2023届河北省高三上学期10月阶段性检测（一）数学试题含解析

这是一份2023届河北省高三上学期10月阶段性检测（一）数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河北省高三上学期10月阶段性检测（一）数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出集合A中函数的定义域和集合B中函数的值域，再求两个集合的交集.【详解】根据题意可得：，，所以，故选：C.2．已知复数z满足，复数复数z的共轭复数，则复数的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的运算及基本概念求解即可.【详解】解：根据题意，.所以，复数的虚部为.故选：B.3．已知，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用题目中涉及的指数函数、对数函数、幂函数和正弦函数的单调性比较大小.【详解】，∴，函数是减函数，函数在定义域内是增函数，函数在定义域内是增函数，∴，，∴，故选：C.4．降水量（precipitation[amount]）：从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）水，未经蒸发､渗透､流失，而在水平面上积聚的深度.降水量以mm为单位，气象观测中一般取一位小数，现某地10分钟的降雨量为，小王在此地此时间段内用口径为的圆柱型量筒收集的雨水体积约为（    ）（其中）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圆柱体积公式求解即可.【详解】解：根据题意，口径为的圆柱型量筒的半径为，故体积.故选：D.5．在中，满足，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算逐项判断作答.【详解】在中，满足，，，B不正确；，，A不正确；，C正确；，，，D不正确.故选：C6．已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图象先求得A和，得到，再将代入求得，再利用平移变换得到即可.【详解】解：依题意，，，故，故，故，将代入可知，，解得，故，故，则.故选：A.7．现有三名学生与两名教师随机地排一排照相，则每名学生都至少与一名教师相邻的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据排列求出每名学生都至少与一名教师相邻的排法种数 ，再由古典概型求解即可.【详解】由已知三名学生不相邻○○或是如下排列○○，○○时，满足条件，其中代表学生，○代表老师.共有种，故概率，故选：D.8．已知小于2的正数m，n满足，则的最小值（    ）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】首先设，根据在上单调递增，得到，再利用基本不等式求解即可.【详解】根据题意，，可得，设函数，函数在上单调递增，所以可得，.当时，取得最小值.故选：B 二、多选题9．已知，，则（    ）A． B． C． D．3【答案】AD【分析】由条件结合两角差的正切公式求，再由二倍角公式求.【详解】因为，又，，所以，因为，所以，所以，解得或3，故选：AD.10．若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（    ）A．若，则B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆C．若，满足，则的取值范围为D．若，则的取值范围为【答案】ABD【分析】根据复数和圆的知识可判断ABC，对于D，设，由可得，然后，然后将此式平方可求出答案.【详解】对于A，若，则，，，依次循环，所以，故A正确；对于B，设，，则有，可知在复平面内的轨迹为圆，故B正确；对于C，因为复数z满足，所以点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，设，即，当此直线与圆相切时有，解得，所以的取值范围为，故C不正确；对于D，设，，若，则有，令 ，则.令，可得，所以，于是得，故D正确.故选：ABD11．已知，且，则下列说法正确的是（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ACD【分析】由基本不等式判断ABC，利用平面上两点间距离公式求解判断D．【详解】对于A，因为，且，所以设，当，时，即，时取等号，故A正确；对于B，，即的最小值为，故B不正确；对于C，，由B知，的最小值为，所以的最小值为，故C正确；对于D，因为，且，所以由题意可得：可视为点到点与点到点的距离之和，所以最小值为点到点的距离，即为，故D正确.故选：ACD．12．如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G为的中点，则下述选项正确的是（    ）A．平面平面B．三棱锥的体积为C．平面与平面夹角的正弦值为D．若P为空间一动点，且，则P点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为【答案】AD【分析】对于A，由面面垂直的判定定理判断，对于B，根据题意由求解，对于C，如图建立空间直角坐标系求解，对于D，如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆.【详解】对于A，连接，因为平面，平面，所以，因为，∥，所以，因为，平面，所以平面，则A正确；对于B，，所以B错误；对于C，如图以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以,设平面的法向量为，则，令，则设平面的法向量为，则，令，则，设平面与平面夹角为，由图可知为锐角，所以，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为，所以C错误；对于D，由如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆，则长度为，所以D正确.故选：AD. 三、填空题13．已知平面向量，满足，，与的夹角为，则___________.【答案】6【分析】根据给定条件，利用向量数量积的性质及运算律求解作答.【详解】因，，与的夹角为，则，所以.故答案为：614．已知中，，，，则的外接圆面积为___________.【答案】【分析】利用余弦定理求解边长，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.【详解】解：根据题意，由余弦定理可得，该的外接圆的半径为r，则由正弦定理得：.故答案为：.15．定义在R上的函数单调递减，且满足，对于任意的，满足恒成立，则的最大值为___________.【答案】【分析】利用函数的对称性、单调性建立不等式，再利用辅助角公式、基本不等式求解.【详解】根据题意，可得函数关于中心对称，所以可得，又，所以，所以，根据函数单调性可得，即，（其中），所以，所以，当且仅当时取等号.故答案为：.16．在一个密闭的箱子中，一共有20个大小､质量､体积等完全相同的20个小球，其中有n个黄球，其余全为蓝球，从这一个密闭的箱子中一次性任取5个小球，将“恰好含有两个黄球”的概率记为，则当___________时，取得最大值.【答案】8【分析】由题意：，当最大时取得最大值时，设，当时，，当，，所以最大，因此，当时，取得最大值.【详解】根据题意：，取得最大值，也即是取最大，所以，设，则当时，，当，，所以最大，因此，当时，取得最大值.故答案为：8 四、解答题17．设向量，，函数.(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；(2)若，求函数的值域.【答案】(1)最小正周期为，对称中心为(2) 【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据三角函数性质求解；（2）由x的范围，求得的范围，再得到的值域.【详解】(1)因为即，所以的最小正周期为.令，解得，所以函数的对称中心为.(2)因为，即设，根据图像分析可得：，所以函数的值域为.18．已知四棱锥中，，为面积为的等边三角形，，.(1)证明：平面平面；(2)若E为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点E，连接､，易证，，从而得到平面，再根据面面垂直的判定即可得到平面平面.（2）以E为原点，分别为轴，平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.【详解】(1)取的中点E，连接､，如图所示：因为，所以.因为面积为，所以.在中，，，.因为，所以，因为是等边三角形，E为线段AB中点，所以，又因为，所以平面，而平面，所以平面平面.(2)以E为原点，分别为轴，平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，，设为平面的法向量，则，令，则，.即，设直线与平面所成角为，则，，∴直线与平面所成角的余弦值为.19．某新型智能家电在网上销售，由于安装和使用等原因，必须有售后服务人员上门安装和现场教学示范操作，所以每个销售地区需配备若干售后服务店.A地区通过几个月的网上销售，发现每月利润（万元）与该地区的售后服务店个数有相关性.下表中x表示该地区的售后服务店个数，y表示在有x个售后服务店情况下的月利润额.x（个）23456y（万元）1934465769 (1)求y关于x的线性回归方程.(2)假设x个售后服务店每月需消耗资金（单位：万元），请结合（1）中的线性回归方程，估算A地区开设多少个售后服务店时，才能使A地区每月所得利润平均到每个售后服务店最高.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：.【答案】(1)(2)4个 【分析】（1）利用最小二乘法求线性回归方程；（2）由每月的净利润求得其平均利润,利用基本不等式求最大值成立的条件【详解】(1)根据题意，可得：，，，∴，，回归直线方程为.(2)每月的净利润为，其平均利润为（万元），当且仅当时，取等号.∴开设4个售后服务店时，才能使A地区每月所得利润平均到每个售后服务店最高.20．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，.(1)若点D为的中点且，求的余弦值；(2)若的角平分线与相交于点E，当取得最大值时，求的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）延长到F，构造平行四边形，转化角后由余弦定理计算；（2）设，，由余弦定理用表示出，由面积把用表示，然后计算出，利用基本不等式得最大值．【详解】(1)根据题意，延长到F，使得，连接，可得四边形为平行四边形，所以；(2)设，，可得，因此，又当且仅当时等号成立，所以.21．已知边长为2的正方体中，，，平面与相交于点G，与相交于点H.(1)当，求，的值；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的正切值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理，即可判断，的值；（2）利用体积转化得点到平面的距离，建立空间直角坐标系，设点的坐标， 利用距离公式求得点的坐标，从而确定点的坐标，再利用平面与平面夹角公式求余弦值，从而得正切值.【详解】(1)解：如图所示，连接，在上取一点，使得，连接当时，为中点，又为中点在正方体中，平面平面又平面，所以平面又共面，平面平面所以，又 所以，则，即，故；因为，即，且 故四边形为平行四边形，所以所以，则四边形为平行四边形则，所以平面同理因为共面，平面平面，所以所以，则，则由于，所以，则.(2)解：根据题意，，因为边长为2，所以，，，，则所以，，以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，可得，，，，向量，，，设平面的法向量为，所以，，令，所以，平面的一个法向量为，所以则点到平面的距离为：，解得或（舍）所以点F在上靠近的三等分点，由（1）可知，则所以又平面，所以是平面的一个法向量向量，，设平面的法向量为，所以，，令，所以，平面的一个法向量为，则，所以平面与平面所成锐二面角的正切值为.22．新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次.(1)若，且其中两人患有该疾病，①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；(2)已知每个人患该疾病的概率为.（i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望；（ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.【答案】(1)①；②(2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）①根据分步乘法公式计算即可得解；②根据固定点概型计算即可；（2）（i）写出随机变量的所有可能取值，求出对于概率，再根据期望公式计算即可；（ii）求出分别求出两种方案的期望，再根据幂函数的单调性即可得出结论.【详解】(1)解：①根据题意可得：；②根据题意可得：；(2)解：（i）根据题意：X的取值为1，，，，所以；（ii）当时，方案一：检验的次数为5次，方案二：检查的次数期望为，，记，因为，所以单调递增，当时，，所以当时，，则，当时，，则，故当时，选择方案二；当时，选择方案一；当时，选择两种方案检查次数一样.