1＋(3k－4)(k－1)(k∈N*)，即a2k－1＝a1＋3k2－7k＋4(k∈N*).法一：所以a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a15＝8a1＋3×(12＋22＋32＋…＋82)－7×(1＋2＋3＋…＋8)＋4×8＝8a1＋3×－7×＋32＝8a1＋612－252＋32＝8a1＋392.又前16项和为540，所以92＋8a1＋392＝540，解得a1＝7.法二：所以a2k－1＝a1＋(3k2＋3k＋1)－10k＋3＝a1＋[(k＋1)3－k3]－10k＋3，所以a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a15＝8a1＋(23－13)＋(33－23)＋…＋(93－83)－10×＋3×8＝8a1＋93－13－360＋24＝8a1＋392.又前16项和为540，所以92＋8a1＋392＝540，解得a1＝7.【答案】715．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.又由a>0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.所以Sn＝n2－4n＋4.当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.所以数列{an}的通项公式为an＝(2)由题意得cn＝由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn>0.又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，所以数列{cn}的变号数为3.C级——迁移创新16．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．解：(1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，∴＝＝…＝＝1，∴an＝n(n∈N*).(2)∵bn＝3n－λn2，∴bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1).∵数列{bn}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<.令cn＝，则＝·＝>1，∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2).