2023届北京市朝阳区六校高三上学期9月月考数学试题含解析

2023届北京市朝阳区六校高三上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，再求补集即可.

【详解】，

，

.

故选：D.

2．若复数z满足，则（    ）

A．10 B． C．20 D．

【答案】B

【分析】由复数的除法法则求得，再求其共轭复数的模．

【详解】由已知，

所以．

故选：B．

3．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据不等式的性质即可判断.

【详解】对于A选项，当时结论不成立，所以错误;

对于B选项，若，则，所以错误;

对于C选项，，

当且仅当时等号成立，所以错误;

对于D选项,因为，所以,所以,

所以即,所以正确.

故选:D.

4．下列函数中，对，同时满足和的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由和确定周期对称轴即可.

【详解】由得，所以以为周期，

又由得关于对称.

对于选项A，不关于对称，所以错误，

对于选项B，的最小正周期为

且当时取得最大值2，所以正确；

对于选项C，是二次函数，不属于周期函数，所以错误;

对于选项D，在单调递减，单调递增，

不是周期函数，所以错误.

故选:B.

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.

【详解】因，则，即，而，于是得，

所以.

故选：A

6．若，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数、幂函数、对数函数的性质判断．

【详解】由指数函数、幂函数性质得：，，

，

综上，．

故选：C．

7．已知非零向量夹角为，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由相反向量的定义即可作出判断.

【详解】由可得，

所以与是相反向量，夹角，，

若，则夹角，

则与方向相反，但与不一定是互为相反向量.

则“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

8．已知函数关于x的方程，给出下列四个结论：

①对任意实数t和a，此方程均有实数根；

②存在实数t，使得对任意实数a，此方程均有实数根；

③存在实数t和a，使得此方程有多于2个的不同实数根；

④存在实数a，使得对任意实数t，此方程均恰有1个实数根．

其中，正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】令，，作出与图像，由各命题上下移动，左右移动，看图像上与的交点即可得出各命题的正确与错误，即可得出答案.

【详解】令，，

作出与图像如下：

其中可左右移动，可上下移动，则的图像即取的图像在的右边部分（包括上的部分），与的图像在的左边部分（不包括上的部分）组合而成，

对于①：当不论如何左右移动，如何上下移动都使与的图像一直有交点，即的值域是R时才正确，

由图像可知当a的值小于两图像左边的交点的x值或大于1时，与的图像可以没有交点，故①错误；

对于②：当上下移动到一个位置，不论如何左右移动，与的图像都有交点时才正确，

由图像可知当t的值大于两图像左边的交点的y值且小于2时，不论如何左右移动，与的图像一直有交点，故②正确；

对于③：当左右移动到一个位置，上下移动到一个位置时，与的图像有多于2个的交点时才正确，

由图像可知当a的值大于-1且小于1时，与的图像可以有多于2个的交点，故③正确；

对于④：当左右移动到一个位置，不论如何上下移动，与的图像都只有一个交点时才正确，

由图像可知当a的值等于两图像左边的交点的x值时，不论如何上下移动，与的图像都只有一个交点，故④正确；

综上所述，正确的命题有三个，

故选：C.

9．已知函数（其中，，）的部分图像如下图，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由图像最高的与最低点x的距离得出的周期，通过周期得到；

再由函数最小值点的x值与三角函数性质得出；

再由图像上两点代入得出，；

通过周期得到即可代入得出答案.

【详解】设图中最高点的，

由正弦型函数的性质可得是的一条对称轴，则，

则由图可得，

则，

，

，

，且为最小值点的x值，

，即，

，

，

，

由图知上的点与，

代入得：，

化简为，解得，

则，

的周期为，

.

故选：B.

10．对于二元函数，若存在，则称为在点处对x的偏导数，记为；若存在，则称为在点处对y的偏导数，记为．已知二元函数，则下列命题为假命题的是（    ）

A． B．

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】D

【分析】根据新定义求得偏导数，利用导数的性质求得最小值判断各选项．

【详解】根据偏导数的定义，在求对偏导数时，中可作为常数，即函数可看作是的一元函数求导，同理在求对偏导数时，中可作为常数，即函数可看作是的一元函数求导，

所以，，A正确；

，，B正确；

，当且仅当时，等号成立，

设，则，

或时，，时，，

又，所以时，递减，时，递增，

，

所以(时取得)，C正确．

，最小值是，D错；

故选：D．

二、填空题

11．“”的否定是_________．

【答案】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得.

【详解】“”的否定是“”.

故答案为：.

12．己知函数．给出下列四个结论：

①函数的图象存在对称轴；

②函数的图象存在对称中心；

③

④函数没有零点．

其中，所有正确结论的序号为___________．

【答案】①③

【分析】根据二次函数，余弦函数的性质结合条件分析即得.

【详解】因为函数，

所以，即是函数的对称轴，故①正确；

对于②，假设函数关于点中心对称，则，

又，，

所以，即，

所以，即函数为周期函数，

而函数不是周期函数，故假设不成立，故②错误；

因为，当时取等号，

∴，

又，当时，，

所以，当时取等号，故③正确；

因为，故，即是函数的零点，故④错误.

故答案为：①③.

三、双空题

13．函数的定义域是_______，值域是___________．

【答案】         

【分析】（1）由真数大于0解不等式即可求得定义域；

（2）利用换元法即可求得值域.

【详解】（1）因为，

所以，解得：，

所以的定义域是.

（2）设，

则，所以，

由图像可知：，

即函数的值域为.

故答案为：；.

14．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足．若，则________；若，则的取值范围是________．

【答案】         

【分析】建立平面直角坐标系将各点标出：

当，直接写出点P坐标，得出的坐标，即可得出第一空的答案；

当，由向量的线性运算得出与带参数的坐标，再求出的式子，利用二次函数性质结合给定范围即可得出第二空的答案.

【详解】以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，如图建立平面直角坐标系，

则，，，，

当时，，

则，

则.

故第一空的答案为：；

当时，点P在线段CB上运动，

则，，

，，

，，

，

开口向上，对称轴为

则当时，，，

即当时，的取值范围是.

故第二空的答案为：.

15．2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．己知A型火箭喷流相对速度为，根据以上信息：

（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________；

（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________．

（所有结果保留整数，参考数据：）

【答案】     3129     68

【分析】（1）根据总质比为50，代入求解；

（2）易知经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，然后由求解.

【详解】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：

；

（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，

要使火箭的最大速度至少增加，

则，

即 ，

即 ，

即 ，

所以，

所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.

故答案为:3129；68.

四、解答题

16．已知函数．

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)最小正周期为，；

(2)，

【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据余弦函数的性质即得；

（2）根据三角函数的性质即得.

【详解】(1)因为

，

∴最小正周期为，

由，得，

的单调递增区间为；

(2)因为，

，

，

当，即时，；

当，即时，．

17．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．

(1)求角A的大小；

(2)请从条件①、条件②，这两个条件中选择一个作为已知，使锐角存在，求面积．

条件①：；条件②：．

【答案】(1)

(2)选②，

【分析】（1）利用正弦定理求解即可；

（2）若选①，此时为直角三角形，不符合题意，若选②，根据余弦定理得到为等边三角形，再求其面积即可.

【详解】(1)根据正弦定理，得．

因为，所以．

因为是锐角三角形，所以．

(2)若选①，

因为，，，

所以，

所以，解得，.

此时：，为直角三角形，不符合题意，舍去.

选条件②，

根据余弦定理，得．

又因为，所以，

由，解得．

所以为正三角形，是锐角三角形．

此时的面积为．

18．已知函数在处取得极值．

(1)求a，b的值；

(2)求曲线在点处的切线方程；

(3)求函数在上的最值．

【答案】(1)

(2)

(3)最小值为-14，最大值为18

【分析】(1)由求解，再检验即可；（2）利用切点处的导数等于切线斜率即可求解；（3）比较极值和区间端点对应函数值的大小可得结果.

【详解】(1)因，故，

由于在处取得极值，

故有 即,

化简得解得,

经检验，时，,

令解得或，令解得，

所以在单调递增，单调递减，单调递增，

所以在处取得极值，

符合题意，所以．

(2)由（1）得，

故．

所以曲线在点处的切线方程为：

，即．

(3)由（1）知．

令，得．

在时，随x的变化．，的变化情况如下表所示：

当时，有极大值，当时，有极小值．

因为．

因此在的最小值为．最大值为

19．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，求证：存在，使得．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出导函数，然后分类讨论，按分类，确定导函数的正负得单调性；

（2）由（1）可得的最小值，设其为，再利用导数求得的最小值即可证．

【详解】(1)函数定义域为，．

①若．令．解得．

当时．．所以的单调递增区间为；

当时．．所以的单调递减区间为

②若．令．解得．

当时，，所以的单调递减区间为；

当时．．所以的单调递增区间为．

综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

(2)当时．由（1）中的单调性可知，的最大值为

令，则有；

令，解得，即．

当时，，所以在区间上单调递增；

当甲方，，所以在区间上单调递减．

所以的最小值为．

又因为，所以，即．

综上所述，存在，使得.

【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式．证明不等式可转化为求函数的最值问题，对含有参数的函数的单调性问题在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定．主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．

20．己知函数．

(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(2)判断函数的零点的个数

【答案】(1)；

(2)当或时，函数无零点；当时，函数有一个零点．

【分析】（1）由题可得，然后分，讨论求函数的最值即得；

（2）由题可得时，函数无零点，时，利用导数研究函数的性质及零点存在定理即得.

【详解】(1)因为，

∴，

①若，因为，所有，

所以，不符合题意；

②若，由，

令，因为，

设方程两根为，

则，不妨设，

当时，在上，，单调递增，，不合题意；

所以，故，即，

这时，在上，，单调递减，

所以恒成立；

综上，a的取值范围是；

(2)当时，因为，所有，

所以，函数无零点；

当时，

（i）若，则，即，

由（1）知，在上单调递增，上单调递减，，

由，可知,

又，

所以存在使，

所以当时，有一个零点；

（ii）若，即时，则在上单调递减，，

无零点；

综上，当或时，函数无零点；当时，函数有一个零点．

【点睛】利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.

21．设集合，集合，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：

①对于任意，若，则；

②对于任意，若，则．

(1)若，则___________；若，则S的元素个数最多为___________．

(2)若，T中含有4个元素，求证：；

(3)若，且，求n的最大值．

【答案】(1)；3

(2)证明见解析

(3)4

【分析】(1)根据题目要求一一列举即可；（2）采用反证法假设，通过推理得到矛盾即可证明；（3）由，从而，所以对任意，有，必有，所以，即即可求解.

【详解】(1)若,由题意可得，，即,

此时，满足题意,

假设集合T中还有第四个元素为 ,

则由题意可知,则或或，

所以或或不是第四个元素，矛盾！

所以集合有且仅有3个元素，即.

若，所以，即，

假设中还有元素，依题意得且，

解得满足题意，因此集合S中一定有元素2,4，可能有8，

若，假设S中还有元素，

则依题意且，且，无解，所以假设矛盾！

所以S的元素个数最多为3个.

(2)假设，则．

不妨设，则，故有，即．

于是，，因为T中含有4个元素，故设

若，则，且，所以，从而，矛盾！

若，则，且，矛盾！

若，则，且，矛盾！

综上可知，．

(3)因为，所以，因为，

所以，且，则，同理

若，则与（2）类似可得，从而．

对，必有，

所以，即．

若，即，则，

故．

所以．

故，从而．

对任意，有，必有，

所以，即．

综上，得，又时，有符合题意，

所以n的最大值为4．