2023届河北省高三上学期1月阶段性检测（二）数学试题（含答案）

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河北省2022-2023学年高三上学期1月阶段性检测（二）

数学

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名，班级，考场/座位号、考生号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

2．设集合，若，则（    ）

A．     B．C．     D．

3．以斜边长为2的等腰直角三角形一直角边为轴，旋转一周形成的几何体的表面积为（    ）

A．     B．     C．     D．

4．已知，则在上的投影向量是（    ）

A．     B．     C．     D．

5．2022中国（南昌）国际大健康产业大会暨博览会将于11月25日-27日正式举办，此次博览会将围绕医疗器械、生物医药、中医中药、国际医养、医疗美容、健康生活六大板块，搭建政、商、学、医、研，产的高端对话与合作平台，推动健康产业资源要素相互赋能．博览会某日将举办六大板块为主旨的六场报告会，其中上午四场，下午两场，要求中医中药排在上午前两场中任意一场，医疗美容和健康生活排在下午，则不同安排种数是（    ）

A．24B．96C．144D．192

6．已知函数（且）对于任意的实数，都有成立，则a的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

7．如图，线段所在直线与平面平行，平面上的动点P满足，则点P的轨迹为（    ）

A．圆     B．椭圆     C．双曲线的一部分     D．抛物线的一部分

8．已知函数，则（    ）

A．在定义域内单调递减     B．有无数个极值点

C．只有一个零点     D．为周期函数

二、不定项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知直线a、b和平面，下列选项能得到成立的充分条件是（    ）

A．     B．C．     D．

10．如图是函数的图象的一部分，则（    ）

A．的图象关于直线对称．

B．图象至少向左移个单位得到一奇函数图象

C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象

D．在区间单调递减

11．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别做抛物线C准线的垂线，垂足为，线段的中点为M，线段的中点为N，则（    ）

A．     B．

C．以为直径的圆与y轴相切     D．以为直径的圆与y轴相切

12．已知函数为的导函数，则（    ）

A．方程只有一个实根 B．的最小值为

C．函数的值域为D．函数为偶函数

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的系数为___________．

14．过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，若，则这条直线可以是___________（写出一个即可）．

15．已知，则的最小值为___________．

16．若数列满足且，则___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且．

（1）求A的值．

（2）若的面积为，求a的最小值．

18．（12分）数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式．

（2）若数列满足，求数列的前n项和．

19．（12分）利用生物活体或其代谢产物针对农业有害生物进行杀灭或抑制的生物农药，以其对人畜安全，对生态环境影响小等优势，在病虫害综合防治中的地位和作用显得愈来愈重要．江南大学一团队成功研发出性能优良的桉树精，填补了全球生物农药在极端环境下起效的技术空白．为了研究猕猴桃树使用该农药后某项指标值的相关性，研究人员从猕猴桃种植区一万多棵树中，随机抽取了120棵用药果树和80棵未用药果树，对这200棵果树某项指标值进行测量后，按分组，得到该项指标值频率分布直方图．并发现用药果树中该项指标值不小于60的有80棵．

（1）填写下面的列联表，判断是否有95%的把握认为“果树用药与指标值不小于60有关”．

（2）用药后果树中该项指标值不小于60认为农药对猕猴桃细菌性溃疡病有效，以用药的120棵树对溃疡病有效的频率做为果树用药后有效的概率．若从猕猴桃种植区所有用药果树中随机抽取4棵，求所抽四棵树中用药后有效果树棵数X的分布列及期望．

附：，其中．

20．（12分）如图矩形中，，沿对角线将折起，使点A折到点P位置，若，三棱锥的外接球表面积为．

（1）求证：平面平面．

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

（3）M为的中点，点N在边界及内部运动，若直线与直线与平面所成角相等，求点N轨迹的长度．

21．（12分）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，点M的轨迹为曲线E．

（1）求E的方程；

（2）直线l交曲线E于P，Q两点，交x轴于N点，交y轴于R点，若，若，求点N的坐标．

22．（12分）若函数（其中e是自然对数的底数，a为常数且）．

（1）当时，求方程的根的个数；

（2）若函数有两个极值点，且，求的最小值．

数学试题答案与解析

1．D2．A3．C4．B5．A6．D7．C8．C9．BD10．ACD11．AC12．BC

13．35

14．或或（写出一个即可）

15．

【解析】

则

，当且仅当时，“=”成立．

，

∴最小为，此时．

另解：由得

∴

∴

当且仅当，即时等号成立．

16．5

【解析】∵

∴

得

∴为等比数列．

∴

（舍去）

则．

17．解：（1）由

得：

得：

整理得：

由正弦定理得：

∴

∵A为内角，

∴．

（2）由，得

∵

∴

当且仅当时，符号成立．

∴．

∵，

∴

a的最小值为．

18．解：（1）由

得：

∴

∴

当时，

∴

（2）∵为等差数列

∴

得：

当，且时，

∴

当时，

∴

∴时，

当时，

∴

19．解：（1）由频率分布直方图可知，样本中指标值不小于60的棵数为，则标值小于60的果树棵数为80．

所以列联表如下：

．

所以有95%的把握认为“果树用药与指标值不小于60有关”．

所以有的把握认为“果树用药与指标值不小于60有关”．

（2）用药后有效的概率，

由题可知，，

∴，

所以X的分布列为：

所以．

所抽四棵树中用药后有效果树棵数的期望为．

20．解：（1）设O为矩形对角线的中点，

∴．

即．

∴O为三棱锥外接球的球心．

又∵三棱锥外接球表面积为，

∴外接球半径为2．

即．

过P点作，垂足为E，则，

∴，

∴为．

∵，，

∴平面．

又∵平面，

∴平面平面．

（2）以E为坐标原点，所在直线分别为x轴、z轴，以平面内过E且垂直于的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

可知：

且

设平面的法向量为

得

可取

设平面的法向量为

得

可取

设平面与平面夹角为，

则

所以平面与平面夹角余弦值为是．

（3）由（2）中空间直角坐标系可设N为，

，

取平面法向量为．

∵直线与直线与平面新成角相等，

∴

得：

整理得：，即

∵N点在边及其内部，

∴N的轨迹为圆落在边及内部的部分．

∴轨迹长度为半径为1的圆周长为．

得

∴N点轨迹长度为．

（建系方法不唯一，参照给分）

21．解：（1）由题意，点到l距离为，

M到的距离为，

∴

化简得：

即

（2）法一：由题意，l斜率一定存在，设其斜率为k，设N点坐标，

直线l方程为，

由

消去y得：

令

设点P、Q、R的坐标分别为

则

由，得

∴

同理由，得

∵，得，

得

将

得

∴N点坐标为

法二：由题意，设l方程为，则N为

由

得

令

设P、Q、R坐标分别为

则

由，得

同理，由，得

由，得

，且

得

∴N点坐标为

法三：设

由，得

∴

因为点P在曲线E上，所以

整理得：     ①

同理由，

得     ②

由①②得：为方程（且）的两个实数根．

由，得

∴

得

∴N点坐标为

22．解：（1）当时，

得

设

∴时，单调递增，

时，单调递减．

∴为的最大值，

∴，则单调递减．

又∵，

∴有解．

即只有一根．

（2）∵有两个极值点

则有两解，

∴，

，

即．

设，

∴

∴

∵，∴

设

设

∴单调递增

又∵

∴

∴

∴单调递增．

∵

∴

则t的最小值为2，

即的最小值为2．