2023届江西省九江市十校高三上学期11月联考数学（文）试题（解析版）

2023届江西省九江市十校高三上学期11月联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出在中的补集，最后求出并集即可.

【详解】，，

故选：D.

2．已知命题：存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，下列说法正确的是（    ）

A．是真命题，其否定为假命题 B．是假命题，其否定为真命题

C．是真命题，其否定为真命题 D．是假命题，其否定为假命题

【答案】A

【分析】由菱形的对角线互相垂直即可判断

【详解】命题：存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，

所以：任意一个四边形，它的两条对角线不垂直，

因为菱形的对角线互相垂直，所以命题是真命题，其否定为假命题，

故选：A.

3．已知两条直线m，n及平面，则下列推理正确的是：（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】对A，举出两者异面或相交，对B，可能在平面内，对C，利用线面垂直的性质定理即可判断，对D，可能在内.

【详解】对A选项，，则可能平行，也可能异面，还有可能相交，故A错误，

对B选项，可能在平面内，故错误，

对C选项，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，显然正确，

对D选项，，则或者，故D错误.

故选：C.

4．要建造一个容积为，深为3m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为100元/，池底的造价为150元/，则该蓄水池的最低造价为（    ）

A．2.5万元 B．2.6万元 C．2.7万元 D．2.8万元

【答案】C

【分析】设长和宽分别为，则，再写出造价表达式，利用基本不等式即可求出最值.

【详解】设水池底面的长、宽分别为x，ym，则，设总造价为元，

则

元，即万元.

当且仅当，，即时等号成立.

故选：C.

5．将图象上所有的点按向量平移，所得图像的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】按向量平移，即向右平移个单位，再向上平移1个单位.

【详解】即将图象上所有的点向右平移个单位，向上平移1个单位，即，其解析式为.

故选：A

6．当生物死亡后，它的机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，则死亡生物体内碳14含量的年衰减率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意列出方程，解出即可.

【详解】由已知得：，故，

故选：C.

7．已知函数的部分图像如图，则函数的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由奇偶性可排除AD，由特殊点可排除C，即可求解

【详解】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，

对于A：由得：

，

为偶函数，故可排除A；

对于D：由得：

，

为偶函数，故可排除D；

由图知图象不经过点，

而对于C：，故可排除C；

故选：B

8．已知数列满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据题意得到是周期为6的数列，再根据求解即可.

【详解】由，，，

所以，，，，

，即是周期为6的数列.

所以故.

故选：D

9．已知平面上两个定点，的距离为2，点是单位圆上一动点，若，则满足条件的点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】设，，则，令求出，从而确定，即可求解

【详解】设，，

，

当时，，不存在；

当时，，，此时存在两个点.

故选：B.

10．设，，，以下四个命题：

①当时，；

②当时，；

③当时，；

④当时，.

正确命题的序号是（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】A

【分析】根据对数函数的性质和a的取值范围求出m和n，利用作差法和对数的运算性质即可求解.

【详解】当时，，，

则，

所以，即；

当时，，，

，

所以，即.

所以命题①③正确.

故选：A.

11．已知球О的半径为3，圆锥的顶点与底面都在该球面上，则圆锥的体积最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的底面半径为，球到圆锥的底面距离为，得到圆锥的体积取最大值时，圆锥的高为，从而得到，再利用导数求解最值即可.

【详解】设圆锥的底面半径为，球到圆锥的底面距离为，如图所示：

圆锥的体积取最大值时，圆锥的高为，此时

圆锥体积为

，

当时，，为增函数，当时，，为减函数，

故当时，.

故选：B

12．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2022

【答案】A

【分析】根据其关于对称和关于点对称推理出其周期为8，求出一个周期内的和，最后求出剩余的六项和即可.

【详解】根据，则函数关于对称，

根据，即，则函数关于点对称，

根据函数关于直线对称对称，则有，

则，则，

，则，

又因为当时,，

则由上述对称性，周期性作出图像，如图：

所以，，；

一周期和为0，而，

故，

故选:A.

【点睛】结论点睛：若满足，则的图像关于直线对称；

若满足，则的图像关于点中心对称；

关键点睛：本题关键是通过其关于点的对称和关于直线的对称推理出或作图得到其周期.

二、填空题

13．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则___________.

【答案】0

【分析】首先根据题意得到，再根据等差数列的性质求解即可.

【详解】由已知得，故.

故答案为：0

14．在平面直角坐标系中，，，，，若与共线，则___________.

【答案】-1

【分析】设，根据题意和平面向量的坐标表示可得和、，即可求解.

【详解】设，由与共线，所以.

由，得

，，

则，解得.

故答案为：-1.

15．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】通过分离参数得，研究函数的单调性，极值点，零点，从而得到其大致图像，则得到的范围，解出即可.

【详解】当时，此时，显然无零点.

当时，得，

令，，分别令，，

前者解得，，后者解得或，

故在，递减，递增.

故的极小值为，极大值为，

令，显然分母，则分子，，则有唯一零点0，

作出大致图像如图所示：

所以，解得实数的取值范围是.

故答案为：.

三、双空题

16．已知，则___________，___________.

【答案】     2     ##

【分析】利用诱导公式直接得到正切值，再利用二倍角余弦公式结合弦化切代入即可.

【详解】，显然，则.

故答案为：2；.

四、解答题

17．已知集合，非空集合.

(1)求集合；

(2)记条件：，：，且是必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接解二次不等式即可.

（2）首先根据题意得到，再根据必要不充分条件求解即可.

【详解】（1）解方程，得两根为2和6，

所以不等式的解为.

故.

（2）化为

由解得，.

由于非空，故，故，.

因为p是q必要不充分条件，则B是A的真子集，此时，

所以，解得或.

所以实数的取值范围是.

18．已知数列的前项和为，且.

(1)求证；数列是等比数列；

(2)求证：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1），，作差得，则，即可证明数列为等比数列；

（2）首先求出，而，最后通过裂项求出得到.

【详解】（1）由已知得，又，

所以作差得，故

所以

又当时，，又，故

故数列是首项为2，公比为2的等比数列

（2）由（1）可知：，故

所以

综上可知：

19．在中，，，

(1)求证：；

(2)若，，求实数的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)或

【分析】（1）首先根据余弦定理得到，从而得到，即可得到答案.

（2）首先，再利用余弦定理得到或，即可得到答案.

【详解】（1）在中，由余弦定理得：

，所以

，

，

所以

因为A，B为三角形的内角，且，所以

（2）因为，，所以点D在AC上.

由（1）知，设，

在中，由余弦定理知：

化简得：.

解得或.

当时，，；

当时，，.

综合上述，或.

20．如图，在正三棱台中，，，为的中点.

(1)求证：棱台过D，，的截面为正方形；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取BC的中点E，连接ED，，可证明为平行四边形﹐即为平面的截面，进而可得为菱形；取下底面与上底面中心，，连接，，，由线面垂直可证明，即可得证；

（2）由等积法求解即可

【详解】（1）取BC的中点E，连接ED，

因为D为AB的中点，

所以，

又，故，

所以为平行四边形﹐即为平面的截面.

又，，

所以为平行四边形，

所以.

所以为菱形.

取下底面与上底面中心，，连接，，.

则平面，

又平面，

所以，

又，，平面，

所以平面，

又平面，

所以

又，故，

所以为正方形，即平面的截面为正方形.

（2）在直角梯形中，，，，

故

三棱锥的体积.

由（1）知，平面，

所以点B到平面的距离等于点到平面的距离.

设点B到平面的距离为，的面积为.

故三棱锥的体积为.

又，所以，故.

所以点到平面的距离为.

21．已知函数，直线：.

(1)若直线与曲线相切.求实数的值；

(2)若曲线与直线有两个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)直线与曲线的切点坐标为，根据题意和导数的几何意义求出切点坐标，即可求解；

(2)将原问题转化为方程有两个实数根，设，利用导数研究函数的单调性求出，即可求解.

【详解】（1）由，所以.

设直线与曲线的切点坐标为，则，

有，得，所以，

因此，解得.

（2）曲线与直线有两个公共点，

等价于，即有两个实数根.

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

，

又当时，且，

故实数的取值范围是.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)①若，求实数的值；

②设，求证：.

【答案】(1)在单调递减，在单调递增

(2)①；②证明见解析

【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可.

（2）①首先根据题意得到，从而将题意等价为，再结合的单调性分类讨论求解即可；②根据①知：，从而得到，再化简得到，即可证明.

【详解】（1）由已知的定义域为.

令，，

有两根，

因为，，

时，，，单调递减；

时，，，单调递增.

故函数在单调递减，在单调递增.

（2）①因为，所以等价于.

由（1）知：

当时，，故满足题意.

当时，，，故不满足题意.

当时，，，故不满足题意.

综上可知：.

②由①可知：时，，

即，当且仅当时取等号.

故当时，可得，，

即.

故

.

故.