23版新高考一轮分层练案(二十六)　正弦定理和余弦定理

这是一份23版新高考一轮分层练案(二十六)　正弦定理和余弦定理，共7页。试卷主要包含了下列命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
一轮分层练案(二十六)　正弦定理和余弦定理 A级——基础达标1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)A．    B．C．2    D．2【答案】B　因为S＝AB·AC sin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝3.所以BC＝.2．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)A．    B．C．    D．【答案】C　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0<A<π，所以A＝.3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝.则S△ABC＝(　　)A．    B．C．    D．2【答案】C　因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，得c＝2，所以S△ABC＝ac sin B＝，故选C.4．若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是(　　)A．锐角三角形    B．直角三角形C．钝角三角形    D．以上都有可能【答案】C　由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cos C＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故选C.5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，C＝，sin B＝2sin A，则△ABC的周长是(　　)A．3    B．2＋C．3＋    D．4＋【答案】C　已知sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2.又由c＝，解得a＝1，b＝2.则△ABC的周长是3＋，故选C.6．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　)A．b＝7，c＝3，C＝30°    B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝3，B＝60°    D．a＝20，b＝30，A＝30°【答案】BC　对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝＞1，无解；对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝＝＝＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝3，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝＜1，且b＞a，所以B有两个值，有两解．7．(多选)下列命题中，正确的是(　　)A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin BB．在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形【答案】ABD　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin ＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.8．(多选)在△ABC中，已知c2＝3(a2－b2)，tan C＝3，下列结论正确的是(　　)A．cos B＝    B．tan A＝2tan BC．tan B＝－    D．B＝45°【答案】ABD　∵c2＝3(a2－b2)，∴b2＝a2－，∴cos B＝＝＝，故A正确；由cos B＝可得3a cos B＝2c， ∴3sin A cos B＝2sin (A＋B)，3sin A cos B＝2sin A cos B＋2cos A sin B，sin Acos B＝2cos A sin B，∴tan A＝2tan B，故B正确；∵tan C＝3，∴tan (A＋B)＝＝＝＝－3，得tanB＝－或tan B＝1.∵cos B＝>0，∴B为锐角，tan B＝1，B＝45°，故D正确，C错误．故选A、B、D.9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝_______，cos C＝_______．解析：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，则a＋b＝，且△ABC的周长为9，则c＋＝9，解得c＝4.又△ABC的面积为3sin C，则ab sin C＝3sin C，整理得ab＝6，由于a＋b＝＝5，故解得或所以cos C＝＝－.【答案】4　－10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A).(1)求角C；(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；条件②：cos B＝.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)在△ABC中，由余弦定理知：b2＋c2－a2＝2bc cos A，所以2b2＝2bc cos A(1－tan A)，所以b＝c(cos A－sin A).又由正弦定理知＝，得sin B＝sin C(cos A－sin A)，所以sin (A＋C)＝sin C(cos A－sin A)，即sin A cos C＋cos A sin C＝sin C cos A－sin C sin A，所以sin A cos C＝－sin C sin A.因为sin A≠0，所以cos C＝－sin C，所以tan C＝－1，又因为0<C<π，所以C＝.(2)选择条件①：△ABC的面积S＝4，且B>A.因为S△ABC＝ab sin C，由(1)可得ab＝8，再由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以a2＋b2＝24，解方程组解得 或又因B>A，所以b>a，所以所以CD＝BD＝，在△ACD中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD cos C＝16＋2－2×4××cos π＝26，所以AD＝.选择条件②：cos B＝.因为cos B＝，所以sin B＝.因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B＝，由正弦定理知＝，所以a＝＝2，所以CD＝BD＝，在△ABD中，由余弦定理知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B，解得AD＝.B级——综合应用11．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据这些信息，可得sin 1 314°＝(　　)A．－    B．－C．－    D．－【答案】D　在△ABC，由正弦定理可知＝＝＝＝＝，∴cos 36°＝＝，又∵sin 1 314°＝sin (3×360°＋234°)＝sin 234°＝sin (180°＋54°)＝－sin 54°＝－sin (90°－36°)＝－cos 36°＝－.故选D.12．在△ABC中，已知2a cos B＝c，sin A sin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为(　　)A．等腰三角形    B．钝角三角形C．直角三角形    D．等腰直角三角形【答案】D　由2a cosB＝c，得2a·＝c，即a2＝b2，所以a＝b.因为sin A sin B(2－cos C)＝sin2＋，所以2sinA sin B(2－cos C)－2＋1－2sin2＝0，即2sinA sin B(2－cos C)－2＋cos C＝0，所以(2－cos C)·(2sin A sin B－1)＝0，因为cos C≠2，所以sin A sin B＝.因为a＝b，所以sin2A＝，所以A＝B＝，所以C＝.所以△ABC是等腰直角三角形，故选D.13．(多选)如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a cosC＋c cos A)＝2b sin B，且∠CAB＝.若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列为正确命题的是(　　)A．△ABC的内角B＝B．△ABC的内角C＝C．四边形ABCD面积的最大值为＋3D．四边形ABCD面积无最大值【答案】ABC　∵(a cos C＋c cos A)＝2b sin B，∴(sin A cos C＋sin C cos A)＝2sin2B，∴sin(A＋C)＝2sin2B，∴sinB＝2sin2B，∴sinB＝.∵∠CAB＝，∴B∈，∴B＝，∴C＝π－A－B＝，因此A、B正确；四边形ABCD面积等于S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin ∠ADC＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC)＋AD·DC·sin ∠ADC＝(9＋1－6cos ∠ADC)＋×3sin ∠ADC＝＋3sin ≤＋3.因此C正确，D错误．故选A、B、C.14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a，a＝2，c＝，则C＝________．解析：由b＝a，得sin B＝sin A·.因为sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，所以sin A cos C＋cos A sin C＝sin A cos C＋sin A sin C(sin C≠0)，所以cos A＝sin A，所以tan A＝.因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理＝，得sin C＝.因为0＜C＜，所以C＝.【答案】15．在△ABC中，a＝，c＝，________(补充条件).(1)求△ABC的面积；(2)求sin (A＋B).从①b＝4，②cos B＝－，③sin A＝这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：选择①.(1)在△ABC中，因为a＝，c＝，b＝4，由余弦定理得cos C＝＝＝，因为C∈(0，π)，所以sin C＝＝，所以S＝ab sinC＝××4×＝2.(2)在△ABC中，A＋B＝π－C.所以sin (A＋B)＝sin C＝.选择②.(1)因为cos B＝－，B∈(0，π)，所以sin B＝＝，因为a＝，c＝，所以S＝ac sinB＝×××＝2.(2)因为a＝，c＝，cos B＝－，由b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝()2＋()2－2×××＝16，解得b＝4，由＝，解得sin C＝，在△ABC中，A＋B＝π－C，sin (A＋B)＝sin C＝.选择③.依题意，A为锐角，由sin A＝，得cos A＝＝，在△ABC中，因为a＝，c＝，cosA＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得()2＝b2＋()2－2××b，解得b＝2或b＝4.(1)当b＝2时，S＝bc sin A＝×2××＝1.当b＝4时，S＝bc sin A＝×4××＝2.(2)由a＝，c＝，sin A＝，＝，得sin C＝，在△ABC中，A＋B＝π－C，sin (A＋B)＝sin C＝.C级——迁移创新16．我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝24sin A，a(sin C－sin B)(c＋b)＝(27－a2)·sin A，试用“三斜求积公式”求S的值．解：由a2sin C＝24sin A可得a2c＝24a，∴ac＝24，由a(sin C－sin B)(c＋b)＝(27－a2)sin A可得a(c－b)(c＋b)＝(27－a2)a，整理得a2＋c2－b2＝27，结合三角形面积公式可得S＝＝＝ .