2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期10月月考数学（文）试题含解析

2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期10月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用集合交集的定义即可求解.

【详解】由解得，所以，

所以.

故选:D.

2．复数，则|（    ）

A． B．1 C． D．5

【答案】A

【分析】利用复数除法运算化简，由此求得.

【详解】因为，所以．

故选：A

3．我市创建省级文明城市，需要每一位市民的支持和参与.为让全年级1000名同学更好的了解创建文明城市的重大意义，学校用系统抽样法(按等距的原则)从高二年级抽取40名同学对全年级各班进行宣讲，将学生从~1000进行编号，现已知第1组抽取的号码为13，则第5组抽取的号码为（    ）

A．88 B．113

C．138 D．173

【答案】B

【解析】依据题意可得组距，然后根据每组所抽出的号码满足等差数列可得结果.

【详解】由题可知：组距为，

因为第1组抽取的号码为13

所以第5组抽取的号码为

故选：B

【点睛】方法点睛：系统抽样的方法

（1）编号；

（2）分组确定组距；

（3）然后在第一组用简单随机抽样的方法可得第一个号码；

（4）依次可得号码，，

4．渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的主甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（    ）

参考数据:

A．33分钟 B．43分钟 C．50分钟 D．56分钟

【答案】A

【分析】由题意可得：，可得的解析式，再令，利用对数的运算性质求解可得答案.

【详解】解：由题意可得：，解得，

故：

令，可得，两边同时去对数，

故分钟，

故选：A

【点睛】本题主要考查指数型函数模型的实际应用，考查学生数学建模的能力与计算能力，属于中档题.

5．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对左右两边同时平方，再用二倍角公式即可得到答案.

【详解】由，得，

即，得

故选：C.

6．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先设点，然后根据条件列式，求的值.

【详解】设，

则，解得：.

故选：B

7．已知实数，，，则下列说法中，正确的是（    ）．

A． B．存在a，b，使得

C． D．存在a，b，使得直线与圆相切

【答案】C

【分析】巧用“1”验证选项A，基本不等式验证选项B，基本不等式加对数运算性质验证选项C,点到直线的距离公式加基本不等式验证选项D.

【详解】，故A错误；

，故B错误；

，故选项C正确；

圆心到直线的距离

由，故，故D错误.

故选：C.

8．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子之间的距离为，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（    ）．（氟原子的大小可以忽略不计）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】如图，连接，设交于点，连接，令相邻两个氟原子之间的距离为，则由正四棱锥的性质结合已知条件可得的长，从而可求出其体积.

【详解】如图，连接，设交于点，连接，

因为，为的中点，也是的中点，

所以，

因为，平面，

所以平面，

令相邻两个氟原子之间的距离为，则，，

因为，所以，

因为四边形为正方形，所以，

所以，

所以该正八面体的体积是，

故选：D

9．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（    ）．

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据循环语句满足条件循环，不满足输出，即可得到答案.

【详解】当

当

当

当

故选：C.

10．已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（    ）．

A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内

C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内

【答案】B

【分析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，即可得到答案.

【详解】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面内，所以这条直线也应该在平面内.

故选：B.

11．已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法中错误的是（    ）．

A．圆O与圆M有两条公切线

B．圆O与圆M关于直线对称

C．线段的长为

D．E，F分别是圆O和圆M上的点，则的最大值为

【答案】C

【分析】将两圆化成标准方程，易知两圆相交，AB正确；由几何关系求出弦心距，结合勾股定理可求弦长；数形结合可求.

【详解】由题可知圆圆心为，半径为，圆化简得，即圆心为，半径为，作出图形，

圆心距为，，故两圆相交，圆O与圆M有两条公切线，A项正确；

两圆半径相等，故关于相交弦对称，故B项正确；

两圆方程作差可得，设中点为，作的垂直平分线交两圆于，由几何关系可知，圆心到直线距离为，

则，故C项错误；

由图可知，两点连线恰好垂直于时，此时距离最大，，故D项正确.

故选：C

12．已知实数a，b，c成等差数列，记直线与曲线的相交弦中点为P，若点A，B分别是曲线与x轴上的动点，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】由已知得，可得出直线过定点，设直线与曲线相交的一个交点为Q，设另一个交点为，设，由中点坐标可得出点，代入曲线上，得出P在抛物线上运动，由抛物线的定义及圆的性质可得出选项.

【详解】解：因为实数a，b，c成等差数列，所以，

则直线化为，

即，

由解得,

所以直线过定点，

又点Q在曲线上，

所以直线与曲线相交的一个交点为Q，

设另一个交点为，

设，则，

又在曲线上，化简得，

即P在抛物线上运动，

设抛物线的焦点为，

设，，

曲线，得，

记圆心

所以

.

故选B.

【点睛】本题综合考查直线恒过定点，动点的轨迹方程，抛物线的定义以及两线段长度之和的最值问题，属于难题.

二、填空题

13．设则__________

【答案】

【解析】先计算，再计算后可得正确的答案.

【详解】，因为，故.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：分段函数的函数值的计算，要结合自变量的大小选择合适解析式代入计算，本题还要注意对数运算性质的合理应用.

14．从数字2，4，6中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于60的概率为______．

【答案】

【分析】运用排列方式，求出所有的两位数，根据古典概型计算即可.

【详解】从2，4，6三个数中任选两个不同的有 种选法，其中大于60的有62和64两个，

所以大于60 的概率 ；

故答案为： .

15．设是曲线上的点，，，则的最大值等于______．

【答案】10

【分析】作出曲线和椭圆的图象，延长交椭圆于点，可得出，由三角形三边关系得出，当且仅当点为椭圆的顶点时，等号成立，由此可得出的最大值.

【详解】由可得，

作出椭圆和曲线(去绝对值后，可得图象为四条线段)的图象如下图所示：

则点、分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆定义得.

延长交椭圆于点，

当点不在坐标轴上时，由三角形三边关系得，

所以，；

当点为椭圆的顶点时.

综上所述，，因此，的最大值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查曲线与方程之间的关系，同时也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力.

16．“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目.近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米.

【答案】85

【解析】根据椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值，即可求解.

【详解】设椭圆的长半轴长为千米，半焦距为千米，月球半径为千米，

由题意，可得，解得，

即椭圆形轨道的焦距为千米.

三、解答题

17．如图，在四边形中，，，.

(1)求；

(2)若，求周长的最大值.

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得结果；

（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，设，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，进而求出周长的最大值.

【详解】（1）在中，，且

利用正弦定理得：，

又为钝角，为锐角，

（2）在中，由余弦定理得

故

解得：或（舍去）

在中，，设

由余弦定理得，即

整理得：，又

利用基本不等式得：，即，

即，当且仅当时，等号成立，即，

所以

所以周长的最大值为12

18．如图，在四棱锥（图一）和三棱锥（图二）中，四边形为正方形，平面，≌，将四棱锥和三棱锥重新组合成一个新的几何体（图三），且面和面完全重合，且，．

(1)证明：平面；

(2)求四棱锥的体积与组合后的几何体的体积比．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）通过证明，即可由线线垂直证明线面垂直；

（2）根据（1）中所证，分别求得的体积，即可求得结果.

【详解】（1）因为面面，故，又//，故底面为直角梯形，

又，故可得，又，

故，则；

又面面，故，又四边形为正方形，故，

面，故面面，故；

又面，故面.

（2）因为面，又正方形的面积，故的体积；

又面，面面，故，则三角形为直角三角形，

则其面积，，

故四棱锥的体积与组合后的几何体的体积比为.

19．生活在数字时代的我们，很多场合会用二维码（如图（1））来表示不同的信息．类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图（2），通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．

(1)用树状图或列表格的方法，求图（3）可表示的不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）

(2)图（4）为的网格图，求它可表示的不同信息的总个数；

(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，求n的最小值．

【答案】(1)4；

(2)16；

(3)3.

【分析】（1）画树状图即可得到答案.

（2）画树状图即可得到答案.

（3）总结（1）（2）的规律即可得到答案.

【详解】（1）画树状图如下：

共有4种等可能结果.

（2）画树状图如下：

共有16种等可能结果.

（3）由上图可得：当时，

当时，、

时，

的最小值为3.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.

(1)求椭圆 的方程；

(2)如图， 四边形 是矩形，与椭圆相切于点与椭圆相切于点与椭圆相切 于点与椭圆相切于点， 求矩形面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1） 利用已知关系建立方程组，联立即可求解；

（2） 当直线的斜率不存在或为时， 求出矩形的面积，当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求出，同理求出 ，进而表示出矩形的面积，利用函数思想求解即可.

【详解】（1）由已知可得：

可求出代入，

解得 所以椭圆的方程为；

（2）当直线 的斜率不存在或为时， 矩形的面积为，

当直线 的斜率存在且不为时， 设直线的方程为，

联立方程 消去整理可得：

， 所以，

解得 ，

所以 ，

同理可得 ，

所以矩形 的面积，

令 ， 所以， 又， 所以，

则 ，

当 ， 即时，取得最大值为；

所以 ， 所以，

综上， 矩形 的面积的取值范围为.

21．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)对给定的，函数有零点，求的取值范围；

【答案】(1)减区间为，增区间为

(2)

【分析】（1）求导得到，根据导数的正负得到函数单调区间.

（2）根据函数的单调性得到只需满足，解得答案.

【详解】（1）函数的定义域为，，

令得，所以函数在上单调递增；

令得，所以函数在上单调递减.

故函数在减区间为，增区间为.

（2）对给定的，当时，，函数在时取得最小值，

故函数要有零点，则需有，即，故.

所以对给定的，函数有零点，的取值范围为.

22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ= 4cosθ，直线l的参数方程为(t为参数).

（1）求曲线的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（2）若曲线的参数方程为(α为参数)，曲线上点P的极角为Q为曲线上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的转换公式，求得的直角坐标方程；消去直线参数方程中的参数，求得直线的普通方程.

（2）求得点的直角坐标，由此求得点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线距离的最大值.

【详解】（1）由得，即.

由消去得.

（2）令，则，所以，对应的直角坐标为，即.依题意，所以，点到直线的距离为

，从而最大值为.

【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离的最值的求法，属于中档题.

23．已知函数，其中为实常数．

（1）若函数的最小值为3，求的值；

（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）的值为1或-5；（2）的取值范围是．

【详解】试题分析：（1）因为，则；令，即可求得的值；（2）当时，由，得，即．

据题意，，解不等式组得的取值范围是．

试题解析：（1）因为，

当且仅当时取等号，则．

令，则或．

（2）当时，，．

由，得，即，即．

据题意，，则，即．

所以的取值范围是．

【解析】1、绝对值不等式；2、最值问题．