23版新高考一轮分层练案(四)　基本不等式及其应用

这是一份23版新高考一轮分层练案(四)　基本不等式及其应用，共5页。试卷主要包含了下列不等式中，正确的是，下列四个函数中，最小值为2的是等内容，欢迎下载使用。
一轮分层练案(四)　基本不等式及其应用 A级——基础达标1．下列不等式中，正确的是(　　)A．a＋≥4    B．a2＋b2≥4abC．≥    D．x2＋≥2【答案】D　a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　)A．x＝y    B．x＝2yC．x＝2且y＝1    D．x＝y或y＝1【答案】C　∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y 时取等号．故“x＝2且y＝1 ”是“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件．故选C.3．若实数x，y满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为(　　)A．4    B．8C．16    D．32【答案】B　实数x，y满足xy＋6x＝4，∴x＝∈，∴y>0，则＋＝y＋6＋≥2＋6＝8，当且仅当y＝1，x＝时取等号．∴＋的最小值为8.4．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)A．2    B．4C．6    D．8【答案】B　不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)≥(1＋)2≥9，当且仅当y＝x时，取等号，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.5．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)A.≥(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)C．≤(a>0，b>0)D．≤ (a>0，b>0)【答案】D　由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤ ，当且仅当a＝b时取等号．故选D.6．(多选)下列四个函数中，最小值为2的是(　　)A．y＝sin x＋B．y＝ln x＋C．y＝D．y＝4x＋4－x【答案】AD　对于A，因为0<x≤，所以0<sin x≤1，y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，当0<x<1时，ln x<0，此时y＝ln x＋为负值，最小值不是2，不符合题意；对于C，y＝＝ ＋，设t＝ ，则t≥ ，因为y＝t＋(t≥)时为增函数，则y≥ ＋＝，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝0时取等号，其最小值为2，符合题意．故选A、D.7．(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　　)A．2x≥2y    B．≥C．x2≥y2    D．x2＋y2≥2xy【答案】AD　由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确；当0>x≥y时，≥不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确．8．(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　)A．a＋b＋c≤    B．(a＋b＋c)2≥3C．＋＋≥2    D．a2＋b2＋c2≥1【答案】BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，上述三个不等式全部相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥ ，若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3<2，因此，A、C选项错误，B、D选项正确．故选B、D.9．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤＝＝1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以≥1.又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.【答案】110．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，求每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值．解：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．B级——综合应用11．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg (a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)A．8    B．6C．4    D．2【答案】C　由lg a＋lg b＝lg (a＋b)，得lg (ab)＝lg (a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4.故选C.12．若向量m＝(a－1，2)，n＝(4，b)，且m⊥n，a>0，b>0，则loga＋log3有(　　)A．最大值log3     B．最小值log32C．最大值log    D．最小值0【答案】B　由m⊥n，得m·n＝0，即4(a－1)＋2b＝0，∴2a＋b＝2，∴2≥2，∴ab≤(当且仅当2a＝b时，等号成立).又loga＋log3＝loga＋logb＝logab≥log＝log32，故loga＋log3有最小值为log32.13．(多选)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2 km，从P点沿海岸正东12 km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h，步行的速度为5 km/h，时间t(单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离．设u＝＋x，v＝ －x，则(　　)A．函数v＝f(u)为减函数B．15t－u－4v＝32C．当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 h【答案】AC　∵u＝ ＋x，v＝ －x，∴＝，x＝，由题意uv＝4，v＝在(0，＋∞)上是减函数，A正确；t＝＋＝＋－，整理得15t＝u＋4v＋36，B错误；由A、B得15t＝u＋＋36≥2 ＋36＝44，当且仅当u＝，即u＝4时取等号，由＋x＝4，解得x＝＝1.5，C正确；x＝4时，t＝＋，t－3＝－＝＝>0，t>3，D错误．故选A、C.14．若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________．解析：∵a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝·＝≥·＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴＋的最小值为.【答案】2　15．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N＋，f(x)≥3恒成立，求a的取值范围．解：对任意x∈N＋，f(x)≥3，即≥3恒成立，即a≥－＋3.设g(x)＝x＋，x∈N＋，则g(x)＝x＋≥4，当且仅当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝，∴－＋3≤－，∴a≥－，故a的取值范围是. C级——迁移创新 16．已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数．(1)求证： ＋＋≥；(2)是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数，所以＋＋＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝≥(3＋2＋2＋2)＝，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号，所以＋＋≥.(2)因为a＋b＋c＝3，所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，因此a2＋b2＋c2≥3(当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号)，所以(a2＋b2＋c2)min＝3，由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，即得x2－mx＋1≥0恒成立，因此Δ＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2.故存在实数m∈[－2，2]使不等式成立．