2023届江苏省连云港市高三上学期期中数学试题含解析

2023届江苏省连云港市高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的并集运算，即可求得答案.

【详解】由集合，，则，

故选：D.

2．已知复数满足，则复数的模为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的运算，可解得，从而可求复数的模.

【详解】解：，则

所以.

故选：C.

3．设x，，则“”的充要条件是（    ）

A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是1

【答案】B

【分析】将化简，可得到其等价命题，即可得答案.

【详解】因为即，即，

即等价于且，

故“”的充要条件是都不为1，

故选：B.

4．已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由等比数列性质求得和公差的关系后可得公比．

【详解】设公差为，则，由题意，

即，又，所以，

，，，所以.

故选：C.

5．已知，，，则与的夹角为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】由可得，

则，即得，故，

则，

故，

由于，故，

故选：B.

6．已知，且，，其中，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】将角度拆则分，，利用两角和差的正弦公式展开整理后，结合商数关系即可得.

【详解】解：∵

∴

整理得：，由于，，所以，

则，即.

故选：B.

7．当把一个任意正实数N表示成的时候，就可以得出正实数N的位数是n＋1，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（    ）（参考数据：，）

A．61 B．62 C．63 D．64

【答案】C

【分析】设，则，计算即可求出，从而得出结果．

【详解】设，则

又因为

故，所以的位数是

故选：C

8．已知，，，则（    ）

A．   B．   C．   D．  

【答案】A

【分析】根据，的特征，要比较二者大小，可作差，由此构造函数，利用其单调性比较大小，同理，和比较，构造函数，利用单调性比较 ，的大小.

【详解】设，则，

故单调递减，故，

由，

设函数，则，

当时，，递减，当时，，递增，

故，即，当时取等号，

由于 ，故，即，

故，

故选：A.

【点睛】本题考查了数的大小比较问题，考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性，解答的关键是明确解答思路，能根据数的特点构造恰当的函数，从而利用导数判断函数单调性，比较大小.

二、多选题

9．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.

【详解】解：因为，所以，

所以，

所以，

故，故D正确；

所以，故A正确；

，故B正确；

，故C错误；

故选：ABD

10．已知和都是锐角，向量，，，则（    ）

A．存在和，使得 B．存在和，使得

C．对于任意的和，都有 D．对于任意的和，都有

【答案】BC

【分析】对于A，由，得化简计算，对于B，由共线向量定理判断，对于C，求解判断，对于D，求解和进行判断.

【详解】对于A，若，则，因为和都是锐角，所以不成立，所以A错误，

对于B，若，则存在唯一实数，使得，则，

所以，所以，当上式成立，所以B正确，

对于C，因为，，所以，

所以

，

因为和都是锐角，所以，所以，

所以，所以，所以C正确，

对于D，，，

若，则，所以D错误，

故选：BC

11．已知曲线在点处的切线为，则（    ）

A．当 时，的极大值为

B．若，的斜率为2，则

C．若在上单调递增，则

D．若存在过点P的直线与曲线相切于点，则

【答案】AB

【分析】当 时，求出函数的导数，判断函数单调性，求得极值，判断A;根据导数的几何意义可求得参数的值，判断B;利用导数与函数单调性的关系可得不等式，求得a的范围，判断C;根据导数的几何意义，利用斜率关系，列出相应等式，化简可得，判断D.

【详解】当 时, ,则，

当或时，，递增，当时，，递减，

故时，取得极大值 ，A正确；

由可知，若，的斜率为2，

则，故B正确；

若在上单调递增，则恒成立，

即 ，当时，在上单调递增，

故，C错误；

若存在过点P的直线与曲线相切于点，则，

则的斜率为，则 ，

即，

即，即，

故，D错误，

故选：AB.

12．已知函数的定义域是，函数是偶函数，是奇函数，则（    ）

A． B．

C．4是函数的一个周期 D．函数的图象关于直线x＝9对称

【答案】BC

【分析】根据为奇函数，得到，令得，B正确；

结合是偶函数，得到，得到4是函数的一个周期，C正确；

首先得到，故关于中心对称，结合4是函数的一个周期，故，得到的图象关于中心对称，D正确；

根据题目条件无法得到的值，A错误.

【详解】因为为奇函数，所以，

整理得：，

令得：，解得：，B正确，

将替换为，得，即①，

又因为是偶函数，所以，

将替换为，得②，

由①②得：③，则④，

③-④得：，

故4是函数的一个周期，C正确；

因为，所以，

故关于中心对称，

又因为4是函数的一个周期，所以，

故关于中心对称，D错误，

因为关于中心对称，故与关于中心对称，无法得到，（注意的值无法确定），A错误.

故选：BC

【点睛】函数的对称性：

若，则函数关于中心对称；

若，则函数关于对称.

三、填空题

13．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是______．

【答案】4

【分析】根据均值不等式及不等式的性质求解.

【详解】因为a＞0，b＞0，且，

所以，即，当且仅当，即时等号成立，

所以.

故答案为：4

14．已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝______．

【答案】5

【分析】结合， 的函数图象和特殊值的思路，得到数列正负情况，即可得到当时，取得最大值，即.

【详解】

如图，为和的图象，设两个交点为，，

因为，所以，

因为，，所以，

结合图象可得，当时，，即，

当时，，即，所以当时，取得最大值，即.

故答案为：5.

15．10世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上A，B两地同时观测到一颗卫星S，仰角分别为∠SAM和∠SBM（MA，MB表示当地的水平线，即为地球表面的切线），设地球半径为R，的长度为，∠SAM＝30°，∠SBM＝45°，则卫星S到地面的高度为______．

【答案】

【分析】根据已知条件，构造三角形，在三角形中根据正、余弦定理求解.

【详解】

如图，圆心为O点，设，由已知的长度为，

即，

∵  ∴是等边三角形，

又，，，，

则，

在中，有，，，

，

由正弦定理可得，，即，

∴

在中，有，，，

由余弦定理可得，

则，

所以，则卫星S到地面的高度为

故答案为：.

四、解答题

16．已知函数，且关于x的方程在区间上有两个不同的解，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】先判断函数在区间上的单调性，然后作图，借助函数图象即可求解.

【详解】因为时，，所以在上单调递增，

又时，，所以在上单调递减，

所以在上先增后减，

因为关于x的方程在区间上有两个不同的解，

所以直线与函数在区间上的图象交点有两个，

又，，，

根据图象，当时，满足条件

故答案为：.

17．在200人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较，结果如下表所示．问：是否有90%的把握认为该种血清对预防感冒有作用？

附：，

【答案】有90%的把握认为该种血清对感冒有作用．

【分析】由卡方的计算结果即可判断.

【详解】由表中数据可知：

，

所以有90%的把握认为该种血清对感冒有作用．

18．在中，AB＝4，AC＝3．

(1)若，求的面积；

(2)若A＝2B，求BC的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理列方程，解得，然后利用三角形面积公式求面积即可；

（2）利用正弦定理和二倍角公式得到，然后再利用余弦定理列方程，解方程即可得到，即.

【详解】（1）在中，设角A、B、C所对的边分别为a，b，c．

由余弦定理得，

即，得或（舍），

由，，得，

所以的面积．

（2）在中，由正弦定理得，

所以．

在中，再由余弦定理得，

所以，解得．

19．已知数列和满足，为等比数列，且，．

(1)求与；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）依题意可得，由得到，设的公比为，由求出，即可得到的通项公式，再根据指数幂的运算法则及等差数列求和公式求出的通项；

（2）由（1）可得，利用错位相减法求和.

【详解】（1）解：由，得，，

两式相除得，，

因为，所以．

设的公比为，由，，得，

由题意知是正项数列，所以．故，

由，知，

所以．

（2）解：由（1）可得，所以，

由错位相减得：，

所以．

20．如图，在四棱锥 中，平面与底面 所成角为 ，四边形是梯形，，， ．

(1)证明：平面平面 ；

(2)若点T是 的中点，点M是 的中点，求点P到平面 的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明，继而证明，即可证明平面，从而根据面面垂直的判定定理证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.

【详解】（1）证明：由平面，平面，平面，

得，， 与底面所成角为 ．

所以三角形 为等腰直角三角形， ．

又由四边形是直角梯形，，可知，

所以为等腰直角三角形，而，故．

在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形，

可知 ．

所以 ，在等腰直角三角形 中，．

则有，所以．

又因为，，平面 ，平面．

所以平面．因为平面 ，所以平面平面．

（2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，．

因为T是 的中点，点M是 的中点，所以，．

设平面 的法向量为，，，

则 ，得 ，

取 ，则 ，得平面的一个法向量为，

而,所以点P到平面的距离为．

21．已知椭圆C：经过点，．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝4于点D．设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a、b；

（2）设出直线AB方程y＝k（x－1），得到D点坐标，联立直线AB与椭圆方程，得到A，B两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出，，，化简代入即可得到定值.

【详解】（1）将点，点代入椭圆方程，

得，解得，所以椭圆方程为．

（2）由题意直线AB的斜率一定存在，

由（1）知，c=1，则椭圆的右焦点坐标为，

设直线AB方程为：y＝k（x－1），D坐标为．

所以，

设，，将直线AB方程与椭圆方程联立得．

恒成立，

由韦达定理知，且，，

则

．

故（定值）．

【点睛】本题第二问求三斜率之间的关系，要注意与的整体性，因为A，B两点是直线AB与椭圆的两个交点，常用韦达定理表示坐标之间的关系，密不可分，切忌将与分开单独求解，会是题目解答过程复杂化.

22．已知函数，其中．

(1)若函数的最小值为，求a的值；

(2)若存在，且，使得，求a的取值范围．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；

（2）由题知，进而令，，，将问题转化为函数在区间上有零点，再讨论时，函数在区间无零点，进而进一步转化为，当时则有两不等正实根和，且函数在减区间上存在零点问题，再根据导数研究函数的零点即可.

【详解】（1）解：函数定义域为，．

若，则，函数为减函数，无最小值．

若，由得．

所以，，，的变化情况如下表：

所以，的最小值即极小值为．

所以，，即．设，则，

所以，为上的增函数，

又因为．

所以，．

（2）解：由，得，

即，将代入，

有：，得．

令，，，

所以，将问题转化为函数在区间上有零点．

所以，．其中．

因为函数的对称轴方程为．

所以，当，则恒成立，得在区间为减函数，

又，

所以，函数在区间无零点．

当，则有两不等正实根和，

设，有，且．

所以，，，的变化如表：

又，得．

下面证明函数在减区间上存在零点．

考虑到中含参数a，

取．则，

当时，，则．

令，则，

令，当时，有，

所以，函数在时为减函数，由，知恒成立．

所以，为上的减函数．

所以．

又，于是，

所以，函数在减区间上存在零点．

综上，实数的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意，利用换元方法，将问题转化为证明函数在区间上有零点，进而先排除当函数在区间无零点，进一步将问题转化为函数在减区间上存在零点.