2023届江西省赣州市五校联考高三上学期期中考试数学（文）试题含解析

2023届江西省赣州市五校联考高三上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合，，再求两集合的交集即可.

【详解】因为，

所以，

因为，

所以.

故选：D

2．已知命题．则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定是全称命题得出答案．

【详解】∵特称命题的否定是全称命题，∴为：

故选：A．

3．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值利用排除法判断即可.

【详解】解：因为函数定义域为，

又，所以为奇函数，

函数图形关于原点对称，故排除C、D，

又，故排除B；

故选：A

4．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导，再令可得解.

【详解】由，

得，

令，则，

解得，

故选：B.

5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ）

A． B． C． D．6

【答案】C

【分析】根据正弦定理计算直接得出结果.

【详解】因为，

由正弦定理，得．

故选：C.

6．已知的垂心为M，则“M不在的外部"是“为锐角三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】因为锐角三角形的垂心在三角形的内部，直角三角形的垂心为直角的顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部，所以“M不在的外部”是“为锐角三角形”的必要不充分条件．

故选：B．

7．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据抽象函数函数的定义域为，先得函数的定义域为，从而可得函数的定义域..

【详解】解：函数的定义域为，所，则，

所以的定义域为．

则函数的定义域，需满足，解得，即函数的定义域为．

故选：A.

8．已知函数 ，在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数是增函数，所以有二次函数的对称轴大于等于1，对数函数底数大于1，函数的最小值大于的最大值.列方程解不等式即可.

【详解】因为在上单调递增，所以 解得．

9．定义在R上的偶函数满足，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据和可得是周期为8的周期函数，则，即可求解.

【详解】由，，

得，

所以是周期为8的周期函数，

则．

故选：D.

10．已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先对求导结合函数定义域，根据参数a的正负分情况讨论函数单调性及极值点的情况，最终求解.

【详解】因为的定义域为且存在唯一的极值点，所以存在唯一的变号正实根．

因为，所以只有唯一变号正实根．

当时，恒成立，方程只有唯一变号正实根，符合题意；

当时，要使存在唯一极值点，则需恒成立，即在上恒成立，

因为，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

综上所述，．

故选：A.

11．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（    ）（参考数据：）

A．时时 B．时时

C．时时 D．时时

【答案】C

【分析】由三角函数的性质求解

【详解】当时，，则在上单调递增.设花开､花谢的时间分别为.

由，得，解得时；

由，得，解得时.

故在6时时中，观花的最佳时段约为时时.

故选：C

12．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对a、b、c同时取自然对数可得，构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合对数函数的单调性即可求解.

【详解】对a、b、c同时取自然对数，

得，

即，

构造函数，则，

当时，，则在上单调递增，

所以，即，

所以，又函数在上单调递增，

故．

故选：C.

二、填空题

13．已知，则_________

【答案】

【分析】利用正切的二倍角公式即可求解.

【详解】因为，所以，

故答案为：.

14．函数的零点所在区间为，则____________．

【答案】2

【分析】利用导数确定函数的单调性，然后判断和正负，根据零点存在性定理即可求自然数n的取值．

【详解】，当时，，所以在上单调递增．

因为，，

∴存在唯一的使得，

又∵函数的零点所在区间为，

所以．

故答案为：2．

15．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为____________．

【答案】

【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.

【详解】解：如图，

依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为

则，则，即．

因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数．

故答案为：.

三、双空题

16．用总长为22的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边的长比另一边的长多2，则该容器的最大容积为____________，此时的高为____________．

【答案】         

【分析】设容器的底面边长分别为x，，则容器的高为，进而得，利用导数求出函数的最大值即可.

【详解】设容器的底面边长分别为x，，则容器的高为．

由，得，所以，

记容器的体积为，

则，

因为，

令，令

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，此时的高为．

故答案为：；.

四、解答题

17．已知函数．

(1)若直线是曲线的一条切线，求a的值；

(2)求的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调递减区间为，单调递增区间为

【分析】（1）由导数的几何意义列式求解，

（2）由导数与单调性的关系求解，

【详解】（1）因为，所以．

令，即，解得或（舍去）．

因为，所以切点是，代入，得．

（2）．

令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增，

即的单调递减区间为，单调递增区间为．

18．已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，.

(1)求，的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）设出等差数列的公差，利用给定等式求出公差即可求解作答.

（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得.

【详解】（1）设的公比为q，的公差为d，因，则，解得，

而，则，又，，有，

所以，的通项公式分别为，.

（2）由（1）可知，，令数列的前n项和为，

则，

于是得，

两式相减得，则，

所以数列的前n项和为.

19．函数的部分图像如图所示，将的图像先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图像．

(1)求的解析式；

(2)求在上的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据函数图像求出函数的解析式，再由三角函数的变换过程求解即可.

（2）根据正弦型函数的性质求解值域即可.

【详解】（1）由图可知，即，则，所以，

由图可知函数过点，则，即，解得.

所以.

将的图像向右平移个单位长度得到的图像，

再向下平移1个单位长度，得到的图像，

所以．

（2）因为，所以．

令，则．

因为，所以，

所以．

20．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若AD平分并交BC于D，且，，求的面积．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）变形给定的等式，再利用余弦定理求解作答.

（2）根据给定条件，结合（1），利用三角形面积定理求出，进而求出计算作答.

【详解】（1）因，则，整理得：，

在中，由余弦定理得：，而，

所以.

（2）在中，AD平分并交BC于D，则，而，

显然有，即，

则，整理得：，又，

由（1）知，，即有，而，解得，

所以的面积.

21．已知函数．

(1)当时，证明：．

(2)记函数，若为增函数，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证，即证，设，然后利用导数可证得，则可得，从而可证得结论，

（2）由题意可得在上恒成立，则在上恒成立，由（1）可得，化简得，从而可得，进而可得答案.

【详解】（1）证明：当时，（）．

要证，即证．

设，则．

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，则．

所以，

所以，

即，当且仅当时等号成立．

（2）解：因为，

所以．

因为为增函数，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立．

由（1）可知，则，即，

从而，即，当且仅当时，等号成立．

故，解得，

即a的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，考查利用导数求函数的最值，第（2）问解题的关键是将问题转化为在上恒成立，再利用（1）的结论可得，从而可得答案，考查数学转化思想，属于较难题.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.

【详解】（1）由（为参数），得，

故曲线C的普通方程为．

由，得，

故直线l的直角坐标方程为．

（2）由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，

设A，B对应的参数分别是，，

则，，

故．

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）因为，

所以等价于，或，或，

解得或或，所以，即不等式的解集为．

（2）因为，当且仅当时等号成立；

所以函数的最小值为，

由已知可得，所以或，

解得或，即a的取值范围．